книги / Прикладная теория систем массового обслуживания
..pdfной). Бели заявка застала свободным хотя бы один канал, то она принима ется к обслуживанию любым из свободных каналов и обслуживается до конца (заявки «терпеливые»).
Описанная выше система названа нами классической потому, что с рассмотрения такой системы Эрлангом и начала развиваться теория массо вого обслуживания. Эрланг рассматривал работу такой системы на приме ре работы автоматического телефонного узла связи. В этом случае поток заявок представляет собой поток вызовов со стороны абонентов. Длитель ность обслуживания характеризуется длительностью коммутации и дли тельностью разговора. Число каналов п равняется максимально возможно му числу одновременно осуществляемых разговоров.
Анализ работы СМО начнем с рассмотрения возможных состояний системы и составления размеченного графа состояний с указанием интен сивностей потоков, переводящих систему из одного состояния в другое.
Рассмотрим следующее множество состояний системы:
х0 - все каналы свободны, ни одна заявка не обслуживается; х\ - занят ровно один канал (какой - не важно), обслуживается одна
заявка; хк- занято ровно к каналов (каких именно - не важно), обслуживает
ся к заявок; хп- все п каналов заняты, обслуживается п заявок.
Граф состояния данной СМО с отказами в обслуживании представ лен на рис. 3.6.
(Ан-1)ц (л-1)|! ЛЦ
Рис. 3.6. Граф состояний СМО с отказами в обслуживании
Как и в § 3.3, возможность перескока «через состояние» не рассмат ривается, т.к. все потоки ординарные. Поясним порядок определения ин тенсивностей потоков событий на рис. 3.6. Когда система находится в со стоянии хо, на нее действует поток заявок с интенсивностью X, переводя щий систему в состояние jq. Если система находится в состоянии х\, то на нее действует уже два потока событий: а) поток заявок с интенсивностью X, который стремится перевести систему в состояние х2\ б) поток освобож дений канала («поток обслуживаний»), который стремится перевести сис тему в состояние х0. Интенсивность этого потока равна р.
Рассмотрим случай, когда система находится в состоянии х* {к = 1,2,
..., л-1). В этом состоянии на систему действует также два потока: а) поток заявок с интенсивностью X, который стремится перевести систему в состоя ние б) поток освобождений всех занятых каналов с интенсивностью к\х, который стремится перевести систему справа налево в состояние х*_|.
Если система находится в состоянии х„, то на нее действует только один поток событий с интенсивностью л|л, переводящий систему справа налево в состояние х
Система уравнений имеет следующий вид:
àPoiO
|
d t |
'ХРо(0 +МЛ(0 > |
|
|
|
|
|
(Х + *ц)Р4(0 + ^ _ ,(/) + ( * + 1)цР*+1(0 . * = 1,2, , л-1, (ЗЛО) |
^ |
) = -»nP„(0 +XPn.,(/). |
|
I |
dt |
|
Система (3.10) интегрируется при следующих начальных условиях:
Л)(0) = 1 ; РА0) = 0 (к= 1,2,..., л),
что соответствует случаю, когда система в начальный момент времени f = 0 свободна. Решение системы (3.10) при данных начальных условиях удовлетворяет нормировочному условию
(*- ®)- |
(3.11) |
к-0
Уравнения (3.10) называются уравнениями Эрланга. Заметим, что (3.10) и (3.11) справедливы и для случая, когда потоки событий не являют ся простейшими, а представляют собой нестационарные пуассоновские по токи. В этом случае параметры X = X(t) и ц = ц(0-
Рассмотрим стационарный режим работы при / —►оо. Такой режим существует (см. § 3.3), т.к. рассматриваемая система эргодична. Поэтому при t —►оо система (3.10) превращается в систему алгебраических уравне ний:
0 = -ХРо+ М^ь
< 0 = -{Х + *ц)Л + XP*_i+(A:+ l)p^*+i (*= 1,2,..., л-1),
0 = + X/V, - лр = 0,
которую нужно решать совместно с (3.11).
Введем обозначение:
и/= -Я Л -1 + »'цЛ ( к = 1,2,..., и),
тогда |
|
«i = 0, |
|
«*+1-м*=0 (£ = 1,2,..., и-1), |
(3.12) |
„ «п=0. |
|
Анализируя (3.12), убеждаемся в том, что и, = 0. Следовательно,
Л = - Л ; Л = |
л2 |
|
А Л3 |
|
1 ц; |
|
и ; |
J *! °' |
|
il |
|
|||
Используя нормировочное условие |
|
|
|
|
|
|
|
\* |
|
|
л |
w I 11 , |
= 1 . |
|
|
<t=0 |
*=0 |
Л:! |
|
|
|
|||
получаем |
|
|
|
|
|
Рп = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
° |
у |
^ |
|
* = о /* !
Окончательно получим следующие формулы для вероятностей со стояний:
Л =- |
kl |
(к =0,1,2,... ,л), |
(3.13) |
|
|
\* |
|
*=о к\
которые называются формулами Эрланга.
Введем обозначение р = АУр. Преобразуем выражение (3.13) к виду, удобному для вычислений. С этой целью используем р и умножим числи тель и знаменатель дроби (3.13) на величину е~р
|
— е~р |
/ |
\ |
|
Р |
к\ |
р (к >Р) |
(3.14) |
|
f p i e-p
к=0 к\
где Р(ку р) и R(n, р) - табличные функции пуассоновского распределения. Найдем характеристики классической системы массового обслужи
вания с отказами.
С одной стороны, вероятность обслуживания заявки Робс, очевидно, равна вероятности того, что заявка, поступившая в систему, застанет сво бодным хотя бы один канал:
р |
1 р = i |
р (»’Р) |
R (n,p)-P (n,p)_ R (n -l,p ) |
|
064 |
" |
Я(и,р) |
R(n, р) |
Л(и.р) |
С другой стороны, вероятность обслуживания заявки равна относи тельной пропускной способности системы:
\хк _ к
(3.16)
Т “ р*
где Ао - плотность потока обслуженных заявок (абсолютная пропускная способность СМО), а к - среднее число занятых каналов. Отсюда
к ~~Р-^обс |
R{n- 1,р) |
(3.17) |
|
Р Л(и,р) |
|||
|
Выражение для среднего числа занятых каналов к можно получить и непосредственно через вероятность Р*:
|
|
|
ЪкР(к,р) |
|
k = ± k p k = i k |
Р{к, р) = к=о______ |
(3.18) |
||
*=0 |
к=0 |
Л(и,р) |
Л(«,р) |
|
Сравнивая (3.17) и (3.18), убеждаемся в том, что |
|
|||
|
£*Р(*,р)-рЛ (и-1,р). |
(3.19) |
||
*=0
Вероятность ToroL4TO канал занят, будет равна отношению среднего числа занятых каналов к к общему числу каналов п:
к _ р К (п-\,р)
(3.20)
пп R(n, р)
Введем в рассмотрение случайную величину Тзл - время занятости канала, равное длине промежутка времени, начинающегося с момента по ступления заявки в канал, до следующего непосредственного момента ос вобождения канала. Время занятости канала ТЗ Кпо условию распределено по показательному закону с интенсивностью р. Следовательно, среднее время занятости канала
'з .к -М Г з .к ]
Временем простоя канала Тп к называется длина промежутка време ни, начинающегося с момента освобождения канала, до его занятия сле дующей заявкой. Среднее время простоя канала t njc определяется из сле дующего выражения, имеющего место для эргодической системы, нахо дящейся в стационарном режиме:
Я3.к. |
~ |
tЗ.к |
) |
- |
/з.к +/п.К
т.е. вероятность занятости канала равна отношению среднего времени за нятости канала к сумме среднего времени занятости канала и среднего времени простоя канала. Отсюда
:_ ; 1 ~ я з.к _ 1 nR(n,p)-pR(n - i,p)
*II.К —I З.К-----------— |
X------------- |
—}-----\ |
. |
7СЗК |
Л(л,р) |
|
Вероятность полной загрузки системы, т.е. вероятность того, что все каналы будут заняты:
= р |
РМ |
\ |
. |
р |
1 п |
|
1 |
ЛГУобе* |
|
|
R{n,p) |
|
|
|
3.4.2. Системы массового обслуживания с отказами и полной взаимопомощью между каналами
Постановка задачи. На вход л-канальной СМО поступает простей ший поток заявок с интенсивностью X. Интенсивность простейшего потока обслуживает каждого канала равна р. Если заявка застает все каналы сво бодными, то она принимается на обслуживание и обслуживается всеми п каналами одновременно. Предполагается, что такое обслуживание воз можно и при этом приборы обслуживают заявку параллельно, что равно сильно увеличению в п раз интенсивности обслуживания (лр). После окон чания обслуживания все п каналов освобождаются одновременно.
Если вновь прибывшая заявка застает в системе одну заявку, то она принимается на обслуживание. В этом случае часть каналов продолжает обслуживать первую заявку, а остальные каналы приступают к обслужива нию вновь прибывшей заявки. Распределение каналов по заявкам может производиться любым образом. Если прибывшая новая заявка застает в системе две обслуживаемые заявки и п > 2, то каналы распределяются по всем трем заявкам, и т.д.
Если вновь прибывшая заявка застает в системе к заявок (к = 1,2, л-1), то она принимается к обслуживанию и все п каналов перераспреде ляются произвольным образом между к + 1 заявками, но так, чтобы все ка налы участвовали в обслуживании.
Если вновь прибывшая заявка застает в системе п заявок, то она по лучает отказ и не обслуживается. Попавшая на обслуживание заявка об служивается до конца (заявки «терпеливые»).
Если обслуживание какой-либо заявки окончено, то освободившаяся группа каналов присоединяется к обслуживанию остальных заявок, нахо дящихся в системе. Таким образом, при наличии в системе хотя бы одной заявки все п каналов все время будут заняты.
Граф состояний такой системы приведен на рис. 3.7.
Рис. 3.7. Граф состояний СМО с отказами и полной взаимопомощью между каналами
Для пуассоновских потоков и стационарного режима СМО будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:
0 = -Х/>о+ яц/>1,
< 0 = -{Х + лц)Р^+ XPk_i+ щхРы (к- 1,2,..., w-l),
. 0 = XPn-]-n[iPn.
Используя тот же подход, что и в § 3.4.1, получим
|
щ= -WV-1+ w |
O'= 1А - » «X |
r |
«1=0, |
|
< |
ыж~ w*=0 |
(£= 1,2,... ,/i-l), |
|
Un= 0, |
|
откуда
Введя обозначение — = — X и используя нормировочное условие, /7|1 п
получим
Это выражение справедливо для любых значений х 7^ 1 • При %= 1 имеет место неопределенность, раскрывая которую, получим
т.е. все состояния будут равновероятными. Определим основные параметры системы.
Вероятность обслуживания заявки определяется из выражения
1-У Я
Л)бс Р
п
при х = 1-
п + 1
Найдем среднее число заявок /, находящихся в системе:
п |
1 _ у |
п L |
к=0 |
|
(3.21) |
1 + Х |
*-0 |
Для вычисления суммы, входящей в выражение (3.21), воспользуем ся методом дифференцирования рядов [9] и получим
j 1-%"[”(!-X) + l]
( i - x ”+1) 0 - x ) '
При х = 1 / = ^ .
Среднее число занятых каналов к определяется так:
|
1 - х ” |
при х*1, |
|
П+1 |
|
к =п(1-Р0)=- |
1-Х |
|
|
|
при х = 1.
1и + 1
Для этой системы вероятность того, что любой отдельный канал бу дет занят, равна вероятности того, что все каналы будут заняты.
я,„
Среднее время простоя
tП.К —— •
Среднее время занятости канала
/з.к —tп.к
1-7Г,
3.43. Системы массового обслуживания с отказами и частичной взаимопомощью между каналами
Постановка задачи. На вход л-канальной СМО поступает простей ший поток заявок с плотностью X. Плотность простейшего потока обслу живания каждого канала равна р. Если поступившая на обслуживание за явка застает все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одновременно / каналами (/ < л). При этом поток обслуживаний одной заявки будет иметь интенсивность /р.
Если поступившая на обслуживание заявка застает в системе одну заявку, то при л > 2/ вновь прибывшая заявка будет принята к обслужива нию и будет обслуживаться одновременно / каналами.
Если поступившая на обслуживание заявка застает в системе / заявок (/ = 0,1, ), при этом (/ + 1)/ < л, то поступившая заявка будет обслужи ваться / каналами с общей производительностью /р. Если вновь поступив шая заявка застает в системе j заявок и при этом выполняются совместно два неравенства: (/ + 1)/ > л иу < л, то заявка будет принята на обслужива ние. В этом случае часть заявок может обслуживаться / каналами, другая часть меньшим, чем I, числом каналов, но в обслуживании будут заняты все л каналов, которые распределены между заявками произвольным обра зом. Если вновь поступившая заявка застанет в системе л заявок, то она получает отказ и не будут обслуживаться. Попавшая на обслуживание за явка обслуживается до конца (заявки «терпеливые»).
Граф состояний такой системы показан на рис. 3.8.
|
X |
X |
X |
X |
х |
х |
х |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— ► |
а л |
|
|
|
|
*А+' |
p |
- |
ï |
Хп-\ |
|
|
|
|
|
|||||
¥ |
2/р |
/7р |
(/+1)/р |
А/p |
п\х |
^ |
|
лр |
|
Рис. 3.8. Граф состояний СМО с отказами и частичной взаимопомощью между каналами
Заметим, что граф состояний системы до состояния хн с точностью до обозначений параметров потоков совпадает с графом состояний класси ческой системы массового обслуживания с отказами, изображенным на рис. 3.6.
Следовательно,
Л в - ( — Р0 0 = 0.1..... А). 'V U ,
Граф состояний системы, начиная от состояния дгАи кончая состоя нием хП9совпадает с точностью до обозначений с графом состояний СМО с полной взаимопомощью, изображенным на рис. 3.7. Таким образом,
J - k
' ' - I * Р„.
Введем обозначения X / /р = р/ ; X / иц = %, тогда
(к =0,1,2,...,h),
Л = к\
Xk~h4rPo (k =h,...,n).
hi
С учетом нормированного условия получаем
Р(к,р,) |
1-Х п-И |
(k = 0,...,h), |
|
||
R(h,p,) + P(h,pi)x |
|
|
Рк = |
i-x |
|
|
|
|
Xk~hPih,p,) — |
(k =h,...,n). |
|
R(h,Pi) + P(h,Pi)x 1-Х |
|
|
|
1-Х |
|
Для сокращения дальнейшей записи введем обозначение
1
-------- г при г * \ ,
Д(Л)Р/) + ?(Л)Р/) х ^ ^ -
а =
при х = 1-
Л(А,р, ) + ^(/г,р,Х«-Л)
Найдем характеристики системы. Вероятность обслуживания заявки
P ^ = \ - P n= \ - a x n-hPQr,pt).
Среднее число заявок, находящихся в системе,
/ = a p,R{h - 1,р,) + а Р ^ р , ) - ^ - ^ + А(1 - Х) - х"_й{«(1 - X) + 4 (i- x )