книги / Автоматизация конструкторского проектирования в радиоэлектронике и вычислительной технике. Автоматизация конструкторского проектирования вычислительной техники

Значение

оптимум a /f г&)^+Ьк(к-1)№*/2 достигается на

решении t =

1А)ьТ(л,к,м)> где

й -{/>&/#£

,

т. е.

F'CGJ^FCtfsGJ.

1Э- 6 Э и выбором

кон­

Путем детализации л. 2° схемы

подграфа

<S можно выбирать полный граф (?= V*UV" Ё Л

/ V'4-S>0j\S£z/V*l*s+{ j имеюшиисследующие веса ребер: с>

Л>о

,

если

Cjjt ^'или

Cyy € / f/j

в противном случае.

Условие

б)

в п,

2 5 тогда

принимает

следующий вид: если

/ У'/* s+f^ то существует только одно подмножество

..v^ такое, что U

V 'l-tlft/lfc llj>Oj

если / Р / ^ т о

таких*"

подмножеств пет. При этом %Св) =0. Подграфы*^ с

неболь­

шим (по

отношению к л ) числом всфшин можно выбирать слу­

Допустим, что задано представление

А и /п

в виде

про­

изведения положительных целых чисел: к

у m =*пх nty - Обо­

значим

через/?

двумерную решетку

размерности

Ky/r*yXkxrtbj

т.е. множество

t J s

точек

п л о с к о с т и ,

каждая из которых представлена своими координатами

6

и/

по вертикали и горизонтали соответственно. Решетке

/? мэж-

но сопоставить гр аф

с мн ожеством першнн

УС*)- { УуЦ■

К

И множеством ребер

/i-t j

v/j- s / - / / .

Естественным

образом R

можно разбить на *

под­

решеток

j*

+

.Обозначим эти J

каждая из которых имеет размерность

поарешетки

через

и соответствующие им графы через

*

=s <Y(R£)J

<f: У—* У(*)- взаимно

однозначное

отображение,

ставящее каждой вершине б€{/ вершину

(и тем

самым

точку

решетки) р>Ы) 6 УС&) графа ^^ЛУ.Обозначим че­

рез

длину кратчайшего пути между вершинами peyj

и

в графе

т.е.

~/<S-v/+tt-zJj rixe^fcO =»^ f У г** J

J ’ty'S'" * *

*

* ,

€

Пусть

l у = {t< jb

множество всех

путей между рсО

и

в графе G fxj, длина которых рав­

ны

tit*/*

Каждому 4

сопоставим ч и с л о в е р ш и н

ua этом пу­

ти,

принадлежащих

V

. Положим

L& s f* y e * - i//£ r

r * t y } .

v

■*

t

. Выбрать

отображение^ и разбиение множества

pcfi)

на

,

2°.

Положить

tty .

3°. Вычислить

ty y e K

t t y .

#6у среди всех пар

4 Э, Выбрать пару

i j e ^ c

наибольшим

j ДЛЯ KDTOpbtX

a)

C y - 0 ;

* ) * * * $ , где ^

и

^

таковы,

чтоf a 'j e

можно и /

Если такой пары

нет,

то

перейти 7°

(это

сделать

раньше),

Ss/'f

5°. Выбрать вершину

/

на некотором пути

такую,

ч

т

о

и

////-£ ;* /* £ * * в ыбрать

д е fz .f ,z £ j m

6°. Положить

рвйти к

4

7°. Определить ^ / ^ > 7 ^ / Положить

% сфг\

8°. Генерировать

случайную перестановку р - г/эс/^.^р cnj,

осуществляющую перенумерацию вершин графа

Вес

ребра

/уо^рсг/^эт ого

графа равен

С у • Оптимальное значение

/ f CGJ=

Сk -/J т * /-?.

являются /сх

/&х у

Параметрами

алгоритма

и <5~ В частности,

можно взять Z,

вг/^В ы бор

вершины /

да к 7° можно использовать условие ]Х< Су

- задан­

ный порог, при выполнении которого ifbfeop новых пар

прекращается.

Алгоритм 1 ° -8 D генерирует тестовые задачи,

которые спо­

/Z — 12,

М = 3,

/77 = 4,

= 3, ^

“ 1, /т /х^/ру ~ 2,

= 1,

Z^Zi = ’X

(тогда

л - 1,

/I = 1).

Решетка ^ и ее

разбиение

(1,11+5),

(2,12+ 11),

(5,7+11), (7,12+8),

(6,8+2),

(3,6+4),

(3,11+5),

(4,12+ 10),

(5,9+10), (9 ,1 2 + Ц ), (6,10+4)!

(2,9+8),

(4,11+ 5), (5,8+2). Дальнейший выбор треугольни­

ков невозможен ввиду

отсутствия nop i , j £

цля которых вы-

© ® (D

©

©

©

г 2 3 4 5 6 7 8 9 го и 12

1

0' 3 t о 0 2 0 2 2 0 0

0 0

2

3 0 г 4 2 3 2 4 0 0

2 0

3

2 г 0 2 3 0 0 2 г 2 0 0

4

0

4

2 0

2 4 0 0

2 5

0

0

5

2 2 3 2 0 г 0 0 0 2

5

2

6

0

3

0

4

г 0 0 0 0 0

2

г

7

2

2 0

0

0

0 0 3 3

0

3

0

8

2 4

2

0

0 0 3

0 2

2

г 3

9

0

0

г 2

0 0

3

2 0

3

2 0

го

0

0

о 5

2

0

0

2 3

0

г 2

гг

0

2 0 0 5

2

3

г 2

г 0

3

г2

1о 0 0 0

2

г 0 3 0

2

3 0

выбираются свободная вершина i

и подграф &/, максимизиру­

ющие функции

^ г а е

при соблюаеНИ5[ условия

,

суммарный вес ребер, свя­

зывающих вершину /

с вершинами ,уже отнесенными к

(число

таких вершин

обозначено через

). Выбранная

верши­

на

с

из списка свободных переносится в

m>j

увеличивает­

ся

на

1 и процесс повторяется, В рассматриваемом примере

эт D T алгоритм дает

разбиение

= / l ,

3, 8t

2 /,

- /4 ,

10,

6,

9 /,

^11, 7, 12, 5 /,

на котором

целевая

функ­

ция

F

принимает значение F*(GJ =• 5 2. В качестве

оценки точ­

ности

алгоритма можно принять величину

M F F 'C G )-

CFC(£>')-f0 C&)J

где F(G)~ среднее значение функции

Для

полученного решения

Л = 20,4 .

ГЗ

проведенном эксперименте генерировались тест-задачи

ных устройств. - М.: Советское радио,

1977. -

3

8 4 с.

2.

ГОРИНШТЕНН Л.Л. О разрезании графов. -

Изв. АН

СССР.

Техническая кибернетика, 196 9 ,

N? 1, с.

7 9 -8 5 .

ная техника, 1970,

5, с. 4 0 -4 7 .

но связные подграфы.

- Изв. АН CCCFj. Техническая киберне­

тика, 1975, N? 6, с,

1 2 2 -1 2 8 .

\

5 . БОРОНИН А.Б., ПЕШИН 0.10. Разбиение сети на мини­

мально связные части.

Автоматика

и телемеханика', 1 9 8 4 ,

паратуры". Каунас: КПИ, 1 9 8 4 , с.

6 1 -6 2 .

8. КОРОБКОВ Б.П., РАСТРИГИН Л.А. Рандомизирован­

ные

методы разрезания графов.

1,

- Изв. АН СССР. Техниче­

ская

кибернетика, 1982, № 3,

с.

1 6 3 -1 7 2 .

ки точности

приближенных алгоритмов являются грубыми [5 ,

l l j , многие

авторы прибегают к экспериментальному иссле­

)

И

(X j,y j\

( / , / -

1, 2 ........J

)

определяется

no

( t) :

4 (Pi.

~

l+tfi -У;/-

(г >

Требуется

найти маршрут

lC’<r<-sjjPKr>j>($'(iJ£v<jJ),

проходящий

через

все точки

из

P f и для которого сум­

ма (2 )

является минимальной:

Ъг(е-о)*f *

ЪсШ -Ь)*

^ ^

+4C/$rCS)j fifrnj)-*r * actfres» ^srcoJАг '

&(£-, ,P

)* А*

еСПИ *#«)**!?«*» *

J

(3)

''(Qfrtuv*

JO

-

в

противном случае,

в маршруте;

т.е. при а -

1

определяется ''лишний*'

угол

kjj£z>,ll- весовые коэффициенты;^

= О, если вместо

(1)

применяется,

например,

(4):

У г $ / ,Х

(4 )

Отметим, что задача в аналогичной постановке рассмат­

ривалась Тимофеевой

[7J,

однако ею предлагаемый

алгоритм

принципиально отличается от алгоритма "клина".

ЭтаПЬ1_ Я\п[rjJjniTNiD

А. Определение начального маршрута

щие условия

(рис. L,

а):

такого,

что выполняются следую­

а)

все точки

из

Р

входят либо в

маршрут

/ 7

>

Л И ^ Э

D

плэитдь

ф ^ограничиваемую этим маршрутом;

б'

длииа маршрута

/7*прн этом

минимальна;

в )

плэшпдь

ф *минимальна

при соблюдении

(а)

и

( б ) ;

Б. Наращивание

маршрута

/7 * (рис. 1,

б-д), охватываю­

щее следующие моменты:

&rcMj

-

определение для каждой

пары

множества

от

^

J

'г^ ек’

стэя“‘их В

меньшем

расстоянии

/?с в

отрезке

от

до

ft***

и не входящих в

/7 ^последовательность точек

нз

удовлет­

воряет условиям

feed)

/ если

*2?aj $

и+п,

S u fi)

'

еСЛИ

& ys ( l .ij;

-

вычисление

функции

где <t*(%a)> %Г(Ш))

и a*flSrtt)tffru*a) - соответственно суммарная

длина пути и число углов (см. (3 )) б отрезке маршрута от

Ъг(1) до fyu+ihbели принять, что последовательность точек

<&г/Л'^г*;.''»>£к?включена

в маршрут между fyre)

и & п+ о;

- выбор

такого /#

что /£=minfe)точки из Л£в

в вышеука­

занной последовательности включаются в маршрут между

и & с/Ф+0.

Б

повторяется

до тех

пор, пока все точки из

Р не

Этап

окажутся

в

маршруте.

В. Изменение очередности обхода точек в маршруте с це­

лью уменьшить в кем

число углов (рис. X, е) таким образом,

что если

для некоторых //7®

Ли /пст*£3,..., S; m + i

в маршруте 17s

удовлетворяются

условия (5 )-(7 ),

И

УЯCL+f)j

^

Ая с тt

f

o f

O

j

ИJfav/rv€{УясоJ SOra+frfJ

^

г/гг)^

-rjj *jrrm+r;J

tУжcm-v*У/rrm+vb ^^ ^

то точка

fy<m) в' маршруте /7J из места п?

переносится

между

Этап

В повторяется,

пока в /7& имеются

такие

С и л?.

Из-за

простоты подробное

описание этапов

А и В опущено.

£нииЛ]3 2 1 Ч Щ т _ а _ _£>1*

Введем

следу­

ющее обозначение. Пусть /7£ -

некоторый маршрут

(t<s)9 а кэ-;

ординаты узлов

сетки

(УС) г 9*г'' удовлетворяют

(8);

Ж2

(либо

у*)

(8)

Тогда последовательность

точек вертикали X7 (горизонтали у')

от И* до

у'* включительно

и не входящих в маршрут /7*

обо­

значим

(рис. 2). Если в данном интервале вертикали

А* (горизонтали у*)

не

имеется точек, то

это

обозначим

остается в

левой

стороне.

1.

Установить значения коэффициентов кг,кг ;z:= о

( * -

шаг координатной

сетки).

-----------------—

i

1

1

1

1

_______________1

|

—

1

9

■ '■ " я

А к —

1

1

■ Г Г —

i »

W

и Г

-----------------------1 } ш ш w m n i m

1

1

<

______________1

l

1

______________1

— А

} _____________1 И

J

L

i

п

I

F

-------- <

.

1

р!

А

А

А1

• = 5 ^ = ё г = г = 4 ► = Г ^ = Г = И

► = г - , = п =

т а а п ’И -- д а

Рис. 2. Пример

определения последовательности

<Су', у ] >-</>,/> ,/=>

2.

к = О;%,{/г :=Sff ( L ~ индекс гонки в маршруте ЛЬ F . "=■

3 .

^m cn q

mtn

^:

4 - •**■' ” л*«+/ГАЛП)'*?:*Узг«+гГ&-го ■

5.

Определить координаты

УС г ' и v * :

Г * х ш

,лц * 0 п \\^ ах ау<0,

х'= I *ЛШ -*> АУ>0 "

l x g "/ * X, A f < 0' 1 * * " / J .

Y jtooi

■**<*"

rj&a*,)

>4 ^

л и б ° Ax-Ajf>o,

х и~

Ъа+О-* /4у>0И

Axsff,

*2a*/)*1 / йУ<0и

» 0}

t/ra+tj

- ах=рппбо ал ау*о,

«Г =

Уха+о-* j **<*«■

‘°? 44

#F(t+u+zjAX>o\i

л у *■о.

6.

Если H3f?<ve *ти+о либо

-

yxw i)jT0 определить по­

следовательность «гfyJr*J>~<%,ajj'i>r2>,— ,

x ^ (fj>

гце

С( fnaXfax,Ay) + f;

перейти к

шагу

9. Иначе -

к ш. 7.

7 . Определить координаты УС

*"*и У 'у

( *

AA'4f>0,

п

=

/

ДХ*0 мду<0/

ДХ<0 идд>0}

1

Lх ? а + о - х

/

Д*' A{f<Ot

ГУ'

У

- А

1fr ((H )+ Z

/

ДХ>0 мдy>Oj

(. У*г((+о ~z

у

АХ<0 мД(/<0)

АЛ ду< QJ

г Хт

/

У 1 ш 1

>

дХ<{? и ду<0/

ДХ>0 И &y>0j

1 f * + r

у

А

г У**

ДХ-Ду> OJ

у*-/

Д Х > о

м Д у < 0J

У ^ /

ДХ<0

мду>0.

8.

Определить последовательности:

где <?<$£*/

<CYj y uJ>*<

fart)r J

%€/сен)*%>Г*+*)'

'

О. Если

о, то перейти к ш. 14. Иначе - к щ. Ю,

10. дЖ

'£'<•/;}* crffyay&wJ

1 1 .4

, *а,C/JU

fcuc2))+ "*& (tyci+ rty& ffottjt& rfojfi

,___bf*0t+ fiZAO.

Л

12. r£ -~

c

13. Если f

v', ),'/>),

14 . l;»L+f.

15. Если L<-i+fj то перейти к ш.

3.\ Иначе —к ш. 16.

16. Если /min= 099,

то «Г: ~z+tj перейти к

ш.

19. Иначе -

к ш, 17.

17. Последовательность точек <iff&>включить в

маршрут №

вслед за точно».

fyc//ve_>:

CPC/+Sk*f):**Si(i+Oj$rti+fX) “Ж аЛ-'••j$r(MP+SX+f)'’$i’CMD+t)j

& (W

Со(Ш }&Ш о*№~/):*=eo(SX-Oj -.jffe m

+t)>-Ф (0 ,