книги / Автоматизация конструкторского проектирования в радиоэлектронике и вычислительной технике. Автоматизация конструкторского проектирования вычислительной техники

Б. Построение другой вспомогательной матрицы faxm для корректировки решений последней ЗОН и получение множества допустимых решений ИЗ.

В. Определение локального минимума ИЗ на ограниченном множестве допустимых решений путем полного перебора его

зультат группирования по 2, т.е. число элементов разных ти­

5 1

ном случае их будем назьшать несовместимbiwji. Множество совместимых пар вида (9) будем называть полным, если в результате их объединения, т.е. применения операции (J над всеми парами этого множества, получается множество ( ft2r ..

Иначе множество совместимых пар называется неполньш. Неполное совместимое подмножество множества (6) будем на­ зывать максимальным, если добавление к нему любой пары из

(б) превращает данное подмножество в несовместимое. Подмножество £ будем называть дополнением_ максималь­

стимых групп, то это множество является допустимым реше­ нием исхош ой задачи.

То, что полное множество совместимых групп удовлетво­ ряет ограничениям (2), (3) и (4 ), следует йэ его определе­ ния и того факта., что каждое подмножество в круглых скоб­

дачи, которое получается перечислением каждой второй верши­

5 2

ляется нижней границей 'M^l, так как не существуетнечет­ ных циклов меньшей длины. Поэтому /м£ / &/ту.

Непосредственно из приведенных определений и леммы 2 вытекает:

Если решение задачи о назначениях с мат­ рицей ^^представимо множеством циклов четной длины, то максимально внутренне устойчивое множество (МВУМ) этих циклов является допустимым решением исходной задачи (1^— (4), причем число допустимых решений определяется количе­ ством различных МВУМ.

Следствие 2. Мощность дополняющего множества & при удовлетворяет «следующему неравенству:

ской, а при е>2 - несимметрической. Каждая ее строка и каждый столбец содержит в - f запрещенных-элементов, недо­ пустимых в решении некоторой ЗОН (недопустимый элемент соответствует двойному вхождению того же индекса в соот­ ветствующий элемент матрицы

Свойству.2.- Для каждой ^^сущ ествует решение ЗОН. Решение с матрицей стоимости tf/W может быть представле­ но множеством Не- Множество Не состоит из пь подмно­ жеств, мощность каждого из которых равна € t иначе любое подмножество - это скомпонованная группа из е элементов. Объединения некоторых из этих групп либо сами являются до­ пустимыми решениями ИЗ, либо группы могут быть скоррек­ тированы путем введения некоторых дополняющих подмножеств для получения допустимых решений ИЗ.

0 £ / Gf; /7 GC;/ £ &,

5 3

Для нахождения множества допустимых решений Хд ИЗ необходимо: а) определить лдля групп фу и ^подмножество

заменить <л*//7Gej дополняющим множеством D в

щего функционала. Решение этой задачи уожно использовать для корректировки и получения Множества допустимых реше­ ний ИЗ. Может показаться, что в случае л =2 это нецелесо­ образно, так как'вычислительная сложность стратегии 2 0(ms) (имеется в вицу венгерский алгоритм [3 ]), а при выборе стратегии 1 получим результат не хуже пртг объеме вычисле­ ний (7(т2).Выбор стратегии 2 может быть оправданным в смыс­ ле единства реализации метода и в том, что она дает возмож­

5 4

55

7 ©3323 1- 3 2-2

81 5 3 0 1 2 3 - 1 3

93 0 2 4 3 2 2 1 - 2

103 3 11©4 2 3 2 -

Врезультате выполнения шагов а), б), в) и применения

(10)получится ((//€ !> ):

'(1,4,5,6,8), (2,3,7,9,10);

ложения. Так как венгерский алгоритм для решения ЗОН име­ ет сложность 0(т 3) [3] , то при <*/2 -кратном его применении в предлагаемом методе получим оценку 0(т+)Л\щ больших т метод требует значительных затрат машинчоготвремени, поэто­ му в реальной системе для подготовки программ сборки ис­ пользуется последовательный алгоритм сложности 0(fn2) ^ хо­ де предварительного эксперимента сравнивались результаты этих двух методов при п = 2 щИз 15 сравнений только в двух случаях функции цели оказались одинаковыми, а во всех ос­ тальных описанный метод дал лучшие результаты {т> изменя­ лось от 10 до 3 0 ).

5 6

Объем вычислений в предлагаемом методе можно умень­ шить на порядок, если на этапе А использовать эвристические процедуры сложности 0ст*)ъщ решения ЗОН. Нет принципиаль­ ных затруднений учитывать заданное число блоков того же ти­ па и повторяемость того же элемента в блоке. В этом случае

(4) превратится в неравенство. ДОотод в общем случае являет­ ся локально оптимальным. Если же при компоновке групп по два блока решать не ЗОН, а вспомогательную задачу нахожде­ ния минимального совершенного паросочетания в полном неори­ ентированном взвешенном графе с матрицей соединений то получим для этого случая оптимальное решение.

Эксперимент проводился Авиженисом. Ряд полезных заме­ чаний быловысказано Палубецкасэм при обсуждении метода. Автор выражает им искреннюю благодарность.

Ли т е р а т у р а

1.СЕЛЮТИН В.А. Машинное конструирование электронных

устройств. - ДО» : Советское радио, 1977. - 384 с.

2. ГИЛЬБУРД М.М. Об эвристических методах решения задач разбиения множества взаимосвязанных объектов. - Ав­ томатика к телемеханика, 1984, N? 1г с. 107 -113 .

3. КРИСТОФИДЕС Н. Теория графов (алгоритмический подход). - M.s Мир, 1978. - 432 с.

СИНТЕЗ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ УКЛАДОК С МИНИМИЗАЦИЕЙ ЧИСЛА МЕЖСЛОЙНЫХ ПЕРЕХОДОВ

Р.П. Б а з и л е в и ч , Ю.М. Г рес ьк о

На этапе топологической трассировки двухслойных струк­ тур при синтезе укладок множества £ электрических соеди­ нений решаются две основные задачи: определение для каждо­ го слоя наибольших множеств взаимэнепересекаюшихся соеди­ нений [1J и минимизация числа межслойных переходов для нереализованных соединений. Эти задачи взаимосвязаны: из­ вестно, что для реализации в двух слоях каждого из не во-

57

2.

Для решения задачи выделения плоских укладок без пере­ ходов в качестве математической модели обычно используется граф пересечений и поиск сводится к нахождению наибольших внутренне устойчивых множеств его вершин. Соединения каж­ дой полученной укладки можно построить независимо. Появле­ ние же в укладках фрагментов соединений с переходными от­ верстиями, которые топологически связывают обе укладки, су­ щественно усложняет задачу и требует такой математической модели, которая однозначно описывает структуру взаимного расположения соединений на двух слоях.

На рис. X представлено некоторое топологическое распо­ ложение в области от множества соединений Е (u/)jчьи выво­ ды образуют по контуру циклический кортеж Л .ш (Х).Вполне естественно, что система точек пересечения этих соединений внутри области неоднозначна. Достаточно некоторого тополо­ гического перемещения произвольного соединения, чтобы ее изменить. Для описания данной топологической ситуации, од­ нозначно определяющей систему точек пересечения соединений и образованных внутренних граней, возможно использование различных моделей. Так, достаточно для каждого соединения

5 9

санием характеристик их смежности и списков отрезков соеди­ нений, их образующих,

.Ситуацию внутри области со опишем плоским графом сов­ мещенной топологической укладки G^CZyi/),множество Z вер­ шин которого соответствует условным точкам пересечения со­ единений множества E(co)>* ребра - отрезкам этих соедине­ ний, находящихся между двумя вершинами.

Соединения множества Е(аг) могут быть раскрашены ввдва цвета тогда и только тогда, когда множество i/i/Cco) не содер­ жит иечетиых граней, И как следствие - в графе ffZ ^образо­ ванном двумя плоскими укладками, все грани множества И£(си] четные, В противном случае была бы невозможной бихроматическая раскраска соединений множества £ Ссо)*

грани трансформировать в четные путем введения* дополнитель­ ных вершин, соответствующих переходам со слоя на слой (рис, 2, б, д). Введение каждой новой вершины-перехода из­ меняет степень двух смежных граней, инцидентных ребру, на котором эта вершина расположена.

На рис. 2а представлено 6 соединений, образующих две плоские укладки. На рис, 2 б, в, г, д постепенно изменяется место расположения одного из контактов на кортеже -Л-о> CV таким образомь что число пеоесечений возрастает. Это приво­ дит .к возникновению новых нечетных граней (заштрихованы). При последовательной раскраске в два цвета соединений, об­ разующих нечетную грань, на последнем из них возникает кон­ фликт: O H D оказывается смежным с раскрашенными в разные цвета соединениями. Соединения, образующие четную грань, однозначно раскрашиваются в два цвета, которые сохраняют­ ся в последующих четных гранях.

Для заданг го графа существует множество вариан­ тов трансформации нечетных граней в четные с различным чис­ лом переходов, каждому из которых однозначно соответствует свой вариант бихрэматической раскраски соединений. Числом переходов /о графа будем считать то минимальное чис­ ло переходов, с вводом которого все его грани становятся четными. В общем случае для графа & со может существовать множество различных бихроматических раскрасок соединений с числом^. Для получения суб оптимальных раскрасок предла­ гается использовать следующий подход:

6 0