книги / Микрополосковые антенны и решетки в слоистых средах

Теоретические сведения для анализа микрополосковых антенн

1.6. Метод саморегуляризации и алгоритмы численного решения

интегральных уравнений

Одномерные интегро-дифференциальное и интегральное уравнения первого рода для полного тока микрополосковой антенны, вывод которых рассмотрен в п.1.3, имеют своими аналогами в теории тонких проволочных антенн соответственно уравнение Поклингтона и уравнение Галлена [7].

Распределение тока тонкого проволочного вибратора с диаметром провода 2а « Х сопоставимо с распределением полного тока ленточного вибратора с размером ленты 2d « X , если принять 2a=d. По­

этому расчет тока проволочных антенн, для которых получены многочисленные результаты теоретиче­ ского и экспериментального исследований, может служить модельной задачей, а ее решение - представлять тест при расчете полного тока микрополосковой антенны при той же геометрии проводни­ ков. Особенности построения численного решения интегральных уравнений первого рода рассмотрим на примере решения интегрального уравнения для полного тока микрополоскового вибратора[8]:

(1.38)

- L

где 2L - длина вибратора; 2Ъ - размер щели на его входе; U -разность потенциалов на входе; G(x, х0) - ядро уравнения, имеющее логарифмическую особенность; Сь Ci - коэффициенты, определяемые из до­

полнительных условий на концах вибратора.

Задача решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода, к которому относится уравне­ ние (1.38), является некорректной по А. Н. Тихонову и требует ее регуляризации. При этом актуальным является построение методов и алгоритмов регуляризации, требующих малых вычислительных затрат и расходов ресурсов ЭВМ. Для интегрального уравнения с ядром, имеющим логарифмическую особенность, наиболее приспособлен простой метод регуляризации, который называют методом саморегуляризации [5]. Он основан на использовании априорных свойств искомого решения и особенностей ядра интегрального уравнения. При этом предполагается, что производная решения ограничена. Тем самым выделяется компактный класс решений, где задача корректна.

Метод состоит в выделении особенности ядра интегрального уравнения, локальной интерполяции искомого решения и сведении при его дискретизации с шагом А, где А - расстояние между соседними точками коллокаций, к хорошо обусловленной системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Предполагается , что точки коллокаций совпадают с узлами интерполяции. Заметим, что существенным является локальная аналогия искомого решения с интерполируемым.

Устойчивость решения СЛАУ в алгоритме саморегуляризации обеспечивается преобладанием диа­ гональных элементов матрицы системы. По определению, для элементов этой матрицы выполняются

За меру обусловленности системы может быть принята величина шах |аи| /min /;•, i,j = l,2,..,N Если

эта величина невелика, то СЛАУ хорошо обусловлена и ее численное решение является устойчивым. Критерием правильности приближенного решения служит его внутренняя сходимость в серии рас­

четов при сгущении точек коллокаций (увеличение порядка N матрицы СЛАУ) с последующей оценкой

невязки решения во всем интервале интегрирования. Контроль сходимости приближенного решения можно осуществить сравнением с тестовым решением модельной задачи, о которой сказано выше.

При указанном методе погрешность решения интегрального уравнения определяется погрешностью вычисления элементов матрицы СЛАУ при данной кусочно-полиноминальной аппроксимации решения

20

Теоретические сведения для анализа микрополосковых антенн

на шаге А. Если квадратурная формула численного интегрирования выбрана, то имеются два способа уменьшения погрешности решения.

Первый состоит в том, чтобы при данной степени интерполяционного многочлена уменьшить шаг дискретизации А. Второй способ - при сохранении шага А увеличивается степень многочлена, т.е. уве­

личить число используемых для этого узлов интерполяции. Однако, степень аппроксимирующего мно­ гочлена не должна быть слишком большой, так как это существенно усложняет программную реализа­ цию алгоритма и увеличивает время счета матрицы СЛАУ на ЭВМ. Увеличение числа точек коллокации ведет к быстрому росту объема вычислений порядка СЛАУ и, следовательно, объема занимаемой опера­ тивной памяти ЭВМ. Поэтому возникает вопрос о выборе наиболее выгодного с точки зрения расходо­ вания ресурсов ЭВМ способа кусочно-полиномиальной интерполяции и шага дискретизации А, обеспе­ чивающих получение приемлемого числа решения.

■Сравним четыре алгоритма, реализующих метод саморегуляризации при численном решении интегрального уравнения (1.38), по ресурсам ЭВМ и проведем редукцию интегрального уравнения к СЛАУ, используя при дискретизации равномерное разбиение отрезка интегрирования на У частей с шагом h=2L/N. В результате по­ лучим сетку переменных {jt/f *у} таких, что JC0={X/=(I - 1)А -L}, х = {*,=(/ - 1)А - L}, /,у=1,2,3...,(АМ-1). В узлах сетки {xit Xj}, /,у=1,2,...,(А^н-1) имеем элементы Ар i,j= 1,2,...,(АМ-1) матрицы СЛАУ.

Алгоритм 1. Применим интерполяцию с одним узлом, что предполагает кусочно-постоянную аппроксима­ цию тока 1{хо) на отрезке А. СЛАУ имеет вид

N+1

Y,AjiIi=Fj-, y = l,2,3,...,(W + l),

/=1

.v,- 1/2

Fj = l//6 0 J0(e)sin|jty.|.

В СЛАУ обычно учитывается условие на концах вибратора /(L)=/(-L)=0. В этом случае матрица систе­ мы доопределяется элементами Ау = - c o s Xj ,j= 1, /=1,2,...,У+1, Ay = -sin x y ,y=N+l, /=1,2,...,У+1.

Преобладание диагональных элементов матрицы обусловлено особенностью ядра. Их вычисление про­ водится в явном виде на отрезке А < 0,3 (А < 0,052А), где А -рабочая длина волны. Вычисление остальных элементов матрицы - по квадратурной формуле “средних” прямоугольников. Шаг дискретизации А является параметром регуляризации.

Алгоритм 2. Применим интерполяцию с тремя узлами, что предполагает квадратичную аппроксимацию тока

1{х0) на отрезке 2А в виде

21

Теоретические сведения для анализа микрополосковых антенн

Ay = - c o s x j , / = 1 У = 1,2,3,..., (У + 1);

A ji= -sm X j, i = N + 1 у = 1,2,3,...,(У + 1).

Процедура вычисления диагональных элементов состоит в “вырезании” особенности ядра на промежут­ ке Ах0<0,3 и интегрировании ее в явном виде. На остальных частях отрезка 2А интегрирование проводится по квадратурной форме Гаусса с двумя узлами.

Эта же квадратурная формула используется для вычисления других элементов СЛАУ. Увеличение узлов квадратурной формулы приводит к резкому увеличению времени счета.

Алгоритм 3. Используется кусочно-полиномиальная аппроксимация, осуществляемая кубическим сплайном. Ток/(д'о), д'0е [xit x/+i], /=2,3,...,У представляется в виде I(х 0) = /■+ в - (х0- л ') + С, (х0 -х , f + di (х0 - xf f где

в/ = (7, + i (<т,+1+ 2а,)Л; С, = За,., </, =

= (а,+1 -а,)/Л; а, = /'(д:0)/6; х0 = х,.

При построении алгоритма основной вопрос состоит в вычислении коэффициентов сплайна.

Вычисление элементов матрицы СЛАУ сводится к вычислению однотипных интегралов, в которых по­ дынтегральная функция представляется ядром с полиномиальным множителем. Для вычисления указанных элементов применяется квадратурная формула Гаусса с четырьмя узлами. Процедура вычисления элементов главной диагонали матрицы СЛАУ та же, что и для Алгоритма 2.

Алгоритм 4. Используется тригонометрическая интерполяция тока 1(х0) на промежутке jc0e[jc,-, /=2,3,...,У в виде f(x 0) = Ai + Bi sin(x0- x i)+Ci cos(x0- x i).

22

Глава 2. Микрополосковые вибраторные антенны

2.1. Расчетная модель микрополоскового вибратора. Интегральное уравнение для полного тока вибратора

Микрополосковые вибраторы представляют один из основных типов микрополосковых антенн и находят практическое применение, как в качестве самостоятельных антенн, так и в составе более слож­ ных антенных структур и антенных решеток. Использование составных линейных и нагруженных виб­ раторных структур позволяет изменять их электродинамические характеристики и расширяет возмож­

ности применения антенн этого типа. Выделяя наиболее существен­

пряжения и определить вход вибратора, причем эти предположения принимаются обычно для вибратор­ ных антенн из тонких проволочных проводников [7]. Ленточные проводники расположены на диэлек­ трической подложке (слое) (см. рис. 5), которая служит конструктивным элементом антенны. Для дру­ гих применений, например, для задач диагностики, слоистая среда антенны может быть многослойной. Возбуждение вибратора обеспечивается разностью потенциалов U на его входе, при которой в области

щели устанавливается первичное поле Е° Структура этого поля зависит от условий конструктивного

перехода фидерной линии к полосковому вибратору и ее анализ в строгом виде представляется затруд­ нительным.

Принимая во внимание размеры вибратора в области щели и предполагая его эффективное возбуж­

дение, расчет поля можно провести в квазистатическом приближении [9]

Для задачи дифракции поле Е° представляет поле плоской волны, падающей на ленточную струк­

туру ^пр вибратора.

Математическое моделирование микрополоскового вибратора основано на выводе интегрального уравнения для его тока. Как следует из п.1.5, одномерное интегральное уравнение для полного тока виб­ ратора 1(х0) имеет вид:

23

Микрополосковые вибраторные антенны

В (2.2) и (2.3) приняты нормированные относительно величины к = 2п/Х линейные размеры.

Для первичного поля (2.1) уравнение (2.2) принимает вид

-L

где W = ТдоАо ;Л(в) - функция Бесселя нулевого порядка; U - разность потенциалов на входе вибратора.

Определим элементы тензорной функции Грина слоистой среды, которые определяют ядро (2.3) интегрального уравнения (2.4). Для случая слоистой среды (см. рис. 6), используя выражения (1.13), по­ лучим при 0 < z0,z < # 2:

В частности, для случая диэлектрического слоя (см. рис. 5) из этих выражений для ядра интеграль­ ного уравнения (2.4) можно получить элементы при |х - х 0| = ^ :

Следовательно, ядро (2.3) интегрального уравнения (2.4), учитывая представления элементов^ тен­ зора (2.5), имеет логарифмическую особенность. Это определяет интегральное уравнение (2.4) как инте­ гральное уравнение Фредгольма первого рода для полного тока микрополоскового вибратора.

Для его численного решения используется метод саморегуляризации (п.1.6). Неизвестные коэффи­ циенты С| и С2в (2.4) определяются из дополнительных условий на концах ленточного проводника виб­

ратора и учитываются при построении алгоритма численного решения.

24

Микропо.юсковые вибраторные антенны

В отсутствие слоистой среды узкий ленточный вибратор с поперечным размером 2d сопоставим с тонким проволочным вибратором той же длины с диаметром провода 2а. Можно показать, что ядро (2.3)

интегрального уравнения (2.4) для полного тока ленточного вибратора совпадает с ядром интегрального уравнения того же вида для тока проволочного вибратора при замене 2a=d. Это обстоятельство позволя­

ет использовать результаты численного и экспериментального исследования тонких проволочных виб­ раторов [7] при исследовании микрополосковых вибраторов, например, в виде тестовых результатов.

2.2.Алгоритм численного решения интегрального уравнения (2.4)

■Для интегрального уравнения (2.4) с ядром (2.3) для полного тока микрополоскового вибратора предложен наиболее простой метод регуляризации, называемый методом саморегуляризации (п.1.6). Этот метод является эффективным численным методом решения указанного интегрального уравнения. Численная реализация ме­ тода состоит в следующем.

Зададим разбиение отрезка интегрирования в (2.4) на N частей с шагом h=2L/N и образуем сетку пере­ менных {*,, Xj} таких, что х0={*,•=(/ ~ 1У7 *={*/=(/ “ 1)* - £ } , Ч~ 1,2,...,(N+1). В узлах сетки {xjrx,},

/\/=1,2,...,(ЛМ-1), предполагая кусочно-однородную аппроксимацию тока вибратора на шаге дискретизации А, получим СЛАУ

-h/2

Принцип саморегуляризации предполагает такое определение диагональных элементов матрицы СЛАУ, которое превосходит по величине остальные элементы матрицы. В этом случае определитель системы отли­ чен от нуля и ее решение является устойчивым. Преобладание диагональных элементов обусловлено особен­ ностью ядра G(£) и зависит от величины А. Эта величина должна обеспечить необходимое приближение ко­ нечномерным оператором в (2.7) интегрального оператора в уравнении (2.4) и, с другой стороны, обеспечить устойчивость решения СЛАУ Реализация этого может быть различной. Укажем процедуру вычисления эле­ ментов Aiiy которая состоит в “вырезании” особенности функции G(Q на достаточно узком промежутке %е[-

Д,ДУ отрезка А, интегрировании особенности в явном виде на указанном промежутке и интегрировании функ­ ции G(£) на остальной части отрезка по определенной квадратурной формуле. Выбор промежутка проводится при тестовом расчете и составляет обычно величину Д<0,01. Отметим также возможность вычисления диаго­ нальных элементов матрицы в явном виде при достаточно малой величине шага А.

Особенность функции G(Q при £ « 1 , как следует из выражений (2.5), определяется из представления

(2.6). Тогда при промежутке £е[-Д, Д] для диагональных элементов из (2.8) имеем

25

Микрополосковые вибраторные антенны

Программная реализация алгоритма на ПЭВМ типа IBM PC проводится на основе процедуры создания библиотек для трансляторов FORTRAN-MICROSOFT [11].

2.3. Входной импеданс и диаграмма направленности вибратора

Определив из решения СЛАУ (2.7) распределение тока вибратора, можно определить такие его ха­

26

Микрополосковые вибраторные антенны

Грина (1.8).

В свою очередь, указанные элементы, как следует из п. 1.2, можно представить:

нарной фазы [12] в стационарной точке 6=тполучим:

Аналогично, для другого несобственного интеграла из (2.10):

27

Микрополосковые вибраторные антенны

(2. 12)

Выражения для компонент векторного потенциала Ах, Az следуют из (2.9), (2.11) и (2.12). Используем далее соотношения для составляющих поля вибратора в дальней зоне [13]:

Ев - -ikWAg; Е9 = -ikWA1(), где А$ = Ах cos<pcos0 - A . sin0 + A v sin<pcos0 , А'^ = - А х sin (р + Ау cos <р.

Тогда из этих соотношений, вычисляя компоненты потенциала Ах, Az для полного тока вибратора 1(х) из (2.31), окончательно получим для поля излучения E& Е<рвибратора:

L

Ев = 5cos0cos<p[cos<pgo(0) + /g,(0)] J 1(х0)е ^ояпвсю?^.

(2.13)

Ер =iBco$esin9 gt (в) j f(x 0)e-a* * >ee"*dx0,

- L

Зависимость выражений Ее, Еу в (2.13) от угла наблюдения (в.ср) определяет диаграмму направлен­

ности вибратора для указанных составляющих поля. Функции спектральной плотности go(0), gi(0) в (2.13) определяются из представлений п.2.2 при Я = sin 0

В частности, для случая слоистой среды в виде диэлектрического слоя (см. рис.5) указанные функ­ ции из (1.20) имеют вид:

плоскости ((р=0) и //-плоскости (<р=п/2) соответственно при толщине подложки Н -0,1 Я с параметрами

£I=2,56 (пунктирная линия) и £I=4 (сплошная линия). Следует отметить существенное влияние диэлек­ трической подложки на ДН микрополоскового вибратора, и то, что при толщине подложки //<0,01 Я влиянием последней можно пренебречь и рассматривать микрополосковый вибратор как проволочный в

рамках указанной выше аналогии.

28

Микрополосковые вибраторные антенны

2.4. Составной вибратор

Использование составных вибраторных структур, содержащих скачки, изгибы ленточных провод­ ников, а также ленточные проводники с нагрузками, позволяют существенно изменять характеристики вибраторных микрополосковых антенн и расширяют возможности их применения. Ниже рассматривает­ ся модельная задача возбуждения составного микрополоскового вибратора со ступенчатой ленточной структурой, которая позволяет изменить диапазонные свойства вибратора. Решение этой задачи позво­ ляет разработать методику расчета составных вибраторных структур произвольного вида.

Составной вибратор имеет вид ступенчатой ленточ­ ной структуры (рис.2 1) с поперечными размерами 2d,,

/= 1,2,..,АГ, расположенной на границе плоской много­

слойной, в общем случае, среды. Для размеров вибратора принимаются те же предположения, что и в п.2.1, а именно, k d j« 1, /= 1,2,..,AT. k b « 1, k=2n/X, Я — рабочая

длина волны. Возбуждение вибратора предполагается разностью потенциалов U на его входе. Принятые пред­

положения позволяют ограничиться рассмотрением лишь продольной составляющей поверхностного то­

Для указанного тока используется представление (2.31), учитывающее особенность в распределе­ нии тока на ребре ленточного проводника

I /дЛ

I -1 ,2 ,., А', где 1,(х) - регулярная функция.

М + У 2

Следуя п. 2.3, можно обратить задачу возбуждения и для токов 1,(х), i=l,2,..,K, составного вибрато­

ра получить систему интегральных уравнений вида

й с'

где £,• -контур на участке структуры i=l,2,..,K, совпадающей с осевой линией ленточной структу­

р ы ^ (рис. 21),

29