Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Метод конечных элементов в расчетах сложных строительных конструкций

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

6.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

откуда, использовав обозначение (2 .1 5 ), получаем

Таким

образом, узловые

нагрузки

F.e ,

эквивалентные начальным

напряжениям и деформациям,

выражены через

производные функций фор

мы конечного элемента. Далее

выполняются

операции

(3 .4 )

(3 . 7) .

Для стержневых и пластинчато-оболочечных элементов в вектор

£0j входят кривизны, а также

линейные и сдвиговые деформации осей

стержней или срединных поверхностей двумерных элементов, а в ка

честве

выступают соответствующие

силовые факторы

(изгибающие и

крутящие моменты, продольные

и поперечные

силы).

Случай изменения температуры приводится к задаче на начальные

деформации. При этом в зависимости от

типаКЭ вектор £ . формирует

ся

следующим образом:

- для

пространственного

элемента

Eoj = [ £xT,j

6yT,j

e *T,j

0 ° 1

(3 .20)

где

£a;Tij=

= d.j ATj -

температурные

деформации;

d j

- коэффи

циент Линейного температурного расширения материала

j - r o

КЭ; ATJ -

иэменение

температуры; cLj и

ATj могут

быть функциями;

- для элемента пластинки при плоском напряженном состоянии и

изгибе с кручением соответственно

		V ,i	’	£oj = [pxT,j		PST,j	° ] Т*		(3,2I)
где £хТ^ = £ут,з= djiToj —температурные					деформации		в срединной плос
кости; AT0J	-	изменение	температуры на		уровне срединной			плоскости;
PI T j = Рут,j	“	кривизны		от неравномерного (линейно					перемен
ного по толщине пластинки) изменения'температуры;							ДТ^	-	перепад
изменения	температуры		по толщине пластинки			Hj ;
для стержневого КЭ

	£qj= t PyTJ			PiT.j		eccT,j ° 7 ’			<3,22)
Г!гг	h ?j - перепад	;				ex X r dj 6T°j		:
Alzj и		изменения			температуры и размер			поперечного се
чения	в направлении	его главной			оси г ; ДТ^ и UtJj -		то	же, в		направ
лении	оси tj ; AT0j - изменение			температуры в центре			т я г о т и			сечения
Заданные смещения связей				также можно моделировать					пересчетом
в начальные деформации			или напряжения, но более удобен						подход, на
ложение которого дано			в следующей			г,лар^.

Система уравнений ШЭ, оформленная поэлемонтно,		как	описано
в главах I - 3, не может быть решена ввиду	того» что	матрица жест
кости 31 ансамбля КЭ подучается вырожденной	(Det(1C) =	0 ),	поскольку

она не учитывает условий закрепления рассчитываемой конструкции и, следовательно, формально характеризует геометрически изменяемую систему. Окончательный вид канонические уравнения ШЭ приобретают дрсле внесения поправок, отражающих кинематические граничные усло вия.

4 .1 . Жесткие опорные связи

Если в узле i имеется жесткая свяеь, параллельная глобальной координатной оси t) (рис. 4 .1 ), то очевидно, что в 0. Дня учета итого условия в систему уравнений МКЭ

(4.1)

вносятся соответствующие поправки одним из следующих способов:


	1) ив матриц ЭС, ff		и F исключается строка,		содержащаяЦуцэд
1^	и Fy>t , и одновременно столбец матрицы ЭС ,				содержащий	;
	2) задается		00 (пр“ реализации расчета на ЭВМ величине
%уЦ(у) присваивается конечное, но очень большое					значение -	обычно
ра 6	- 10 порядков больше других компонентов матрицы ЗС );
	3) ^,(у)(Цу)	принимается равным I ,		а все остальные компоненты
столбца и строки, содержащих Т^у)1(ц)(в				формуле
(4,1) заштрихованы), и			приравниваются нулю.
	Первый способ дает сокращенную систему
уравнений, ко		неудобен	тем, что требует пере

компоновки матриц -г это усложняет программи рование для ЭВМ.

	4 .2 . Упругоподатливые опоры
Если	опора в узле t (рис. 4 .1 ) не жесткая, а упругая с жест
кое тьг с	: , то можно использовать следующие варианты учета ее вли
яния:

1) считать упругую связь как дополнительный деформируемый ко нечный элемент системы, например, как стержень, работающий на рас

тяжение (сжатие), с условной длиной		U I и жесткостью сеченял
Е А - С м ?
2) прибавить *	вели ч и н у -С ^ .
4 .3 . Обобщение на	случай произвольных; условий закрепления
В общем случае для	i - r o узла	системы может быть 6 компонен

тов перемещений. Тогда фрагмент системы канонических уравнений ШЭ

относящийся к этому узлуу		имеет такую структуру:
				UJ
П ад о Пздию ’im.uw Подда				ч	*л
[Ъ д №	%,«*) % № % )№ ’ttaJ.uejj			«I	Fv.i
15&1<Й % i(?) rtW,KW rlft),ife)l				ч	j (4 .2)
15&1<Й % i(?) rtW,KW rlft),ife)l				ч	F«A
Симметрично	[5 Ш Ц		% (« )!	%	1.1
Симметрично		"in		ч
XМатрица r u		"in		ч
					_MA i
			a1.1
Где для сокращения записи принято			a1.1	4 * ® $ ,i*		0*,1‘
Матрица жесткости упругих связей			при шести степенях свобода,
i -ro узла в обобщенном виде:
V ),ljd	c(d),l(tj)		°Ш Ы Ci^i(®
	1СШ	15ё$? ‘W V
		15ё$? ‘W V			( 4 .5 '
Симметрично					( 4 .5 '
			\ !Ш	] CW	) _
				] CW	) _
Компоненты матрицы		могут принимать нулевые значения				(так,


при	отсутствии связи по направлению оси 1 нулевыми будут 3-ий стол
бец	и 3 -я строка)		или становиться бесконечно.большими при жестких
связях		(например,	при жестком защемлении относительно оси X нужно.,
задать		С щ цу а 00	)•

Окончательно в матрице ЭС следует вместо блока Гц записать

rtt"rU-ci

Рассмотрим пример формирования матрицы				Пусть	в узле i
а)	ff)		имеется упругая линейная		связь,
а)	ff)		жесткость которой	-	(рис. 4 . 2 ,а ) .
А	у А?.. А		Ориентация связи	характеризуется
	Y	‘Ui	направляющими косинусами
		‘Ui	направляющими косинусами
		.	l^COSO^au); fTlt=cas(lfjy); П£№$£ъ)Х4.5)

4fid

Рис. 4 .2

Проекции

на координатные


Задавая ^ 1 ^= 1 , получаем			абсо
лютную деформацию связи	=		,
которой соответствует полная		реак -
^iu"co i^ i-c ol4 ^Рис*	4 .2	,6 ) .

ося равны

CCCt),i&;f	Со А » С1(у)Д&)=	Coi4m*' С{ф)ДфсГ^iuPcСо1^Л•	^
Аналогично, задавая 1^ = 1,		получаем

° Щ ^ Г < b m i k ‘> Ci(y),«y)=Colmt : ci(if),i(yrcoimlnt

(4 .7 )

От UT^ = I :

(4 .8 )

сКх)Д*Г coia t 4 ; ci(y),t(i)" cot1xt.m t.: СОДДЬГ cotn t Окончательно имеем г г

4"tV4i

ci "

"ЧЧ ™i яуЧ|

(4 .9 )

4 4 _ V t _ ^ V _ l

(6*6)

4 .4 .

Учет заданных

смещений

опор

Чтобы учесть заданный в узле

i некоторый

компонент перемеще

ний

{Г0- ^ ), следует

принять

*l(dL),i(cL)

Co W

) »

(4 .10)

где

С0 -

конечное

очень

большое

число, но

такое,

чтобы при делении

на

него

в ЭВМ не вырабатывался

"машинный нуль".

4 .5 . Внутренние

связи

Особенности соединения конечных элементов друг с другом могут

быть учтены, во-первых,

.путем

использования КЭ различных

типов (с

жесткими

или шарнирными узлами,

а-такйе о

отнесенными к

элементу

упругими

;вяэяь^,

как на

рис.

2 .0 ),, е во-вторых,

моделированием

fibязей дополнительными конечными элементами - например, ъ шарнир ион соединении можно вводить стержни условной малой длины и нуде* чой изгибкой жесткости.

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИИ И НАПРЯЖЕНИЙ В ЗАДАННОЙ СИСТЕМЕ

О Л . Общая схема вычисления усилий и напряжений

Решением системы канонических уравнений ШЭ определяется пе ремещения узлов системы:

Et = 5C_ ,F,

(5 .1)

зная которые, нош о найти перемещенияузлов конечных элементов в локальных осях координат. Для этого используется блохи ранее сос тавленной матрицы И , фигурировавшей на стадии формирования систе мы уравнений ШЭ:

			=					( 5 :2 )
	Патрица функций напряжений в пределах						j -го элемента подуча
ется	на основании соотношений (1 .29)				и (2 .1 2 ):
где '		<5- V i " V i -						‘Б-31
где '	- функциональная матрица			п* ^образования перемещений узлов
элемента в напряжения:
			4 <g“ Dj bj V *					(5 .4 )
			4 <g“ Dj bj V *
	Матрица напряжений в расчетных точках элемента (узлах, пентод
элемента и любых других) определяется					по формуле
			V	V	J*			<s-5>
		JY I	В Д ,и"					’
О » ,-		i rajчисло		расчетних			точек.
^ J	Для получения матрицы Dgj координат						точек подставляются ли
бо в функциональную матрицу			(5 .3 ), либо			в	матрицу	производных оа
зисных функций		6j .
	В случае	определения не	напряжений,			а	усилий	(дда стержней*
пластин, оболочек) применяется формула,						аналогичная (5 .5 ):

РАв Sd

1Т; \ = М д о ' * *Ч й * **

Число расчетных точек элемент*! может быть любыу и , в частное». 1И, равным I при вычислении напряжений иди усилий в центре КЭ, хвд это иногда делается.

5 .2 . Особенности определения усилий и напряжений в конечных элементах разных типов

Если для стержневого элемента ограничиваться определением уси лий только в концевых сечениях, то удобнее пользоваться не форму лой (5 .6 ), а непосредственно соотношением (1 .4 9 ). При иных, нежели показано на р и с .с£ .4 , положительных управлениях концевых усилий выполняемя операция изменения ёнаков

				S j - P j S j ,						<5 -?'
где	Sj -	вектор искомых концевых усилий при новом правиле знаков;
		%			Pj	-	матрица преобразования				зна
					ков.
[Ис >М,						Для общепринятых направлений
\ з		Чч			усилий в соответствии с рис. 5.1
		,			pj	Г-1 t -I I -X -I I -I I -I I Ij
Ш						Для прямоугольного				элемента
		Рис.		5.1	пластинки			при плоском напряженном
					состояния,			использовав полученные

рацее	матрицы (2 .5 6 ), (2.63)				и (2 .6 4 ),		из	(5 .4 )	находим
л		' ц-1г т)(х-Ц) г£-у			-м х	у	vx	у	М(1,-х)"	(5.8)
		М(Нг)		х-ц V(it-y)	-X	vy	X	-Му	lr x
“«	1А J»M ,) ц(у-у				\|а(14-у)		ру \|Д(1ГХ) -J*y
	Из	(5 .8 )	следует, что поля напряжений, определяемые							зависимо
отьв	(5 .3 ) -		линейно переменные ЯК Приняв за расчетные							точки	че
тыре узла злемента (fTlj = tlj					= 4 ) и последовательно подставив						ртх
координаты в			(5 .8 ), подучаем матрицу напряжений						в узлах:

б4.Ч

4 ^ 1

*>По граням элемента получаются ненулевые напряжения, как упоминдлось в разделе 1 .4 .

~h -Vlf

-vi2 -t,

v i2

-JA^i -уХг 0

UIJ

A -Vll

А,

• A

Vt,

U*J

~^2 -f-Ц

Кч

0 .

Vgj

(5 ,9 )

-Vtf

-Ц

u 3.i

“t,

Ц -vl2

ir3j

■

•->•4

-vl,

- 1'2

_L,'j

- i,

v l2

0 “V‘-2 ll

; Л

Iя4

f.x. ■ A

В случае изгиба с кручением пластинки матрицу D5J . необходи

мую для

вычисления расчетных усилий

S^j

строим,

используг матри

цы (2 .7 3 ),

(2 .80) к

(2 -82). решение

сыпалиим иначе,

чем при выводе

формулы

(5 .9 )

координаты узлов

элемента подставим не в матрицу

(3L, , а

Б,

, после

чего формируем

sj-

Б;

Л Ч И у )

(5.10)

t y - v u i p

гj

в узлах плас

с помощью которой находим матрицу

погонных моментов

тинки:'

-6(ji+V/Jl) -

-4V1.,

-2t2

%Ч

6Vj^

-4Ц

-ZV l,2

'xibtj

-1+ V

-1,0-7)

- t 20-v)

1-V

0 4(1-V)

- 6(^+v/p)

-4 v t.

М .

21г

I,2j

л г

- H ,

- 6(VjVH/p 4V1.2

-1+v

0ч аМ )

1-v

■

" э й .

-t,(i-v)

0 ы /р

0 '

2'Л,

ЧЦ

fc,3j

4j3j

6/JJ

21,

- H V

1-V

-t,(i-v)

,x.4j

2Vt,,

■ Щ

21,

uAi

1-v

- 1+v

L *uAL

0	0
0	0
Щ	00
-4+V
б / >	0
-1+У	V 1-V )
-6(p+v/ji)	. 44 ЦЛ	2
-6(vp+1/ft)	. 44 ЦЛ	2
-1+ V	V,(1-V)
6 *	г 2	4
т	-2 V l2
-1 + У	0

00	Б/р
0	1-V
- 2 v l ,	0
- 2 1 ,	0
0	1-V
4 v l,	4
	6Vj>
y i - v )	1-V

00 -6(P+V/JJ)

ijtO -v) 1-V

0	- 2 V l ,“
0	-2 1 ,
^(1-V)	00
00	0
2 1 ,	0
2 v t2	0
0	- t 20 -v )
- 4 *	4 44v 1t, ,
t / 1-v)	- t 2(l-V)

' 0a.1Vj
0	y0	.1i
s		0
0	y.2J_
<		W
A		i

Положительные направления моментов показаны на рис. 5 .2 .

В пространственном конечном элементе, хД} изображенном на рис, 2 .8 , напряжения полу

чаются постоянными:

								^				S a J	n:z ^ j] T=
-IA , о		о		i/t ,	0	0	0	0	0	0	0	0	V
о	-I A , о			0	0	0	0	iA a 0 0			0	0	V
о	-I A , о			0	0	0	0	iA a 0 0			0	0
0	0	-1/Ц		0	0	0	0	0	0	0	0	iA 3 Ш
- I A J - I /Ц		о		0	I /i,	0	I A 2	0	0	0	0	0	я
													■
о	' -I A 3 -1/Ц,			0	0	0	0	0 .l	\	0	1 /4	0
- lA 3 о -IA ,				0	0	IA , 0 0			0 IA 3 0			0	w
	Необходимо		отметить, что				полученные		вышеизложенным путем уси
лия и напряжения могут не удовлетворять									уравнениям			равновесия у з
лов,	во-первых,		и з-за		использования			неполностью			совместных			конечт
ных элементов		и,	во-вторых,			в результате			замены		внеуэловых			воздей

ствий эквивалентными сосредоточенными нагрузками в узлах. Погреш ности, обусловленные вторым фактором, можно значительно уменьшить, если на поля усилий и напряжений от расчетных узловых нагрузок, определенные по формулам (5 .3 ) и (5 .6 ), наложить "локальные" уси лия и напряжения от внеуэловых воздействий в пределах каждого КЭ при неподвижных его узлах. Эти дополнительные усилия можно найти как табличные (например, для стержневых КЭ - по-таблицам метода перемещений).

6 .1 . Применение ЭВМ в расчетах сооружений методом КЭ. Структура исходной информации

Возможности МКЭ особенно отчетливо проявляются в расчетах сложных конструкций. При этом формирование и решение систем уравне ний, содержащих большое число неизвестных, требует использования современной вычислительной техники. Метод конечных элементов ока зался в высокой степени приспособленным к программированию для ЭВМ, так как в нем все основные этапы расчета формально сводятся к логи чески четким последовательностям стандартных матричных операций, в чем можно было убедиться при изучении материала предыдущих разделов.

Существующие в настоящее время.вычислительные комплексы (неко торые из них упомянуты во введении) реализуют автоматизированные расчеты сооружений и конструкций методом конечных элементов' в слож ных постановках и с учетом многообразных факторов (динамика, нели нейность разных видов, оптимизация и д р .) . Единственным не поддаю щимся полной автоматизации этапом ’вляется составление расчетной схемы сооружения - это в значительной мере творческая работа, тре бующая достаточно высокой квалификации, инженерных знаний н интуи ции. При этом, основываясь на понимании хадактера и особенностей работы системы при заданных воздействиях, выбирают наиболее подхо дящие типы конечных элементов, назначают их размеры, определяют места сгущения сетки узлов и т .п .

Сведения о расчетной схеме, вводимые в ЭВМ, в различных прог» раммных комплексах отличаются порядком и формой представления, но существуют обязательные блоки исходной информации:

1) общие сведения (признак вида системы - стержневая, пластин чатая, комбинированная и д р ., характер воздействий - статические, динамические и т . д . , директивы управления печатью и п роч .);

2)геометрические характеристики системы (номера и координаты

узлов);

3)данные о конечных элементах и топологическая информация

(для каждого элемента - его номер и тип в соответствии с принятой в данной программе номенклатурой, а также номера узлов системы,

принадлежащих элементу);

4)жесткостные характеристики элементов;

5)сведения об узловых и внеузловъп: воздействиях (тип воздей

ствия и его числовое эначение, номер элемента или у зл а, к которо-

iay оно	относится);
6)	описание внешних	(опорных) и внутренних (шарниров) связей
	6 .2 . Примеры расчета строительных конструкций			МКЭ
	6 .2 .1 . Стержневая система
Элементы стальной пространственной рамы (рис.			6 .1 )	изготоъле-f
«ш на прокатных двутавров		и труб. Модуль упругости	материала £ =
		=. 2-ICr Ш а, коэффициент Пуае-
	F,*36aH	сона ^ - 0,25 .
		Расчетная схема системы по-
		казана на рис.	6 .2 ,а, где номера
		стержневых конечных		элементов
		проставлены в кружках.
		В качестве	основных неиз
		вестных приняты угловые и линей
		ные перемещения узлов, образую
		щие вектор

Рис.

6.1

где fft-[u -i trt

a,* a ^ A jJ -

Перемещения 'узла

I ,

прини- ' 3иН м 4jE67KN..I? 6кН It 19.333КН

маемые:в

еа положительные,

пока-

вкНмХ^1!^*г

б )J 021

выш

на

рис.

6 .2 ,6 .

Й.ЗЗЗШК' ^

Условные узловые

нагрузки

g j^ l

^26.oS7Kll(pv ^

вычислены по формуле ( З .П ) .

Жесткостные характеристики

течений

элементов:

£1

z l

Е1Э

E1zQ »

нб

И у1

Е1уЗ = Е1у6

И у В -

- 5,608

UH*u2 ;

Рио.

6.2

G I t I

2EXz I

- E lz I/(L t

) = 4,7264 UH-u2

* G IL3 = (5116 = Gfta !

EAi

EA3 = EA6

= Щ =

1060 Mil;

®^Z2 s

E^27

-^,1 6 0

MH-M**;

£1^2

11 ^ y 4 B

®^y5 “

■Иу7 *• 0,674

UH-м2 ^

G I ^

GIU

- GItB

= Gltv

= 0.0J374

MH-u2 ,*

EA2

«= EA^ *

930

UH.

Матрица жесткости системы формируется согласно выражению

(1 ,6 3 ),

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202317.13 Mб8Метан в водных экосистемах..pdf
#
12.11.20237.82 Mб14Метанол как топливо для транспортных двигателей..pdf
#
12.11.20231.21 Mб6Метод графов в размерном анализе технологических процессов..pdf
#
12.11.20236.89 Mб7Метод конечных элементов в динамике сооружений..pdf
#
12.11.202311.04 Mб4Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов..pdf
#
12.11.20236.55 Mб2Метод конечных элементов в расчетах сложных строительных конструкций..pdf
#
12.11.202312.44 Mб3Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред..pdf
#
12.11.202314.55 Mб4Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков..pdf
#
12.11.2023877.09 Кб17Метод конечных элементов для решения электротехнических задач..pdf
#
12.11.202318.69 Mб7Метод конечных элементов. Основы.pdf
#
12.11.20238.24 Mб4Метод конечных элементов..pdf