книги / Микрополосковые антенны и решетки в слоистых средах

Глава 7. Анализ и проектирование ФАР из элементов

ввиде плоских спиралей

7.1.Некоторые особенности построения математической модели микрополоскового спирального излучателя в составе ФАР

При построении математической модели микрополоскового спирального излучателя в составе ФАР, пригодной для проектирования, в дополнение к учету особенностей спиралей в составе ФАР необ­ ходимо учитывать влияние дополнительных конструктивных элементов, размещаемых в апертуре ре­ шетки. Такими элементами являются опорные стойки, необходимые для крепления и питания спиралей, компенсирующие штыри, используемые для устранения провалов в парциальной ДН спирального эле­ мента в секторе сканирования, а также многослойная среда, используемая в качестве подложки и укры­ тия ФАР. Дополнительно возможно применение в спиральном излучателе и компенсирующих штырях встроенных нагрузок, которые при уменьшении электрических размеров ячейки решетки позволяют улучшить ее характеристики в секторе сканирования.

Для численного исследования характеристик микрополоскового спирального излучателя в составе ФАР и последующего ее проектирования с учетом перечисленных выше конструктивных элементов в апертуре решетки получена математическая модель излучателя, которая имеет вид системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода для токов на проводящих элементах в ячейке решетки. Рассмотрен прямой численный метод решения системы, основанный на принципе саморегуляризации (гл. 1).

7.2. Постановка задачи моделирования и основные соотношения

Рассматривается неограниченная плоская периодическая решетка из микрополосковых спиралей. Пространственная ячейка решетки (канал Флоке) представлена на рис. 55.

Плечи спирали образуют ленточные проводники 5пр , гео­ метрия которых описывается ортогональной криволинейной сис­ темой координат (s, v) с коэффициентами Ламе А|,й2 и элемен­

ческое поле в области щели позволяет определить вход спи­ рали и моделировать возбуждение спирали при заданной разности потенциалов U между плечами. Спираль

расположена на границе слоистой среды, представляющей поперечное слоистое заполнение канала Флоке. Среда состоит из диэлектрической подложки и укрытия с параметрами £\, £2 и толщиной Н\ и Н2 соответственно, которые подвешены

над проводящим экраном на высоте Н0 (см. рис. 49).

Предполагая питание спирали при помощи отрезка коаксиальной линии с четверть-волновыми разреза­ ми, при моделировании представим этот отрезок, учитывая условие k0d « 1, в виде пластин, соединяющих плечи спирали с экраном и играющих роль опорных стоек. Используя известную аналогию между узкими по­ лосковыми и тонкими проволочными проводниками, указанные стойки можно заменить проволочными стой-

80

Анализ и проектирование ФАР из элементов в виде плоских спиралей

Входы спиралей совмещены с узлами прямоугольной или косоугольной сетки решетки. Косоугольная система координат £|,£2 (см. Рис48) связана с прямоугольной системой координат х,у в плоскости решет­

ки соотношениями: ^ = х - yctga, £2 =у/ sin а . Пронумеруем спиральные элементы по выбранным осям решетки индексами т,п . Спиральные элементы возбуждаются с одинаковой амплитудой и линейным набе­ гом фазы по осям £J,£2 , так что фаза элемента с номером (т,п) определяется как if/nm =т\//] +пцг2, где

у/и у/2 — управляющие фазы, связанные с направлением волнового вектора ко (см. рис. 48), характеризующим

направление основного излучателя ФАР.

Например, для косоугольной сетки решетки имеем: k0^ = y/j / , к0^2 = yf2/Z)2 При указанном воз­

буждении для поля решетки выполняются условия Флоке (гл. 5), так что его можно рассматривать в пределах пространственной ячейки решетки (канала Флоке), на ленточных проводниках спирали 5*р , стойках

t = 2,4 , и штырях q = 3,5 , в пределах ячейки решетки наводятся поверхностные токи соответственно

, а в области щели между плечами спирали имеем поле £ °, определяемое в квазистатическом

приближении (гл. 2).

Электродинамическая задача для поля решетки (Е, Н) рассмотрена в главе 5. Она состоит в нахождении этого поля, создаваемого токами спирального элемента решетки при условии непрерывности для касательных составляющих поля на границах раздела сред, представляющих слоистое заполнение канала Флоке, граничном условии Е, = 0 на поверхности проводников, условию почти-периодичности (условию Флоке) по координатам сетки решетки, условию на ребре ленточных проводников и условию излучения на бесконечности (z —» ©о).

Общие соотношения для поля спирального излучателя в канале Флоке, представленные при помощи векторного потенциала с использованием тензорной функции Грина слоистой среды (гл. 5) и п. 6.2 имеют вид соотношений (6.1) - (6.4). Указанные представления удовлетворяют всем условиям исходной электродинами­ ческой задачи, исключая условия на проводниках спирального излучателя и условия на ребре ленточного проводника. Эти условия выполняются далее при обращении задачи, выводе интегральных уравнений и кон­ струировании их решения.

7.3. Система интегральных уравнений для спирального элемента решетки

Используя представление тока для узкого полоскового проводника (5.10), для тока спирали имеем:

Потребуем выполнения граничных условий на проводниках излучателя. Для проводника спирали, пред­ полагая включение импедансных нагрузок Zm,m=Q,...,M, граничное условие представляется как в (5.11). Для

ленточного проводника граничное условие стойки спирали следует из указанного граничного условия. Обращая задачу, подобно случаю полоскового вибратора (гл. 2), приходим к системе интегральных

уравнений для поверхностных токов на проводниках излучателя. Далее, используя указанные выше

81

Анализ и проектирование ФАР из элементов в виде плоских спиралей

представления этих токов, можно получить систему одномерных интегральных уравнений для полных

токов 1р,р= 1,3 , этих проводников. Приведем эту систему.

ток /, (£) спирали токов других проводников излучателя и слоистого заполнения канала Флоке (см. рис. 49).

Ядро GU(£,£Q) при £ —» £0 в (7.1) имеет слабую особенность, которую можно выделить по методи­ ке [21]. Определим далее достаточно малый размер Д(А), где h — шаг дискретизации. Обозначим коор­

динаты точек х(£), у(£) и х0(£0), у0(£0) в зависимости от длины дуги I и £0, как параметра. При

р(М,М0)<А, М, М0 е 5пр, ядро Gn (£,£0) следует рассматривать с выделенной особенностью, именно:

точками наблюдения и интегрирования М0,М ,М 0е Snp; (s°,So) — скалярное произведение единичных

векторов в указанных точках; F(n/2,a) — полный эллиптический интеграл первого рода,

82

Анализ и проектирование ФАР из элементов в виде плоских спиралей

Элементы G0i, Gu, 3g,/3z определяются как элементы тензора (5.9) для дискретных значений А,- и

83

Анализ и проектирование ФАР из элементов в виде плоских спиралей

где 2 Ш — импедансная нагрузка, включенная в основание штыря.

Правая часть уравнения (7.3): U3(z) = C,3^(-sinz tgН +cosz ) .

Ядра уравнения имеют вид:

определяются из дополнительных условий на концах полосковой спирали /, (-L) = /, (L) = О и на конце компенсирующего штыря 13(-Н +1ШТ) =0. Эти условия учитываются при реализации алгоритма реше­

ния указанной системы уравнений.

7.4. Алгоритм численного решения системы интегральных уравнений (7.1) - (7.3)

Система интегральных уравнений (7.1) - (7.3) в силу построения диагональных ядер системы

Gu,i = 1,3 , которые предполагаются с интегрируемой особенностью, является Фредгольмовой системой

интегральных уравнений первого рода. Для численного решения указанной системы применим метод саморегуляризации, который при выделенной особенности ядер предполагает локальную интерполяцию искомого решения и его вычисление в заданном наборе точек коллокаций путем решения СЛАУ, матри­ ца которой имеет диагональное преобладание и ее численное решение является устойчивым.

Проведем разбиение каждого токонесущего проводника S ^ \ m = 1,3, спирального излучателя на

У,„,/и=Т,3, отрезков. В точках разбиения проводников получим набор значений токов /И ,/ = 1,2...,(Л/,„ +1),

и сетку переменных для точек наблюдения {jcyw)} и интегрирования {дг,< т ) = 1,2...,(Ут +1).

В результате система интегральных уравнений редуцируется к СЛАУ относительно неизвестных

значений токов l\m) Для тока спирали используется квадратичная интерполяция (п.5.3). Для токов

опорных стоек и компенсирующих штырей для приближения применяется тригонометрическая интер­ поляция. СЛАУ имеет вид:

элементы матрицы, Р — номер клеточной строки, F}(p) — элементы матрицы правых частей системы.

84

Анализ и проектирование ФАР из элементов в виде плоских спиралей

Вычисление соответствующих элементов матрицы А ^{р) проводится по квадратурной форму­

ле Гаусса с тремя узлами на отрезке интегрирования. При этом шаг дискретизации Л <0.6, что по­ зволяет существенно уменьшить порядок решаемой системы для случая протяженного проводника спирали. Для токов опорных стоек и компенсирующих штырей для приближения используется три­ гонометрическая интерполяция. Соответствующие элементы СЛАУ вычисляются по квадратурной формуле трапеций.

Преобладание диагональных элементов матрицы СЛАУ обусловлено особенностью ядер системы (7.1) - (7.3). Процедура вычисления диагональных элементов матрицы СЛАУ состоит в «вырезании» особенности ядра на достаточно малом промежутке <0.3 и интегрировании ее в явном виде (п.5.2). На остальных частях отрезка интегрирования используется выбранная квадратурная формула.

7.5. Характеристики ФАР

Вычислив токи спирального излучателя ФАР путем решения СЛАУ для каждого угла (в,<р)

(см. рис. 51), можно определить характеристики ФАР. Входное сопротивление спирального излучателя оп­ ределяется так:

ZBX= U/I0 , где U,IQ— разность потенциалов и ток на входе спирали соответственно.

где Fe =cos0{ [A1(s°,sg)-A2(vo,s° )]/Ci(0)cos0 + /(8°,8«)/х(е)5ш0}; F9 =[/i2(s°,s°)-A 1(v°,s«)]/Co(0)cos0 ; /ci >/c 0 ’ fg — функции слоистой среды, учитывающие свойства слоистого заполнения ячейки и поляри­

зацию токов спирального излучателя.

Указанные функции определяются по методике п.6.3 для слоистого заполнения (см. рис. 51). В вы­ ражениях для составляющих Ee ,Ev опущен множитель, определяющий запаздывающий потенциал. На

практике интерес представляет парциальная ДН ячейки решетки при свободном возбуждении [18], когда спиральный элемент ячейки возбуждается падающей волной в фидерной линии с волновым сопротивле­ нием Ид.

Для заданного значения U амплитуда падающей волны определяется как £/пад = 2ZBXU/(Z BX+ И^).

Поскольку амплитуды токов и их фазовые соотношения в решетке одинаковы при вынужденном и сво­ бодном возбуждениях, то парциальная диаграмма следует из приведенных выше выражений:

2Z„

£в,</>~ Fe.<pz BX+w,

По известному полю излучения ячейки решетки можно определить ее коэффициент усиления:

4nW^\Ee^(d,(p)\2

^ OM 2|ZBX+ ^ / ( 2Zbx)|

85

Анализ и проектирование ФАР из элементов в виде плоских спиралей

Поле вращающейся поляризации характеризуется коэффициентом эллиптичности Кэ . Обозначим

эллипса.

Указанные характеристики ячейки решетки со спиральным излучателем являются основными.

7.6. Порядок проектирования ФАР

Предложенные математические модель и алгоритм численного исследования спирального излучателя ФАР с учетом конструктивных элементов реализуются в виде программы на ЭВМ. Она предназначена для расчета характеристик спирального элемента решетки для заданного сектора сканирования в зависимости от его конструктивных параметров, слоистого укрытия и сосредоточенных нагрузок спирали и компенсирующих штырей. Ниже приведены примеры численного моделирования спирального элемента решетки.

■При расчете заданы следующие размеры спирального излучателя решетки с прямоугольной сеткой (рис. 55 и рис. 56):

D,=0,6A , D2 = 0,6А, 2г0 =0,05А, 2^ = 0,02А, ЬШТ=0,256А, Ьшт=0,2А, 2д = 0,016А, L = 1,6A, #! =0,01 А, Я 2 =0,01А, £, = 9, в2 = 9, Щр = 75 Ом .

В качестве спирального элемента выбрана эквиугольная полосковая двухзаходная спираль с параметром кривизны Ь= 0,01 (гл. 3). На рис. 57 приведены зависимости парциальной ДН Ев ф спирального элемента от

выбора высоты подвеса Н0над экраном.

Особенностью указанных зависимостей является наличие провалов конечной глубины, которые обусловлены замедляющими свойствами слоистой структуры решетки. Чем больше толщина и диэлектрическая проницаемость слоев среды и меньше их расстояние от экрана Н0, тем больше смещаются

провалы в сторону нормали к плоскости решетки и тем больше их глубина. Появление провалов ограничивает сектор сканирования решетки. Поскольку при увеличении длины волны направление перемещения провала смещается в сторону от нормали, то период решетки следует выбирать на наибольшей частоте рабочего диапазона для сектора сканирования, превышающего заданный на ширину области провала.

Зависимость парциальной диаграммы спирали Ёв ^ от нагрузки на ее концах приведена на рис. 58.

Спираль с длиной плеча L = 1А и кривизной Ь= 0,01 имеет нагрузку Z = /600 Ом (кривая У), спираль без

нагрузки - кривая 2. Использование нагрузок спирали позволяет уменьшить ее габаритные размеры и.

86

следовательно, размеры ячейки решетки. На рис. 59 приведена зависимость коэффициента Кэ и угла наклона поляризационного эллипса у/ для указанных случаев.

Как пример, ниже приведены результаты исследования диапазонных свойств двухзаходной эквиугольной спирали в составе ФАР. Эквиугольная спираль при четырех витках с параметрами 6 = 0,01,

составе ФАР — таких, как парциальная ДН (Ев), коэффициент эллиптичности Кэ и входной импеданс Z в

сравнении со случаем нагруженной спирали с нагрузками на концах zP = у600 Ом и нагруженным экраном с z$ —40 Ом.

Использование нагруженных спиралей и нагруженного экрана позволяет уменьшить размер # 0, влияющий на уровень ДН для нормальных углов и изменяющий частотную зависимость Z и изменить частотные свойства входного импеданса спирали.

Проектирование ФАР проводится путем численного эксперимента. Методика проектирования ФАР, состоящих из спиральных излучателей, соответствует общей методике проектирования АР на основе

87

Анализ и проектирование ФАР из элементов в виде плоских спиралей

заданных характеристик. Обычно задается сектор сканирования, допустимое снижение коэффициента усиления при сканировании и допустимый уровень боковых лепестков. По исходным данным выбираются размеры единичной ячейки решетки D^D2.

При выбранных размерах ячейки решетки и угла сканирования определяют параметры спирали: расстояние между вводами ее плеч 2г0, ширину полоскового проводника , шаг спирали t , число витков N и

длину плеча спирали. Исходя из заданных значений параметров £j и е2 диэлектрической подложки и покрытия, выбирают высоту подвеса спирали Н0 в пределах 0,25-0,ЗЗА . Затем вычисляются входное

сопротивление спирального излучателя, парциальная ДН и коэффициент усиления. После численного эксперимента и проведения пробных расчетов определяются оптимальные размеры ячейки решетки и спирального излучателя. По полученному значению входного сопротивления излучателя рассчитывается входная цепь последнего и разрабатывается конструкция ФАР. Нагрузки спирали и компенсирующих штырей при численном моделировании используются как корректирующие элементы для характеристик спирального излучателя ФАР, при необходимости рассчитывается полоса частот спирального излучателя. Отметим, что период решетки следует выбирать на наибольшей частоте рабочего диапазона для сектора сканирования, превышающего заданный на ширину дифракционного провала.

Приложение Процедуру выделения особенности ряда (п. 6.7) рассмотрим на основе [20]. Определим на части полосковой

[2/р(ММ0), M e Dr

88

Анализ и проектирование ФАР из элементов в виде плоских спиралей

К +

Д, ( V ( * - ^ о ) 2 + ( ^ - ,V0 ) 2 + ( £ - Z0 ) 2 ) 3

е I еЧ НЯМ |Д 2 е-'^Л х ■ т +

од, (^ ( х - х 0)2+(d + y0)2+(%-z0)2)3

;>3 2 р

Неймана первого порядка. Остальные интегральные выражения вычисляются по какой-либо квадратурной формуле.

89