Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Метод конечных элементов в расчетах сложных строительных конструкций

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

6.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Матрице. (2 .66) пригодна и в едучае плоской деформации элеиента { 6 Й = 0) - нужно лишь вместо Е. и V авести величины

					•					<2‘67)
функции формы, отвечающие принятым аппроксимациям перемеще
ний (2 .5 0 ), получаются билинейными:
= f Ф		\|Ц)Н)		0	!Н) 0 М Н)°					(2. 68)
Рассмотрим далее построение матрицы.жесткости элемента при
изгибе	скручениеи. Схема,элемента в аксонометрии и его деформи-
					рованное состояние				показаны на
					рис. 2 .7 .
					1.	Локальная система коор
					динат и нумерация узлов сохране
					ны такими же, как			в случае плос
					кого напряженного			состояния.
					2. 3 вектор перемещений
					каждого из четырех узлов элемен
					та входят прогиб и два угла по
					ворота :				t	* I , 4 ) *
					тогда
		Рис.	2 .7		*-Ю ^ ^
					*-Ю ^ ^
Следует обратить				внимание на то, что		под	9 ^ и 9 ^			здесь по
нимаются,		как это принято в теории упругости,					углы	поворота
в д о л ь		осей X и у , а не			относительно	этих осей.
Показанные на рис. 2 .7 перемещения -						положительные,
3.		Формируем вектор £ из функций перемещений,								совпадающих по
смыслу со степенями свободы узла. При этом учитываем,									что углы по
ворота являются			производными от прогибов:
			V(x,y)“1		V(x,y)
		2 »		х=	6ur(x,y)/ax					(2 .70)
			_9у&У)_		_flur(x,y)/9y _
4.	Потенциальная			энергия упругой деформации при					изгибе с кру
чением:			..
		ч- t o p + Ра * ^ f i E p a ^ M p ^ d x d y ,								(2 .7 U
где	- 9аш/б1г,		Ру = 9гцг/0у2 ,		piy = 8V/(6I 3IJ) - крисизны				срединной ПО-

веркности деформированной

пластинки;

Бм= —1— г

цилиндрическая

жесткость.

' '

’

Используем

матричную форму записи

(2 .7 1 ):

0“

Рх

V 1

0 •р*

d x d y .

(2 .72)

“

- K

f i t f c

f c f t , ] -

0 0|Л _Р*а_

ГР* 1

V 0“

(2 .73)

£=___

;

1 1

отличается

от

(2 .56) толь

Отметим» что выражение В в (2 .73)

ко множителем

( Вм

вместо

Роль

"деформаций" £ в рассматрива

емом случае играют

кривизны

pi ,

ру

р .

5 .

Матричный оператор

А& ,

связывающий векторы £ и В , опре

деляем, анализируя зависимости кривизн от функции прогибов. Полу

чаем

'0й/0 х 2

аг/9у2

о о

(2 .74)

_32/(&Е0у)

6 .

Единственной независимой

функцией в векторе 2 является

lif (x ,y ) . Количество коэффициентов в

аппроксимирующем

выражении

прогибов должно быть равно 12 (по суммарному числу степеней свобо

ды узлов или,

что то же самое, по числу

компонентов

). Этому

условию отвечает полный бикубический полином

ш(х,ц)= СЦ+Ьгх+а3у+ а^х2-* с^ху+ а6у2+

+ а ?х 3+ а бх 2у + а дх у г +

а ^ у 3 + а^х3у + ( у с у 3.

(2 .7 5 )

функция (2 .75) удовлетворяет дифференциальному уравнению изги

ба пластинки

при

отсутствии

внеузловых нагрузок У4У2иг= 0. В этом

легко убедиться,

вычислив производные

б*иг/0х*

, 0*иг/Эу^ и Э*иг/(Эз?0у*)-

все они равны 0 .

Выбранное

выражение иг обеспечивает

неразрывность

прогибов

по

границам смежных

элементов. Например, для стороны 1-4 имеем

*Г(0,у)» V

a3y + aey2+ аюУ3»

(2.76)

и для вычисления четырех коэффициентов, однозначно определяющих

распределение			прогибов по линии 1-4,	есть четыре	граничных усло
вия в	^рлах	I	и 4 (заданы прогибы	и ufy и углы	поворота 9^ и 9 ^ ) .
То же	можно	показать и для всех других сторон.
	Однако	плавность сопряжения соседних элементов в направлениях

8SfeQ>=^ ! ~ и = W +V s* V - (2.77)

здесь четыре неизвестных коэффициента, а условий для их определе ния всего два (углы 6^ и 0у2 в узлах I и 2 ). Следовательно, одноз начно определить углы поворота по линии 1-2 из условий в узлах

этой границы невозможно. Значит, для соседних		элементов эти узлы
могут	не совпадать, за исключением узлов I и 2, результатом		чего
будет	излом срединной поверхности.
	Таким образом, рассматриваемый элемент с	функцией UT по	(2.75)

совместен с соседними по прогибам и, соответственно, по углам по

ворота в направлениях вдоль границ.

, записываем вектор в

Чтобы найти

матрицу

базисных

(функций

форме (2 .6 ):

1 1

у ха ху

у2 I 3х2уху2у3 13у ху3

ur(x,y)

3ur(x,y) _

0 Зх2 2ху у2 0

Зх1}) у5

.(2 .7 8 )

2= ~Bx"~

О 1 0 2х

Ц 0

х2 2хуЗу2 х3 Зху1

а,

3ur(X,y)

t-------------------------- v

Матрица

граничных условий:

ф|

1~ f(x „ y ,)~

Ф -

f ( x 2,y 2)

"»

ч ,'

■Л

'*«

0 _

V..

0 _ 0 _ ЧУ

)

o ~ c

31»

-m

(2.79)

l2i

0 _

'it,, i

зй

2t,4

3L<4

ll2

n ,

3i2z

вМатрица производных базисных функций:

О 0	0	2	О О	6Х гу		О	О	бху	О
0 0 0 0 0 2				О	0	21	61*	о	бху	(2.80)
0 0	0	0	2 0	О	4Х 4у		0	бха 6уа_
									li h

9 . Вычисляем матрицу жесткости Км «(Ф"1)т| [ ftTBB dxdy•

Приведем результаты промежуточных этапов расчета:

( ( bTD 6 d x d y =

(2 .81)

0 0

О О О

° 1

l o o

о !

11о

4VV,

« ч Ч

m ji*

2tft2(1-v)

21^

0-v)

21*1^1-V) 2l$1-V)

! * ,Ч

К Ч

м ,ц ‘

et&

3nt$t*

i-------- ,

« Ч Ч

9-nJt’

« к

lи

1 e <?4

1L .

4Vl,l’

5 ^ 2

J u _

с H U M e т p и 4 H 0

1 X

3lM

a ? 4

^9,12.

■

6VtJ(|

« Л

6^ .

l__V

где 1м =■4 V i + 4 1? Ч 'Ci-v);

Ч « “

n J t | + 3 tf tt (1-V);

Igg*■

4 s \ + $ y | 0 - v ) ;

9,К

Zl’ tJ

*3t,1.*(l-V );

■

^11,11

Выполнив обращение матрицы Ф , получаем:

	‘ I	0	0	0		0		0	0 0				0		0	0 0 "
	0	I	0	0		0		0	0		0		0		0	0	0
	0	0	i	о		0		0	0		0		0 0 0				0
				3		i			0		0				0	.0	0
	- 1 Л		0	? "4 .0									0			.0
	- 1 Л		0	? "4 .0									0
				1		0		1 1							■l	A 0
		4	' i	1		0		1 1			0 0 t t .					A 0
		4	' i	44				4	“44						v z	4	i
	<-4 о			0		0		0	0		0		0			0 • 1
Х'1	ч	,	- i											\			“4	(2.82)
W ?з	A.	i	0					0	0		0		0		0	0	0
	4	l5	0			_L		0	0		0		0		0	0
	4 - A					_L		0	3 .J_				0		3 _A		0
	ЦЧ. S4 0			- ф а 44				0	4 V		V»		0	~Vt		44
			J ,			0 ■		2	A44		0	■4-4				0	44
		0	44 %				"S4		A44			■4-4					44
				0		0		0	0		0		0			0	A
	\	0	\v«	0		0		0	0		0		0			0	t£
	\	0	\v«						2							_L	-Tt
			0					0	2				0			_L	0
	' 4 4		0	# a-fh				0	Т ч 4				0			u	0
	' 4 4		1 1	# a-fh					Т ч 4							Та
	us°		1 1	Ф		0	Ф		'u?		0	V?			Ф	о -	'Y l
	Tt		\4	Ф			Ф		Va			V?			Ф		'Y l
	Матрица жесткости конечного элемента при изгибе о кручением
имевч. следующий вид:
			5и	a<2	^13 A			6«	‘ ,\|	C1l		C\|2 S3			[ d	d	d
			5и	a<2	^13 A			6«	‘ ,\|	C1l		C\|2 S3			!1 ,11	,12	13
				] a 22 a 23 \				A	*	\			°
				T	«		6«	0	(33 A			0	сзз Л			»	^3	(£.83)
				T	«	а \|Г а* а \|1									4l ~Ct2		Cfl	(£.83)
						а \|Г а* а \|1									4l ~Ct2		Cfl
	KU = D.						l	v	a«	'A		A	?		4	-4tt	0
	KU = D.								N	V			•‘й "cfl			0	C33
	м	м								1					11 ”12*13
										]й г а<2-а«					11 ”12*13
			С	и м м e1 T				p	и 4	И c f e A ]					*12	*22 0
													IQ-MI
															1
															L?4i
															1
															{ a jM"°l3
																“ M
ГЦЕV^[4G>+&)+*];										Vr,(S+8i v						i p	( u 'i^
			6м=- а ,[ 2(2ш- Ы +%];							V	^	2cj+^			; * if
									50

Используя ыатршгл f и Ф’ 1, находим функции формы, соответст

вующие единичным компонентам смещений узлов элемента. Придерживаясь обозначений, принятых в параграфе 2.1 Л , получаем

				ф<« фЮгаа		(p™fflw eP
	С-«■	,» -,» С\|-t i l	9■>,? .	H i Ti,5	Л,3	*1,4 Т1.А %		(2.84)
				ф(<} ф(2>	*Г2,31	фи)фФ ф(»

				« $\| '2,3? ! *ЛЗ		'2,4 2/	J2/»
где	Й	ф®(О® ф11>	ф«	ф»1 (pft> ф® ф1з>		ф® Ф® ф(3>
	-Тз/	41 4 1 ТЗД	*3,2	Д 2 Тз,3 4 3	Тз,3	*3,4 Тз,4 Узд.
¥ ^ М Ч \Ы )-?ф -Ч );				«р^-Мч,^		ФЙ’ИчМ?;
^ ч 1ч ^ ч ) Н я Ь - Ф - т - . f g - y * i , 4 , i						w	-
9 ® =i n [ ,+ y s-H )+ i(3 -»2)l;				ft®— * A 4 t ;		9 ® - 4 i 4 : V
	“ Sn D- §( з - 2 £ ) (1-iX3-24)3; 9,® = Ц п ^ ;

9 * , г ' С = - р ? Ч ;	? £ - ,й ,И 4 ) ;	9		$ - 9 з / - 61? ^ т ,[ Н ( з - г Й 1
$ - 9 $ - f 4 4 l ;	С = ^ , 0 - Зг);		9 g ~ $ ^ i l H & - U ) - 6 i W i l !
93® = - 9 ,” = f 4 4 , ;	9 £ Н ч 1И ^			< $ Н ч С ч -*> -Ч ^ - 5 л 0 > т ^
4 г Н ; Ч,= 1 -Ч-
Графики трех функций формы ф™		,		ф^ и фД} можно увидеть на

рис. 1.8, где они выделены мелкой’сеткой линий’ на поверхности и

обозначены соответственно	, ф® и ф® .
	\(j) TMj>	Ti,(j)
В. Пирамидальный элемент изотропного тела
Для пространственного элемента		(рис. 2.8) в каждом узле опи
сываются три компонента перемещений:
4 = [ i j Ь\ Дт3 4Х]Т -	[ V i “ il	W	1^ -	‘2 -85i

Так как общее число степеней свободы равно 12, то аппрокеими

рукяцие	выражения полей					перемещений выбираем в виде трех линейных
	7				функций				с	четырьмя коэффициентами каждая:
							■и(1,у,гГ							"а, + ц х + а 3у + ц,г"
					2=		tf(x,y,a)					7 ?		а5+ а6х + а7у +а3*
							w foy.*)						^ а 9+ а /					+ а „У+ V
						I X у е G о О О О О О (Л Г а ,: "
						G O G O I x y z O O O O -													\ .	(2.86)
						o o o o o o o o i x y z													сц
									Функции (2.86) обеспечивают совмест
						ность				КЗ по			перемещениям.
									Векторы £						и Б		и матричный оператор
имеют вид			(1 .2 6 ),		(1 .30) й					(1.34)				соответственно.
Вычисляем матрицу
				'О	1 0 0			0	0 0 0 0 0 0 0
				0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
	*	-	v -	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0		0	1				(2,87)
	*	-	v -	O O I O O I C O O O O O
				O O I O O I C O O O O O
				O O C O O O O I O O I O
				.0	0	0	1	0	0	0	0	0		1	0	0.
а&тем формируем матрицу						граничньос условий
		'Ф -[> (< 1 .0,0)					f ( t <,o.o)					fT(o,t2.o)					f T(0,0,l5)]T			(2.88)
vi, выполнив ее обращение, подучаем
" I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-1/Ц		0	0	1/Ц 0				0		0		0			0		0	0	0
-i/Ц с			0	0		0		0		1/Ц 0					0		0	0	0
-1/Ц о			с	V		0		0		с		0			о	L/Ц 0			0
	0 I 0 G					0		о		0 0 0 0								0 0
ф '1=	0 -1/Ц 0			0				л		0		0			0		0	0	0
ф '1=	0 -1/Ц 0			0	1/Ц 0					0		0			0		0	0	0	(2.89)
		.N	о	0		0		0		0		1/Ц 0					0	0	0
	1 О		о	0		0		0		0		1/Ц 0					0	1/Ц	0
	0 -1/Ц 0			0		• 1		о		0		0 ' 0					0	1/Ц	0
						г*		0 0 0 с 0 0 0‘
	0 0 I					~л		0 0 0 с 0 0 0‘
	0	о -■1/Ц 0				0		1/Ц 0				0			0		0	0	0
	0	0 -■1/Ц 0				0		0		0		0			1/Ц 0			0	0
_	С	(>	-			0				0		0 1/Ц 0						0	0
			•1/13 0			0		.л
								.л

узлов. Применение этого способа ограничивается только теми случа ями, когда узловые усилия являются реальными силовыми факторами, то есть при точечном (в узлах) соединении элементов, в частности, в стержневых системах. Единичные состояния стержневого конечного элемента при деформациях в плоскости 1.1^показаны на рис. 2 .1 .

Для определения концевых усилий в каждом единичном состоянии может быть использовано решение задачи любым известным методом (начальных параметров, сил и д р .) . Если сечение стержня постоянное, то можно воспользоваться готовыми табличными данными классическо

го метода перемещений. Например, при 0г1 = I по таблице б учебника
[9]находим:	М	^ =4ET2j / t j ;	A j 5	^y.lj	~ ~ Sy,2j =
= -6 E I2j / l j	,	остальные усилия, равны	нулю.	Легко	убедиться в том,

что эти величины совпадают с полученными энергетическим способом компонентами матрицы (2 .3 7 ).

При переменном сечении точное аналитическое решение может от сутствовать, тогда применяется численное интегрирование дифферен циальных уравнений изгиба, растяжения (сжатия) и кручения стержня (в конечных разностях, методом Ритца и д р .) .

Для трех- и двумерных конечных элементов применение данного способа затруднено, поскольку бывает достаточно сложно определить, какие именно интегральные характеристики распределенных по поверх ности сил упругости следует принимать за условные узловые усилия.

2 .3 . Некоторые дополнительные сведения о конечных элементах

В разделе 2 .1 , посвященном методике и технике п:строения мат риц жесткости универсальным энергетическим способом, рассмотрены простейшие типы конечных элементов. В отношении стержневых КЭ вы ше уже приведены соображения по учету переменности сечения и осо бенностей соединения элементов в узлах. Заметим, что при упруго податливых соединениях схема конечного элемента приобретает вид, показанный на рис. 2 .9 . Свойства упругих концевых связей характе

ризуются матрицами жесткости с ^ (	t =	1 ,2)	- в общем случае	шестого
порядка каждая. Для элемента плоской		стерн евой системы матрица
-------------------------------------- - ......	C-fcj -		третьего порядке,	ее
	структура		тахова:

сев,t сax.t сay.t

С .. =	C3C0,t VXTft	Cxy,t	(2 .9 2 )
_ Sjfl.t		C'yy.‘-
, aBt,	Сгй^ ,	соотьетотгеч -
но момент	и угипии

Ьуд:	от	единичного	поворота 9t \| =	I ;	с0хд.	CXI,t	и	-	те же
силовые		факторы от	смещения	= 1	; c9}j’t ,	ciy t	И	cay .t"	05Р ^ j 5* *
	Естественно» наличие упругих концевых связей должно учитыва
ться при записи граничных условий, а в энергетическом способе -
такие	при формировании матриц Dj и				E-j .
	Что касается прямоугольного			элемента пластинки,				то с	его по

мощью можно рассчитыьать системы с ортогональными участками границ (к ним можно отнести и пологие оболочки, имеющие в плане очертание, удовлетворяющее указанному условию). При более сложной конфигура ции контура для удовлетворительного моделирования геометрии задан

ной, системы		требуются кроме прямоугольных, еще и треугольные КЭ
(рис.	2.10)	. При плоском напряженном состоянии общее			число	степе
		ней свободы уелсв			треугольного
		КЭ, совпадающих с его вершина
		ми, равно 6 , поэтому каждая из
		функций И и 1Г,		описывающих по
		ля' перемещений,		выбирается с
		тремя коэффициентами:
		u ( i,y ) = a 1+ a 2x + a 3y n				(2 .93)
		гг(х,у)=о.4-\|-(15х + а 6у. J

			Все дальнейшие операции
		выполняются так же, как для
		прямоугольного		КЭ,	только мат
		рица граничных.условий будет
		шестого порядка, а			интегриро
вать приходится по треугольной области. В результате получается
матрица KQразмерами 6x6.
При построении матрицы жесткости треугольного КЭ в случае из
гиба	с кручением возникает затруднение		и з -за того,	что число		сте
пеней	свободы узлов (вершин) элемента		равно 9 , а количество			коэф

фициентов используемого для аппроксимации прогибов дГ сокращенного

в сравнении с (2 .75) бикубического полинома, обладающего	необхо
димой симметрией по координатам х и у , равно 10:
Ш'(х.у)- а,+ а2х+ а3у + а4х2 +а5ху+абу2+	(2-94)

+а^х3+авхгу -»а9ху2+а10у3.

*;Вмеето прямоугольных элементов вблизи контура целесообразно ис пользовать четырехугольные КЭ общего р.ид^; для которых матрица жесткости получается так же, как для прямоугольного КЭ, но с* более сложными выражениями компонентов.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202317.13 Mб8Метан в водных экосистемах..pdf
#
12.11.20237.82 Mб14Метанол как топливо для транспортных двигателей..pdf
#
12.11.20231.21 Mб6Метод графов в размерном анализе технологических процессов..pdf
#
12.11.20236.89 Mб7Метод конечных элементов в динамике сооружений..pdf
#
12.11.202311.04 Mб4Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов..pdf
#
12.11.20236.55 Mб2Метод конечных элементов в расчетах сложных строительных конструкций..pdf
#
12.11.202312.44 Mб3Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред..pdf
#
12.11.202314.55 Mб4Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков..pdf
#
12.11.2023877.09 Кб17Метод конечных элементов для решения электротехнических задач..pdf
#
12.11.202318.69 Mб7Метод конечных элементов. Основы.pdf
#
12.11.20238.24 Mб4Метод конечных элементов..pdf