книги / Прикладная теория систем массового обслуживания

R(n - 1,и) + P(n,n)(m + 1)

С одной стороны,вероятность обслуживания заявки равна вероятно­ сти того, что заявка, поступившая на обслуживание, застает свободным хо­ тя бы один из каналов или хотя бы одно место в очереди:

п+т- 1

где к = Y*kPk +пИРп+г “ среднее число занятых каналов. *=о г=1

Следовательно,

к= - Р об^ а ( \ - ХтРп).

ц

Вероятность того, что канал занят, П3 к = —.

п

Вероятность того, что система полностью загружена (Пзк), равна вероятности того, что в системе заняты все каналы:

Среднее время неполной загрузки (/н.з) СМО с ожиданием опреде­ ляется как

: _ 1 Д(л- 1,а)

1ИЗ = --------—----- — . n\i Р(л, а)

Среднее время полной загрузки (*п.з) с учетом эргодического свой­ ства определяется следующим соотношением:

Пп

^п.з ^н.з

1 - П п.з

ки, которые не могут быть приняты немедленно на обслуживание или по­ ставлены в очередь на обслуживание, получают отказ в обслуживании и покидают систему. По окончании процесса обслуживания одной из заявок освобождающиеся приборы вместе с другими свободными приступают к обслуживанию заявки, стоящей на первом месте очереди, или ожидают прихода следующей заявки, если очередь пуста.

На основании изложенного была разработана имитационная стати­ стическая модель (МСО). В качестве аналитической модели (ВМО) с огра­ ниченной очередью предлагается следующая [11]. Описание входного по­ тока соответствует приведенному в главе 3. Состояние ВМО представим в виде вектора:

где j m- количество заявок в очереди, требующих для своего обслужива­ ния т приборов; Кт - количество заявок в системе, каждая из которых об-

*7mix

служивается т приборами; Y.mJm ~ количество заявок, находящихся в

Из состояния Xij система может перейти в любое другое состояние

Xcv• Так как в системе действует / входных потоков (/ = qmax~ £min+ 1)> то из состояния ху потенциально возможны / прямых переходов. Однако изза ограниченности ресурсов (N и L) не все эти переходы осуществимы. Пусть ВМО находится в состоянии х,у, и приходит заявка, требующая m

приборов. Если m < псв(х,у)об, то заявка принимается на обслуживание и

система переходит в состояние xCj с интенсивностью Хту причем

Если же заявка затребует приборов больше, чем имеется свободных, то она встает в очередь при условии, что т й л Св(*//)оч, т.е.

Если же места и в очереди заняты, то заявка получает отказ, а СМО остается в состоянии ху. Интенсивности обслуживания аналогичны опи­ санным в главе 3.

При завершении обслуживания одной из заявок система перейдет в состояние, в котором соответствующая координата имеет значение на еди­ ницу меньше, чем в состоянии ху, т.е.

произойдет обратный переход.

На рис. 4.2 представлен пример фрагмента графа ВМО для n = 3, q = -l-3,P(m)=l/3,Z, = 3.

Рис. 4.2. Фрагмент графа переходов ВМО СМО

По графу состояний с нанесенными интенсивностями переходов со­ ставляется система алгебраических уравнений, из решения которой нахо­ дятся вероятности Р( Xÿ ), а по последним определяются характеристики СМО. Рассмотрим нахождение Р^ и Гоч.

На основании сведений, изложенных в главе 3, и особенностей ВМО получим, что

Определим Гоч. Допустим, что время ожидания начала обслуживания данной заявки попало в элементарный интервал (г, t + dr). Вероятность этой гипотезы приближенно равна%/оЧ(г)ёг, где^ч(0 - плотность распреде­ ления вероятности времени пребывания заявки в очереди. За время пребы­ вания в очереди за этой заявкой образуется очередь, в которой в среднем будет находиться Xt заявок. Следовательно, математическое ожидание числа заявок (г), находящихся в очереди, будет определяться по выраже­ нию:

(N - к)П(х>к,m9s) - (n - к + 1)П(x,k -1 ,/л,в) =

Систему (4.9) будем решать в три этапа при е -» 0. Метод асимпто­ тического анализа [11] полагает, что при в -» 0 величина загрузки р схо­ дится к своему предельному значению S. Здесь 5 - точная верхняя граница тех значений загрузки р, при которых рассматриваемая система имеет ста­ ционарный режим.

Этап 1. В системе (4.9) положим в = 0 и, обозначив П(х, кт 0) = П(дс, к, т), получим однородную систему алгебраических уравнений:

М1(дсД/и,в) - q(m)Y,(N- j + 1)П(дс,у - lj,e ) = 0, y=i

( N - к)П(х,к,т,ё)- ( N - к +1)П(я:,Л:- 1,т,в) = 0, 0 <к<т9

решение которой определяется с точностью до величины fix), постоянной по к и т, в виде П(х, к,т) = [N/(N - k)]q(m)/ (JC) .

Этап 2. Найдем решение системы (4.9) с помощью в в виде

Чтобы (4.12) было решением системы (4.11), необходимо выполне­ ние равенства

S N j t q ( k ) Z \ / ( N - j ) = N - S ,

*=2 У=1

которое получается при подстановке (4.12) в первое уравнение системы (4.11) и определяет значение величины

т- 1 к=0

Величина S, являясь пропускной способностью СМО, определяет одну из самых основных характеристик системы, ограничивая предельную загрузку, позволяя функционировать ей в стационарном режиме.

Этап 3. Для нахождения величиныДх) просуммируем по к и т все уравнения (4.9) и получим равенство

Подставляя сюда (4.10), будем иметь

из (4.14) получим для неизвестной Дх) обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

/'(* ) + О/2 (*) = 0,

где коэффициент а, с учетом (4.12), имеет вид

Здесь 5 определяется равенством (4.13), аДх), следовательно, имеет экспоненциальный вид:

/(х ) = Сехр[-х/а].

Таким образом, асимптотическое распределение П(х, к, /я) вектора где е определяется равенством (4.14а), с учетом решения

первого этапа имеет вид