книги / Синтез кулачковых механизмов
..pdf6. Оформить пояснительную записку по разделу «Проектиров ние кулачкового механизма», показав в ней алгоритм расчетов, ме тодику ввода и вывода данных, и приложить распечатку результатов расчета.
Пример компьютерной программы для проектирования плоского кулачкового механизма приведен в прил. 4.
6.2. Кинематический анализ кулачкового механизма
Этот анализ проведем на примере кулачкового механизма с тол
кателем, оканчивающимся острием.
Пусть на фазе удаления центровой профиль кулачка задан в виде канонического уравнения параболы у2=2рх в системе координат хОу (рис. 6.2).
На рис. 6.2 использованы следующие обозначения:
а - расстояние от начала координат до центра окружности мини
|
мального радиуса; |
|
|||
|
(р - текущий фазовый угол по |
||||
|
ворота кулачка; |
|
|||
|
*м, уи — координаты точки М |
||||
|
профиля кулачка при повороте пос |
||||
|
леднего на угол <р; |
|
|||
|
х^ |
уг- |
координаты точкиМ '0 |
||
|
встречи толкателя с точкой на про |
||||
|
филе кулачка; |
|
|||
|
е, |
R . - |
соответственно |
экс- |
|
|
центриситет и минимальный ради |
||||
|
ус кулачка; |
|
|
||
|
К, |
К р К 2, т, п, М '0 - |
точки |
||
|
построения схемы механизма. |
||||
Рис. 6.2. Расчетная схема для |
В |
дальнейшем будем считать |
|||
заданными: |
|
|
|||
кинематического анализа кулач |
|
|
|||
1) |
уравнение центрового про |
||||
кового механизма с толкателем, |
|||||
|
|
|
|
||
оканчивающимся острием
филя кулачка;
2)расстояние а;
3)эксцентриситет е;
4)угловую скорость со;
5)текущий фазовый угол.
Требуется определить координаты х , утточки встречи толкателя с точкой профиля кулачка при повороте последнего на угол ср, а также
скорость в данный момент.
Определим минимальный радиус. Из рис. 6.2 следует:
|
(е л ) |
KKt - у = ifïpK, |
(6.2) |
х - а - е . |
(6.3) |
Подставляя в формулу (6.1) значения (6.2), (6.3), получим |
|
Дпт =Je* + 2p(a-e) |
(6.4) |
Определим на профиле кулачка координаты точки М, которая окажется в контакте с толкателем при повороте кулачка на заданный фазовый угол ср. Для этого необходимо совместно решить уравнение профиля кулачка и уравнение прямой у = кх + Ь, изображающей поло жение толкателя в обращенном движении (см. рис. 6.2).
Составим уравнения упомянутой прямой в системе хОу. Угло вой коэффициент этой прямой равен tg(90 - ф). Отрезок, отсекаемый на оси Оу (с учетом знака) и равный ОК2, определяется из следующих условий (см. рис. 6.2):
|
«0, = — |
; |
|
|
|
С08ф |
|
|
|
|
0 п =а - «0, |
= а - ------- ; |
(6.5) |
|
|
|
|
СОБф |
|
отсюда |
Ь = 0 К 2 =(а - |
е |
)ctg (f>. |
(6.6) |
Тогда уравнение искомой прямой с учетом углового коэффициен та и выражения (6.6) примет следующий вид:
у = х ctg ф - (а |
---------- )ctg ср. |
(6.7) |
|
coscp |
|
Решаем совместно уравнение (6.7) и уравнение параболы:
у 2=2рх,
(6.8)
y = xctg(p-(a- |
)ctgcp. |
COS(p
Решение системы уравнений (6.8) - это координаты точки М:
Ум = /’•tgq>= .//’V < p + 2 /< fl
COS(p |
(6.9) |
|
Хм =p-tg‘(p±tgcp. I p2tg2<?+2p(a---------— ) + |
(a----------— ). |
||||||
|
|
|
|
|
|
coscp |
coscp |
Дифференцируя выражения (6.9) по времени, получим: |
|||||||
dx.м _ |
©I |
2P ’tgcp i |
|
p 2tg2y + 2p(a |
coscp-) + |
||
dit |
cos2 cp |
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
\ |
|
p •tgcp(p • tgcp - |
e • sin cp) |
|
-e-sin cp |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
jp 2tg2cp + 2jp(c7 |
— |
) |
J |
|
(6. 10) |
||
|
|
|
coscp |
|
J |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
fyu _ |
P - a i |
1± |
p • tgcp(j9- tgcp-e-sincp) |
|
|||
dt |
cos2 cp |
|
j92tg2cp + 2/?(<3 |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
coscp-) |
|
Определим уг- координаты точки MJ, встречи толкателя с точ кой М на профиле кулачка. В соответствии с рис. 6.2 имеем:
|
xi = а - е. |
(6.11) |
Координату >>т определим из треугольника O JK JM ^: |
|
|
|
>; = M ; K , = V Ô M V ^ 7 |
(6.12) |
Радиус-вектор |
O j M ' ^ 0,М определим как расстояние |
между |
двумя точками М |
и О,, координаты которых известны (М(хм, ;ум), |
|
О,(о,0)): |
|
|
|
0 1М = У а ~ х ы)2-у11. |
(6.13) |
Подставляя выражения (6.13) в (6.12), получаем: |
|
|
|
Л = М ;К , = J i a - X u f - û - e 2 |
(6.14) |
Дифференцируя (6.14) повремени, получим абсолютную ско рость толкателя при повороте кулачка на заданный угол:
V = É L = |
—Ш: Х -а ) + ^У - Ум |
(6.15) |
||
dt |
К и |
} dt |
||
т dt |
\^ci |
ё |
2ахм "Ьхм -I- Ум |
|
сбс,
Производные —г2- и определяются по формулам (6.10).
dt " dt
Дифференцируя по времени выражение (6.15), можно определить ускорение толкателя.
6.3. П рофилирование кулачковой ш айбы для механизмов с плоским толкателем
Для управления станками с ЧПУ при изготовлении кулачковых шайб требуется аналитическое выражение центрового и действитель ного профилей. Предлагаемый аналитический метод профилирования
кулачковых шайб механизмов различных типов позволяет формали зовать процесс определения координат профиля в декартовой или по лярной системе координат с помощью ЭВМ. Применим данный метод при прифилировании кулачковой шайбы с плоским толкателем.
Рассмотрим неподвиж ную систему координат х0Оу0 и под вижную систему координат x f i y v жестко связанную с ш айбой (рис. 6.3). П еремещ ение системы JC,0 у 1 относительно jc0Oy0 харак теризуется поворотом кулачка на угол (р, при ср = 0 оси систем координат совпадают.
В системе х0Оу0 координаты точки контакта А0 определим радиу сом-вектором гКй, которому соответствует столбцовая матрица:
| Ч |
1 |
( |
ÇI |
\ |
Уа. |
= |
1 |
+ ДпШ |
J |
1 |
J |
1 |
Рис. 6.3. Профилирование кулачковой шайбы для меха низма с плоским толкателем
В системе х (ty координаты точки контакта Aj определим радиу сом-вектором гА| с помощью векторного выражения:
\ =м ю?Аг,
где М хо - матрица перехода от системы х0Оу0 к системе x f ly v
|
|
( costp |
sincp |
0 s |
|
|
|
-sin(p |
costp |
О |
|
|
|
О |
О |
1J |
|
Тогда, согласно определению вектора, |
|
||||
м |
|
^ > o s 9 |
+ (S; + i?min)sin(p ^ |
||
— |
'фsin (р + (^ + Rmin) cos ф |
||||
FA,= >4 |
|||||
1 J |
|
1 |
1 |
J |
|
В полярных координатах радиус-вектор кулачка |
|||||
|
|
га, = ^ 4 ,+у1, . |
|||
п |
|
, где - угол, зависящий от координат точ |
|||
а полярный угол (3 = —- |
|
||||
ки А, на профиле кулачка, Pj = arctg(yAj /x Ai).
6.4. Профилирование кулачковой шайбы для механизмов
столкателем, оканчивающимся острием или роликом
Внеподвижной системе координат х0Оу0 радиус-вектор точки контакта А0 толкателя с шайбой представим столбцовой матрицей (рис. 6.4):
|
|
|
r |
е |
s |
|
|
А , |
= |
s . + s . |
= [ e>5 0 + 6 ; ;i ] T |
|
|
1 |
J |
1 |
J |
где S0 - |
положение толкателя в начале его подъема; |
||||
S - |
текущее перемещение толкателя. |
||||
В системе |
координаты точки контакта Aj определим радиу |
||||
сом-вектором гА |
с помощью матричного выражения: |
||||
|
|
ГА, =[xhi,yK^ |
= М№гы = |
||
|
|
|
ecoscp+CiSJ) +-5,q))sin (p> |
||
|
|
|
- e s ü ^ + ^ o + x S ’(p)co s9 , |
||
J
где М10- матрица перехода от системы х0Оу0 к системе ххОу{
Рис. 6.4. Профилирование шайбы для механизма с тол кателем, оканчивающимся острием
|
|
f coscp |
sincp |
0^ |
|
|
-sincp |
coscp |
0 |
|
|
И |
° |
U |
xk i yK - координаты радиуса-вектора fk |
|
|||
Для перехода от центрового к практическому профилю запишем век |
||||
тор ^Аро |
|
координат точки А р0 контакта ролика с действительным профи |
||
лем кулачка в начале подъема толкателя в системе координат xQOyQ: |
||||
|
|
= [*A. +?'pSine.yA0 - rpcos |
||
где 0 - |
угол давления, tg0= —:-----; |
|
|
|
S9 |
- |
^о- Зр |
|
|
аналог скорости тожателя, Sv = VqBj ; |
||||
rp |
- |
радиус ролика. |
|
|
Тогда радиус-вектор точки контакта ролика и практического про филя (точки Ар1) в матричном выражении в системе ххОух запишем в виде столбцовой матрицы:
ГхА, + Грsin(0 - ср)^ |
r ecoscp + (,S0 + iS ) sincp + rp sin(0-cp) ^ |
||
Та, - грcos(0 - ср) |
-e sin cp + (S0+ S ) cos cp - rp cos(0 - cp) |
||
V |
1 |
J |
|
Для перехода к полярным координатам введем следующие обоз начения: ^
Р0 - постоянный угол, р0 = arctg— ;
е
Та
р, - дополнительный угол, (3, = arctg— - . *А,
Отсюда полярный угол радиуса-вектора р = ро —P j. В полярных координатах радиус-вектор кулачка
' A,
6.5. Профилирование кулачковой шайбы для механизма с коромыслом
При профилировании считаем заданными зависимость \[/ = / ( ср) углового перемещения выходного звена \|/ от угла поворота кулачка ф, а также первую и вторую производные этого перемещения (\|/', у"), длину коромысла /2, межосевое расстояние aw минимальный радиус, радиус ролика г .
На рис. 6.5 изображены неподвижная система координат *0Оу0 и подвижная система координат дс Оу,, которые совпадают при ф = О, при этом начальное положение коромысла характеризуется значени ем \|/0. Повороту кулачка на угол ф соответствует текущее положение коромысла \|/.
В системе xQOy0координаты точки контакта А0 определим радиу
сом-вектором гАо, которому соответствует столбцовая матрица
о
II
* А^ о |
4 |
“ |
4 c o s ( \0i +/ |
\ i |
/ ) > |
|
= |
/ 2 |
s i n( \ | / 0 + |
\ | / ) |
|
У ы |
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 J 1 |
1 |
J |
В системе x fiy t координаты точки контакта А, определим матрич ным выражением
% = Ц Л , ,
где М10 - матрица перехода от системы х0Оу0к системе x fiy ^
f СОБф |
вШф |
О" |
-Ш 1ф |
СОвф |
О |
|
о |
|
Рис. 6.5. Профилирование кулачковой шайбы для механизма с коромыслом
Отсюда |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos ф |
sin ф |
ОV /0 - /2 cos(y0 + \р) |
|
||||
|
ГА , = |
- s in ç |
cosç |
0 |
/2sm(i|/0 + v ) |
|
||
|
|
О |
О |
1 |
|
1 |
|
|
f |
ро - h c o s(4fo + v)]cos ф + /2 sin(\|/0 + ф ) sin ф |
^ |
||||||
|
[/0 - /2 cos(v|/0 + ц / ) ] ( - з т ф ) + /2 sin(v|/0 |
+ ф )с о в ф |
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
г |
/0 СОвф- /2 cos(n/0 + ф + ф) ^ |
( хЛА, Л |
|
||||
|
|
- /0 sin ф- /2 cos(v|/0 + ф + ф) = |
>4 |
|
||||
|
, |
|
|
1 |
|
J |
1 1 J |
|
В полярной системе координат радиус-вектор текущего положе |
||||||||
ния точки контакта кулачка и толкателя |
rA| = Jx^ + у ^2 |
, а полярный |
||||||
угол (3 = р0 - |
р*. |
|
|
|
|
|
|
|
Для описания практического профиля проводим нормаль к про |
||||||||
филю п-п и вводим еще |
одну систему |
координат х2Ау2 с центром |
||||||
в точке А. В этой системе радиус-вектор, описывающий практичес кий профиль, представим в виде