книги / Метод конечных элементов в расчетах сложных строительных конструкций

J g - =

(1 .16)

Подстановка соотношений {1.16) и ( I -18)

в (1.14) дает систе­

му уравнений

, ЗС£) = F

U .I9 )

совпадающую с (1 . 6).

Заметны, что подученный результат выражает, по существу, тео­

рему Лагранжа - производная потенциальной энергии упругой деформа­

силе: дИ/дб-

F

Анализируя некоторое j -ое

уравнение

системы (1.19)

v

+- + Ч * - 1 v W

i V Ч

л ' FJ >

t I -20)

легко понять

смысл компонентов

j -ой строки матрицы жесткости j i ,

по направлению

силы от

единичных^смещений

иц = I ,

= I , . . . ,

= I (здесь

^ - j -ый

компонент вектора

F ).

Еще одну

интерпретацию матрицы X можно дать, если рассмотреть

rZ + RF = 0 .

(1.21)

Если записать вектор основных не­

известных в виде

z = [z; zT2 ...z[...z;]T,

(1.22)

то очевидно, что 2 а & .

Направим реакции .введенных связей в

t -ом узле

вызванные расчетными узловыми нагрузками

, так, как

показ'ано'

на рас.

1 .3 .

Из условий равновесия узла находим, что

Кхд = - F r t ,

» il-

-F Sii

, ft

И

-

Ff,

. тогда

RFi= -

Ft

, следовательно,

R = -F

,

и уравнения

(I.21)

можно записать

так:

F

ГН *• F а 0 или

Г £ = F

Принимая во

внимание,

что

Zs= ff , получаем уравнения С1.2Г)

' » »

r 6«F.

(1.23)

Сравнивая канонические уравнения классического метода переме­

щений в форме (1.23)

с уравнениями

(1 Л 9 ),

приходим к

выводу, что

ЭС а Г .

Таким образом,

компоненты матрицы внешней жесткости X

в мето­

де конечных елементов можно истолковывать как реакции

у с л о в

ыых у з л о в ы х

с в я з е й ,

нало&енных по направлениям

искомых перемещений

б , от единичных смещений этих связей. Поэто­

му для развернутой записи матрицы К

будем использовать

следующие

обозначения:

п. г«

'•*Г1к г*’ Чл

г»

Чг ***^k

Чп

*

(1.24)

ч,

Чг ... t?k •••*in

г

ч&•**^nk•••nnj

где

Гу, -

прямоугольная матрица реакций условных связей

в

i -ом у з­

ле

от

единичных смещений

к -го

узла:

ГШ),Ш

’W t f )

' '

‘ ГЦ1),к(р) * ’ ' Г1(1},к(пк)

гщ т

гш ш ц

* * * W ( p > * * ’ W o v

( I . 28?

W

o )

W

w

• • • V w p ) * * * V>,K (nk)

Jl^.kO) ГЩ,№ ' " V w "

rt(at),kCnk)

к(ь)“

Р в^чи я

овяаи

в l -ом узле

по направлению

d - r o ком*

нонента вектора

от единичного

Ц -ro

компонента перемещений

|<-го

узла;

число степеней

свободы

t - r o

узла}

f l^ -

то же,

к - г о

узла.

Согласно уже упоминавшейся теореме о

взаимности реакций, бло­

ки матрицы К

связаны

соотношением

константами упругости

-

модулем Юнга Е

и коэффициентом Пуассона

О1 , матрица закона Гука имеет следующий вид:

'1 - 9

9

9

0

0

0

9

1-9

9

0

0

0

Е

9

9

1-9

0

0

0

(1.30)

0

0

0

1-29

0

0

(1+9)(1-29)

о

1- 21)

0

0

0

С-

0

0

■

2

0

0

0

0

0

1-29

~ г j

С учетом (1.29)

из

(1.28) получаем:

U = { j e TD£.d.V.

U .3 I)

Копи:

с _ За

.

с _ 9\г .

с _

дш*.

h

ц

*

W

*

к _ 3ir

Эи .

9 и г .

3ir

.

I*21

бит

За

(1’32)

ах

о у '

уг - Зу + 02

*

Зх

Зг.

Введем для

описания функций

перемещений вектор

2=2(х,у,г)

u(x,y,2)

I *>

=

ir(x,y,z)

(1.33)

ur(x,y,2)

нагла зависимости (1.32)

можно представить

в матричной

форме:

6 —Ас Z ,

(1 .34)

где

9/01

0

0

0

6/9у

0

V

0

0

9/9г

- матричный дифференциальный оператор*)

Щ

.а/аг

0

0

9/6z.

а/ау

9/9г

0

3/0Х

Объединение (I .3 I )

и (1.34) дает:

a 4 )(A eZ m eZdV

ZTA*DAeZdV.

a.35)

функции перемещений Z таковы,

что в узлах дают значения ком­

понентов вектора перемещений узлов 5 , следовательно, функции

должны

параметри* зеки зависеть от

5

:

Z = 2(xftj,i,ff).

(1.36)

Точный

вид (1 .3 6 ),

как правило,

неизвестен, поэтому приходит­

ражения

перемещений:

(1*37)

где ф - матрица координатных функций:

1 „

^22 ‘

■%г

Узл

V f t ?

Ци У*-

■%V

ы

a = 1,2,3)

( j = 1 ), служат

Функции, входящие в первую строку матрицы ф

описанию перемещения U , а

компоненты второй ( j

= 2 ) и третьей

( j = 3)

строк относятся к

перемещениям V K W соответственно. Ко­

личество

компонентов матрицы - строки ф„ равно

числу степеней

свободы

I -го узла.

Оператор А£ связан с другим

оператором

А ^,

используемым для

матричной записи дифференциальных уравнений равновесия

Навье, со­

отношением

В этом

проявляется так

называемая

с т а т и ­

к о - г е о м е т р и ч е с

к а я

а н а л о г и я

уравнений ме­

ханики .

раздел 1 . 2 ), в

частности,

любые

три функции

ф ^ , ф^ 1 и

ф ^ взаи­

мосвязаны уравнениями совместности деформаций Сеи-Банана.

Подставив

(1 .37)

в (1 .3 5 ),

получаем

u 4 ( ( « 5 ) TAt BAE.f 6 d V = |5 T[ S 9 TAT£I)A£ydV ]?.

<Ii3 e )

. V

выражения И в

v

из-под

При преобразовании

(1 .32) вектор 5 вынесен

интеграла,

так

как

компоненты

5 не зависят

функционально

от коор­

динат I , у и

Е .

Сравнивая два варианта записи потенциальной энергии упругой

деформации

-

(1 .9 )

и (1 .3 8 ),

приходим

к заключению,

что

выражение,

выделенное

квадратными

скобками

в (1 .3 8 ), определяет

искомую мат­

рицу' жесткости

тела (системы):__

К = j ф гА^ПАе(р dV

(1.39)

В‘литературе встречается

такая ферма записи:

я

I

JC = ( S 'D S 4 V

I

,

(1.40)

1’де (В = А£ ф;

V_____

если

подставить

(1.37) в

Смысл матрицы

JJ становится

ясным,

(1 .3 4 ):

£=А £ф Й = $ 2 > -

<1.41)

Иэ полученной

зависимости видно, что 53 - матрица,

выражающая

функции деформаций через узловые перемещения.

Согласно

формулам

(1 .39)

-

( I .4 I ) ,

формирование матрицы жест­

кости

тела сводится к выполнению последовательности операций над

тремя

матрицами А£ , I) и ф

, из которых две ~ Д£ и D имеют сравни­

тельно простую структуру.

Основные трудности связаны с получением

К о н е ч н ы м

э л е м е н т о м

(ИЭ)

называется часть

тела (системы),

имеющая конечные размеры и заданную сравнительно

простую форцу.

Характерные

точки

конешого элемента, определяющие его конфи­

гурацию и перемещения,

называются у з л а м и

э л е м е н т а

В таблице I . I приведены примеры различных конечных элементов

(число узлов ИЭ

обозначено flj ) .

Узлы КЭ совпадают

с узлами тела, причем в узле, расположенном

оказываются совмещенными узлы нескольких

элементов,

окружающих это*

узел тела (рис.

1

.4 ,а ) . Если нумеровать узлы КЭ так,

как показало

на рис. 1 .4 ,6 ,

то

для фрагмента, изображенного на рис, 1 .4 ,а ,связь

между узлами тела и узлами элементов

выразится следующим образом:

1 —4 j, 2 * 3j

= 4*)» •••» i>—2j —Ig

= 3

j = 4j и т.Д.

внутренних

точках КЭ.

Операция разделения заданной системы на конечные элементы на­

зывается

д и с к р е т и з а ц и е й

Используя элементы разной формы и в случае необходимости из­

ей осуществляется моделирование физических свойств тел а,

например,

;арахтеристики неоднородной среды описываются усредненными

в про-

долах каждого конечного, элемента значениями.

Совокупность элементов,

входящих в расчетную схему

системы,

называется

а н с а м б л е м

К Э .

Не следует думать, что

элементы соединяются друг с другом

только о узлах п ' -

Это справедливо лишь для дискретных

л о

с в о е й

и р а р

о д е

стержневых систем (с одномерными КЭ).

О действительности

никакого физического расчленения тела на КЭ о

ний .смежных элементов. Нике будет показано,

что

по

граничным по­

верхностям трех- .1

двумерных КЭ в общем случае

возникают распреде­

ленные силы, чего

но мохдо

бы быть

при зочечных узловых соединени­

ях

элементов.

Использование

конечных

элементов

1 .5 .

для получения матрДОдд жесткости системы

С учетом разделения тела на КЭ матрицу жьсткосгя/шстемы мож­

но

вычислить поэлементно:

1Г

* • » №

» ■

Д Д О Я Ж - Е Ж , .

(1.42)

V

j al

J J

J J

jB1

J

где

j

- номер КЭ;

rri -

общее

число

элементов;

J)j

-

матрица упру­

гости

материала j

-го

КЭ;

55j

=

A£ tp^jj ;

ф ф

- матрица, имеющая

ту

же размерность,

что

и ф ,

причем компонентами

являются вы­

ражения координатных функций

в области

j -го

элемента.

I . 5 . I .

Аппроксимация перемещек-.гй

Для иллюстрации смысла

рассмотрим пример проотейшой сис­

кости

стержня (рис. 1 .5 ,а ) .

На рис.

1 .5 ,6

показана расчетная

схе-

ма с

пронумерованными узлами

(от 1

до ц ),

элементами

( j =»

l,n v )

и узловыми нагрузками. Действительные

перемещения

tT(x)

(рис.

1 .5 ,

в) аппроксимируются,

согласно (1 .3 7 ),

набором координатных функ­

ций (р^ ( i = ГГЙ

),

графики которых даны на рис.

1 .5 ,г . Поскольку

в рассматриваемом

случае 2 в [lT (l)]

, то

каждая

из функций

за ­

висит

только от одной

координаты I

Все функции

удовлетворяют