книги / Микрополосковые антенны и решетки в слоистых средах

Теоретические сведения для анализа плоских фазированных антенных решеток

Для подавления побочных главных (дифракционных) максимумов следует придать ДН элемента решетки специальную форму. Пусть сектор сканирования занимает зону углов 0 < в < 0тах, 0<<р<2п

Создадим в раскрыве одного излучателя такое амплитудное распределение, чтобы его ДН имела вид:

cos0 при в < 0тах; 0<<р<2я,

(4.11)

1орт

Опри 0 > е тах.

Для такой ДН с оптимальным подавлением главных побочных максимумов имеем КНД:

Тогда выигрыш в числе излучателей по сравнению с решеткой изотропных элементов составит

^изотр _ (l + sin0max)2

N 4 sin20max

Экономия в числе элементов ФАР при использовании оптимальных направленных излучателей достигается при узких секторах сканирования 0тах < 30° Однако, создать излучатель, для которого ха­ рактеристика направленности достаточно быстро уменьшается за пределами сектора сканирования, очень сложно. Характеристики направленности реальных излучателей отличаются от идеальной. Поэто­ му число излучателей в решетках больше минимально возможного.

В некоторых случаях необходимую направленность можно получить, объединяя в группы сла­ бонаправленные излучатели, которые называют подрешетками. Излучатели каждой подрешетки возбуждаются синфазно. При сканировании фаза колебаний в каждой из подрешеток изменяется с помощью фазовращателей.

4.2. Характеристики направленности одного излучателя в составе решетки

Взаимная связь излучателей в составе ФАР оказывает влияние на коэффициент усиления ре­ шетки. При этом изменяется ДН каждого излучателя в зависимости от угла сканирования решетки в пространстве. При достаточно большом числе излучателей решетки удобно использовать усреднен­ ные характеристики одного излучателя.

Одной из важнейших характеристик направленности излучателя в составе решетки является ДН из­ лучателя при условии, что все остальные излучатели нагружены на согласованные нагрузки, соответст­ вующие волновым сопротивлениям питающих фидеров. В этом случае из-за взаимной связи индуциру­ ются токи на соседних излучателях, и ДН возбужденного излучателя является результатом наложения полей всех излучателей, причем в фидерах нагруженных излучателей возбуждаются волны и часть энер­ гии поглощается в нагрузках.

Полная характеристика направленности решетки по принципу перемножения диаграмм определя­ ется как в (4.1), где F(6,(p) — ДН возбужденного излучателя.

В центральной части большой антенной решетки,т. е. без крайних излучателей, свойства излучате­ лей практически одинаковы. Наиболее важные особенности их поведения можно получить, используя характеристики излучателей бесконечной антенной решетки. Поэтому такая антенная решетка может служить моделью для анализа больших решеток. Одна из наиболее важных причин использования этой модели состоит в том, что она представляет периодическую структуру. Тогда при равномерном ее воз­

50

Теоретические сведения для анализа плоских фазированных антенных решеток

буждении достаточно рассмотреть поле в одной из ячеек. Методы анализа бесконечных ФАР описаны в

[17]. Этот подход будет использован далее при анализе ФАР с микрополосковыми излучателями.

Рассмотрим решетку с равноамплитудным возбуждением элементов при отсутствии в ней тепловых потерь. Решетка согласована в каком-либо направлении, например, в направлении нормали вТп = 0 . Шаг

решетки исключает возможность возникновения дифракционных максимумов. Тогда коэффициент уси­

где Г(в,<р) — коэффициент отражения в питающих линиях, возбуждающих излучатели. Отражения вы­

званы рассогласованием между входными сопротивлениями излучателей и волновыми сопротивлениями питающих линий. При сканировании фаза возбуждения излучателей меняется. Коэффициент отражения Г связан с входным сопротивлением излучателя ZBX:

где fV, — сопротивление питающей линии.

Если в этом же направлении определить коэффициент усиления одного излучателя g(<p,6) с учетом

Формула (4.15) является одной из наиболее важных в теории ФАР. Она связывает два режима рабо­ ты антенной решетки. Коэффициент усиления элемента решетки g(6,(p) соответствует режиму возбуж­

дения только одного элемента, а все остальные нагружены на согласованные нагрузки.

В свою очередь, коэффициент отражения Г(6,(р) характеризует отраженную мощность при возбу­ ждении всех элементов решетки. Если можно определить значение ZBX, то из (4.15) находим g(6,cp), а

затем коэффициент усиления решетки G(6,<p) из (4.14).

Отметим, что функция Г(9,ф) определяется в бесконечной решетке. Это позволяет использовать при расчете ФАР теорию бесконечных периодических структур. Если Г(в,(р) неизвестен, то можно экс­

периментально измерить g{9,(p), а затем из (4.15) определить |Г(0,<р)| и КСВ в линиях, питающих излу­

чатели, а также получить идеальную характеристику направленности элемента решетки, обеспечиваю­

Для реальных же излучателей ДН с учетом взаимного влияния может существенно отличаться по форме от (4.16).

Исследование больших плоских ФАР должно вестись с одновременным использованием двух элек­ тродинамических моделей:

51

Теоретические сведения для анализа плоских фазированных антенных решеток

модели плоского непрерывного раскрыва, в котором учитываются размеры раскрыва и вид ампли­ тудно-фазового распределения; модели бесконечной периодической решетки, на которой определяются параметры одного излуча­

теля в решетке, в частности, зависимость Г(0,<р), позволяющая осуществить подбор согласующих

цепей на входах излучателей.

Точность расчета больших ФАР повышается с увеличением ее размеров, так как число краевых элементов решетки составляет лишь небольшую часть от общего числа излучателей.

4.3.Микрополосковые излучатели ФАР

Вкачестве излучателей ФАР используются различные виды слабонаправленных антенн. Выбор ти­ па излучателей определяется рабочим диапазоном частот, требованиями к ДН, излучаемой мощности, поляризационными характеристиками. Когда к ФАР предъявляют жесткие требования по габаритам и массе в сантиметровом и дециметровом диапазонах волн СВЧ предпочтительно использование микрополосковых (печатных) излучателей, основным преимуществом которых являются малые габариты и масса, простота конструкции, высокая точность изготовления и воспроизводимость характеристик, а также возможность создания невыступающих конструкций. Использование печатной технологии суще­ ственно упрощает как изготовление самих излучателей, так и разветвленной схемы их питания.

Микрополосковые антенны (МПА) отличаются по принципу работы, конструктивной реализации, характеристикам направленности, наличием гибридных соединений с другими устройствами интеграль­ ных схем СВЧ. Различительные признаки, которые могут быть положены в основу классификации

МПА, весьма разнообразны. По конструктивным осо­ бенностям и подходу к анализу МПА можно выделить антенны:

резонаторного типа; антенны вибраторного и спирального типов,

т. е. антенны с криволинейными микрополоско-

выми структурами.

Антенны первого типа имеют вид тонкой проводя­

щей пластины, расположенной на диэлектрическом ос­

Рис. 42. Микрополосковая дисковая антенна

создания излучения по нормали к экрану антенну возбуждают двумя штырями в противофазе. Исполь­ зование двух пар штырей позволяет получить круговую поляризацию поля излучения.

Другим примером МПА резонаторного типа является антенна с прямоугольной пластиной (рис.43). Она возбуждается коаксиальной линией через отверстие в экране. Излучение формируется двумя ще­ лями 1 и 2, образованными краями пластины и экраном. Поле Е в этих щелях отличается по фазе на

180° Соответственно, магнитные токи щели оказываются синфазными и формируют максимум из­ лучения по нормали к экрану.

52

МПА в составе ФАР с криволинейными микрополосковыми структурами, в частности, вибраторными и спи­ ральными структурами. Рассматриваемые модели учи­ тывают наиболее существенные моменты их реализа­ ции, которые обусловлены влиянием слоистой среды, представляющей подложку и укрытие МПА, топологией микрополосковой структуры в виде тонких ленточных проводников и условиями ее возбуждения.

Основой математического моделирования и построения вычислительных алгоритмов анализа МПА как элементов периодической структуры ФАР является метод редукции (обращения) граничных задач электродинамики к интегральным уравнениям для тока антенны. Интегральные уравнения справедливы для всего частотного диапазона, имеют меньшую размерность, чем граничная задача, универсальны по отношению к форме проводников. С вычислительной точки зрения наиболее удобными оказываются интегральные уравнения первого рода, которые приводят к построению единообразных и эффективных алгоритмов численного анализа МПА.

53

Глава 5. Математическое моделирование микрополосковых излучателей в составе ФАР

5.1. Анализ больших антенных решеток с микрополосковыми излучателями

Анализ больших антенных решеток (АР)с микрополосковыми излучателями представляет собой за­ дачу со многими параметрами. Сложность задачи требует строгой электродинамической постановки и адекватного математического моделирования, позволяющего провести достаточно полное и точное ис­ следование для повышения качества проектирования АР.

Анализ больших плоских АР можно проводить на модели бесконечной периодической решетки при двух режимах возбуждения ее элементов, например, в режиме возбуждения всех элементов в решетке с одинаковыми амплитудами и линейно измененяющимися фазами, т.е. в режиме ФАР. Другим режимом является режим возбуждения одного элемента решетки при согласованной нагрузке соседних элементов. Известно, что характеристики решетки, исследуемые при указанных режимах возбуждения, не являются независимыми [17]. В режиме ФАР можно исследовать зависимость коэффициента отражения прямой волны в питающей линии для одного из элементов решетки от угла сканирования (д0,% ). При этом яв­

ления, обусловленные взаимной связью элементов в решетке, учитываются неявным образом. Режим возбуждения одного элемента решетки позволяет определить ДН элемента в решетке и взаимную связь

элементов. Рельеф функции (1 - |г ( 0 о,<ро)|2) , где Г(0о,<ро) — коэффициент отражения, повторяет форму

ДН одного элемента. Отметим, что коэффициенты взаимной связи решетки можно исследовать, исполь­ зуя связь между коэффициентом отражения Г и указанными коэффициентами в виде ряда Фурье [17]. Это позволяет ограничиться исследованием одной модели — модели ФАР.

Поле однородной ФАР удовлетворяет условиям теоремы Флоке (условиям почти периодичности поля решетки с параметром, зависящим от угла сканирования), что позволяет ограничиться его рассмот­ рением в пределах единичной пространственной ячейки периодической структуры канала Флоке. Ниже на основании решения электродинамической задачи возбуждения криволинейного микрополоскового излучателя в канале Флоке предложен метод расчета излучателя, учитывающий такие его особенности как топологию полосковой структуры, влияние слоистой среды и условий возбуждения, что позволяет проводить строгий анализ различных полосковых элементов решетки.

При исследовании ФАР с полосковыми элементами тензор Грина канала Флоке может быть по­ строен различными способами. Конструктивное построение тензора Грина для канала Флоке с попереч­ ным слоистым заполнением проводится на основе общего метода построения тензора Грина для плоской слоистой среды (гл. 1). Обращение задачи возбуждения приводит к выводу одномерного интегрального

уравнения Фредгольма первого рода для полного тока криволинейного полоскового элемента, располо­ женного в канале Флоке с поперечным слоистым заполнением. Для численного решения интегрального уравнения используется принцип саморегуляризации [5].

5.2. Задача возбуждения периодической решетки. Тензор Грина канала Флоке

Задача возбуждения периодической решетки состоит в следующем. Рассматривается неограничен­ ная плоская решетка, составленная из микрополосковых элементов. Элемент имеет вид тонкого ленточ­ ного проводника 5пр, расположенного на плоской границе слоисто-однородной среды, в котором, как

правило, выделена некоторая квазистатическая область входа элемента. Решетка представляет пе­

54

Математическое моделирование микрополосковых излучателей в составе фазированной антенной решетки

риодическую структуру (рис.47), которая в области z >0 имеет вид периодической системы про­

странственных волноводов, а в области z < О — периодической системы нерегулярных волноводов, с поперечным слоисто-однородным заполнением. Волноводы в области z < О можно рассматривать как на основе пространственных волноводов, так и волноводов с проводящими стенками, образую­ щими резонаторы. Узлы решетки образуют прямоугольную или гексагональную сетку и совмещены со входами микрополосковых элементов.

Представим, что на входах микрополосковых эле­ ментов решетки имеются токи с одинаковой амплитудой и линейно изменяющейся по осям х и у фазой. Сдвиг

фаз между токами соседних элементов связан с углом (0о,<Ро) в направлении волнового вектора к плоской

волны (рис.47) соотношениями:

ям [17]. Отсюда следует, что можно потребовать выполнения условия Флоке для векторов поля в виде:

для любой плоскости z = const. В силу условий (5.2) поле решетки достаточно определить в преде­ лах единичной пространственной ячейки решетки, которую называют каналом Флоке (периодиче­ ским волноводом).

Электродинамическая задача возбуждения периодической решетки состоит в нахождении поля (Е,Н) в канале Флоке из решения системы уравнений Максвелла при условиях непрерывности для ка­ сательных составляющих поля на границах разрыва параметров среды, условий на проводнике 5пр , ус­

ловий на ребре проводника 5np, условиях почти периодичности по координатам х , у и условию излу­

чения на бесконечности (z —»°°).

Поле (Е,Н) микрополоскового элемента решетки с током j5(М0), М0е 5 пр, выразим при помощи

векторного потенциала А . По аналогии с фундаментальным решением для векторного потенциала в од­ нородной среде, потенциал А поля тока js(М0), M0e S np, в канале Флоке с поперечным слоисто­ однородным заполнением в каждой из граничных областей 1 при z > 0 и 2 при z < О представим в виде:

$пр

л

где G(m)(M,M0) -— тензоры Грина.

55

Математическое моделирование микрополосковых излучателей в составе фазированной антенной решетки

где e(z) =e(z) -ic(z)/a>.

A

Тензоры Грина G(m)(M,M0), m =1,2, в (5.3) в соответствии с методом расчета поля в слоистой

среде из (гл.1) представим в виде:

\

56

Математическое моделирование микрополосковых излучателей в составе фазированной антенной решетки

При М —>М0 элементы тензора имеют особенностью, которая определяется как особенность фун­ даментальной функции Грина при RMMQ —> 0 . Последнее обстоятельство позволяет представить элемен­ ты тензора с указанной особенностью при М —> М0 в виде:

-1кЯМщ

граничную задачу для функции Gal (z,z0) . Для ее построения удобно ввести фундаментальную функцию

^}(Л>2>2о) [5], являющуюся дискретным аналогом фундаментальной функции слоистой среды для

параметра А = А,, а =£,ц,р =0,1. Эта функция является решением граничной задачи для слоистой сре­ ды (гл.1) при дискретных значениях параметра А/.

Тогда для элементов тензора (5.5) в представлениях последних в виде разложения (5.7) имеем

где / — индекс, объединяющий индексы т,п = 0,± l,± 2,....

Вычисление элементов тензора Грина канала Флоке сводится таким образом к вычислению фунда­ ментальной функции U ^\X ,,z,z 0) , a =e,pL, j3 = 0,1, для данного слоисто-однородного заполнения ка­

нала. Универсальный алгоритм построения указанной функции предложен в главе I.

Как следствие выбора элементов тензора (5.5) из (5.7) и (5.9) в представлении (5.3) поле из (5.4) удовлетворяет всем условиям задачи, исключая условие на проводнике полосковой структуры 5пр и ус­

ловия на его ребре. Эти условия выполняются далее при обращении задачи и выводе интегрального

уравнения тока j5 на полосковой структуре £пр и конструировании его решения.

5.3. Интегральное уравнение для тока микрополоскового элемента решетки

Рассматривается элемент периодической решетки в виде полосковой структуры, которая имеет вид тон­

ких ленточных проводников S , помещенных в канал Флоке с поперечным слоисто-однородным заполне­

нием (рис.47). Геометрия проводников определяется образующей Г и описывается ортогональной криволи­ нейной системой координат (s,v) с коэффициентами Ламе /г(, Л2 и элементами длины dl = h\ds, dt = h2dv

Проводник Snp имеет ширину 2d и длину 2L . Будем полагать kd « I , где к =2п /А , А — рабочая длина волны. Полосковая структура 5пр имеет квазистатическую область в виде щели размером 2r0, kr0 « I,

(рис. 47), которая определяет вход полоскового элемента. Будем считать, что указанные входы элементов ре­ шетки совмещены с узлами ее сетки.

Для узкой полосковой структуры 5пр при условии kd « I ток |ДЛ/0) , М0 е Snp, можно представить

продольной составляющей jT= s°js .

Используем представление:

ftyjd2 - t 2

57

Математическое моделирование микрополосковых излучателей в составе фазированной антенной решетки

где s° — единичный вектор, касательный координатной линии Г, 1т — координаты включений, 8(1-1т) —

дельта-функция.

Подстановка (5.3) и (5.4) в граничное условие (5.11) приводит к интегродифференциальному уравнению относительно тока j5(A/0) , М0 е 5пр . Обращение уравнения проведем как в (гл.2) и получим интегральное

уравнение:

Д л (М 0)[к (,)(М,М0) + К(2)(М,М0)]<1<Ущ +

*$пр

где M e Г, M0e S np, W = yjp0/e

Ядра K(m)(M,M0), m = 1,2,... содержат элементы тензора Грина (5.5) и имеют вид:

в явном виде. Это позволит улучшить сходимость разложений в представлениях этих элементов вне точки

58

Математическое моделирование микрополосковых излучателей в составе фазированной антенной решетки

особенности (М Ф М0) и приводит к построению устойчивого алгоритма численного решения интегрально­

го уравнения на основе принципа саморегуляризации.

Обозначим размер А = max(2rf,A), где h - достаточно малый размер, определяемый далее как шаг

где Р("'\М ,М 0) - регулярная функция.

Особенность ядра при М —>М0 определяется как особенность фундаментальной функции Грина при

Р ш 0 0- Функция &т\М ,М 0) характеризует влияние стенок канала Флоке на поле элементарного из­

лучателя. Процедура выделения особенности ядра в (5.14) предложена в [20].

Используем представление поверхностного тока j s(М0), М0 е 5лр , из (5.10) и перейдем в (5.12) к одно­

мерному интегральному уравнению для полного тока /(/) полосковой структуры 5пр . В результате получим:

Г

где F (—, а ) , a = d /у Ро + d 2 - полный эллиптический интеграл первого рода; р0- расстояние между точ­

g-ДА/, h,d) — специальная функция, вывод которой приведен в приложении.

Коэффициент А в (5.16) связан с особенностью поля точечного излучателя на границе раздела двух сред и имеет вид А = 2е0 !{ех+ £0) , где £<>, £| — диэлектрическая проницаемость граничных сред.

59