книги / Метод конечных элементов в расчетах сложных строительных конструкций

(2.93)

соответствуют постоянные в пределах

треугольного КЭ дефор­

мации:

^ (х ,у )=

= coast;

£y(l,y) =

Og» const;

>

(2 .95)

ц а д * v

v cunst'

получаются посто­

и, следовательно, напряжения

И

также

янными, ъ то время как я прямоугольном

элементе

аналогичные вели­

чины характеризуются линейными зависимостями (правда, как видно

из (2 .6 0 ), деформации £х и £у

линейно переменны лишь по одной ко­

ординате кажд.ая). Понятно, что для улучшения кусочно-постоянной

аппроксимации действительных напряжений

сетка узлов треугольных

мами второй

степени:

+а^хЧ )

U(X,1J)= а,+0,2х

+ а5£у+а6у*;

п * (2 .96)

tr(x,y) -

а 7+ а 6х + (ц у+ a i0xV j

r.

+V y +VJ2*

и L

ввда

V

a 2i + а 3у +

а 5х у+ + а 6у 2 + а тх 2у +

; 1

u(x,t|)=

trfcy)»

V

+ V

a+ а 1зхУ+ а1+У2 + а 15х2У+ V

y 2» J

тогда деформации списываются квадратичными функциями.

Конечно, матрицы жесткости таких элементов имеют более высо­

кие

лорядаи

(соответственно 12 и 16), но каждый из

них может заме­

н и т ь

собой

3 - 4 простых элемента, обеспечивая при

этом более вы-

угольного изгибаемого

КЭ).

Обратим

внимание на то, что геометрия треугольного элемента

(рис.

2 . П ,а )

полностью определяется тремя

узлами I , 2,

3 из шес­

ти, а

прямоугольного

(рис. 2 .1 1 ,6 )

- четырьмя из восьми, следова­

тельно, число узлов,

задающих геометрию, меньше числа узлов, компо­

ненты смещений которых характеризуют поля перемещений в области

элемента. Будем обозначать зти два

числа соответственно fl^geom11

n.jjZ

Для элементов,

изображенных

на рис.

2 .I I , П э д е с т п ^ ^ се

элементы,* рассмотренные в параграфе

2 .1 .2 ,

имеют Пэдеотг

С у ­

ществуют элементы, для которых fljg eom > lVj)Z . Например,

чтобы опи­

сать приближенно (параболой* 2-ой степени) плоский криволинейный

стержневой элемент

( табл. I . I ) ,

нужны три узла (flj,geom= 3 ),

ются

смещениями его

концов, то есть

. =

2 .

Соотношение Tlj ge(mi>

>Tlj£

характеризует

также некоторые

объемные и

двумерные элементы

мости

от

соотношения

параметров П^дШ и

Т1^г

-

элемент,

для

которого tl{

= п , ,

,

называется

и

з

о

л

а

-

р а м е т р и ч е с к и м ;

J*

-

если

*°

элем®нт

-

с

у

б

п

а

р

а

м

е

т

р

и

­

ч е с

к

и

Й ;

-

элемент

называется

с у

п е р

п

а

р

а

м

е

т

р

и

ч

е

с

к

и

м

Еще один признак классификации КЭ -

соотношение размерности

задачи,

которая определяется числом координат (для

стержневых КЭ -

I , для

плоских — 2 ,

для пространственных

- 3 ), и количеством коэф­

фициентов старшего

из полиномов, описывающих поля перемещений:

- элементы, у которых число коэффициентов превышает размер­

ность

задачи на единицу, называются

с и

м п л е к

с

- э л е м

е н ­

т а м и ;

- если разность между числом коэффициентов и размерностью

з а ­

дачи

больше единицы, то говорят о

к о м п л е к с

-

э л е м е н -

т е.

Согласно приведенной классификации

в параграфе

2 .1 .2 рассмот­

ла

_

,

о

Ех асу

D =

Е i

Е

о

(2 .96)

1-tyfec

ЛГУ®

о

e fl-Vsy Uy i)'J

о

где

EJJ. и Еу - модули упругости

первого рода в направлениях осей

X

и у соответственно;

G - модуль

сдвига; Ч ^ и Vy I -

коэффициен­

ты Дуассона;

3 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ УЗЛОВЫХ НАГРУЗОК

В разделе 1.1 уже сказано,

что существуют два основных спо­

диться на примере симметричной ра­

мы,

изображенной на рис. З Л ,а . Ес­

ли

в качестве конечных элементов

принять

стойки к ригель, то

после

замены распределенной нагрузки ста­

тически

эквивалентными двумя

сила­

ми в узлах 2 -го КЗ (ригеля)

получа­

ем безызгибную расчетную схему (рис.

3 .1 ,6 ),

в то время как заданная ра­

ма работает, несомненно, с изгибом

очевидным, если

вспомнить

(раздел I . I ) , что правые части кано­

нических уравнений МКЭ получены именно из потенциала внешних сип

дифференцированием его

по

вектору & .

Целесообразно определять узловые нагрузки поэлементно, а за ­

тем выполнять

суммирование по узлам системы.

Рассмотрим сначала случай силовых воздействий. Заданные наг­

рузки

в пределах

j -го

пространственного конечного

элемента могут

быть

четырех

типов:

I)

объемные

(силы тяжести, инерционные и

т .п .) - охарактери­

Pi = [Pacj Pyj Pzj3T

»

причем в общем

случае pI j=PXj(acj ,yj l £j )

i

Pyj = Pyj(x j ^ j > zj )

»

PBJ

- известные

функции;

Z)

распределенные

по некоторой

поверхности

Q j

:

Ч^г‘1

Заметим, что поскольку уравнение поверхности Q. известно,

то на-^

грузки

являются функциями только двух координат;

3)

распределенные

по некоторой

линии: tyj=[q,£j tyyj <Ц}Г* ПРИ эа“

данном уравнении линии компоненты вектора CL -

функции одной коорг-

динаты;

J

4)

сосредоточенные

силы в некоторой точке с координатами X,

для двумерных элементов возможны нагрузки

2 -г о

- 4-го

типов, а

для

стержневых - только

3 -го и 4 -го .

Если в векторы перемещений узла системы 6^ и элемента Aj вхо­

дят

углы поворота,

то

в

векторы нагрузок включаются распределенные

и сосредоточенные моменты относительно соответствующих осей.

Число компонентов

каждого из векторов Pj ,

, Я-ji^ ' Должно

где Ftj = [^ у FjJjЛ*ц

(если в Уэлах не определяются углы

поворота, то моменты исключаются).

Записываем условие равенства потенциалов расчетных нагрузок

f^e и заданных нагрузок

четырех типов:

■ 7 V B|ifW

afoV®i +4й

V V

(s-*>

У)

2J

lj

определены как

возможна

Левая и правая части равенства (3 .2)

ны). Суммирование выполняется по однотипным натруэком,

если их нес­

колько .

Перемещения элемента Zj выражаются через вектор Aj

соотноше­

нием

(2 .4 ) . В свою очередь,

Aj связаны с

перемещениями узлов сис­

темы & зависимостью

(1 .5 9 ),

следовательно,

потенциалы в уравнении

(3 .2 )

в конечном счете зависят от

вектора & , как

и предполагает

идея

энергетического

способа.

Заменив Zj во всех интегралах

(3 .2 )

на <PjAj согласно (2 .4 ),

замечаем,

что во все

члены уравнения входит

вектор

Aj . Тогда дол­

жны быть равны между собой множители при

Aj

в левой и правой' час­

тях (3 .2 ),

откуда получается формула для

эквивалентных

нагрузок

j -го конечного элемента в его локальных

осях:

( 3 . 3 )

Таким

образом,

(^е определяются с помощью функций формы (J)j ,

вия. Поэтому энергетический способ может считаться,

в отличие

от

статического, точным в ремках принятых общих предпосылок МКЭ.

Вычисленные по (3 .3 )

узловые

нагрузки преобразуются затем

ь

глобальную систему

координат. Для

t - r o

узла

j -го

КЭ преобразова­

ние осуществляется

по формуле

F0

= Не F0

’

(3 .4)

где

j

tj

cos(xjx)

co$(xjy)

cosfxji)

й,

о

cns(yjx)

C05(y^y)

COS(ljjk)

о

нг

C0S(Z.jx)

COS Сгуу)

C0S(Zj2)_

Если в векторах Ftj

^

отсутствуют

моменты, то Hj * Hj

Выполнив операции

(3 .3 )

и

(3 .4 )

для

всех

конечных элементов,

находят эквивалентные

нагоузки

уэг

х

системы от саданннх енеус-

левых нагрузок:

F* - X! F ^ , .

1 - l .n .

(3 .5 )

где суммирование распространяется на те узлы элементов, которые

совпадает с

I -ыы узлом

системы.

т

т

т п

После

определения всех компонентов

вектора Fe =[F®...

F^ J

учитываются реальные сосредоточенные нагрузки в узлах системы

Fu = [F iuT... F^7... F“T] T

(структура Fu совпадает с F e ),

в

результа­

те чего подучаются искомые расчетные узловые'нагрузки:

F e Ve + F u .

(3 .6 )

Отметим, что "распределение1' найденных узловых нагрузок

эле­

выражаемым формулой

(.3.5), но и с помощью матрицы

Н , которая

ис-

польэуется также при формировании матрицы жесткости системы

(1 .63):

F e =HF®,

(3 .7 )

где

Св = Г с еТ

С«Т СеТ1Т -

Г® —Г р€Т

пет

рет

1т

га

L *о,1 • • •

4 j

• • * fyni J .*

4 i

L bo,lj * • * "o,tj • *- to,njj

J

*

Рассмотрим примеры вычисления энергетическим способом эквива-

лентных узловых нагрузок некоторых

типов конечных элементов.

Для стержневого элемента,

функции

формы которого

(Зиж

получены в главе

2 в виде (2.44), определим вектор Ff

от

нагрузок, изображенных на рис.

3 .2 ,а .

Ограничиваясь решением лишь для плос­

кости ijljyjO yifl другой

плоскости резу­

льтаты будут аналогичными), в

вектор

Fj6 включаем узловые нагрузки,

показан­

ные на рис. 3 .2 ,6 :

Рис. 3 .2

Заданные нагрузки - 3-го и 4-го типов,

описываем их векторами

Ча= и * Я , ° ] т -

% 4

Fx F,

м ) т-

<3 -9)

гд е

0 в

векторе

-

интенсивность

отсутствующего распределенного

номеЫта

Dl£ .

^

Удерживая в формуле (3 .3)

два

последних члена, имеем:

*о матрицу (pj в выделении (3.10)

формируем из тех столбцов п страх

матрицы функций фор»:;; (2 .4 4 ),

которые

характеризуют

перемещения Uj,

Vj и Qzj в плоскости I j ^ y j . Таковыми

являйте л первая, вторая а шее-

тая строки матрицы (2.44) и ее

столбцы с номерами 1

,2 ,6 ,7 ,8 ,1 2 .

Во втором слагаемом (3.10)

-

числовая матрица,

получаемая

подстановкой координаты

Х^

=

в матрицу

. Выполнив поэле­

ментное интегрирование,

из

(3.Z0)

получаем

- » ^ J-+d.E[J - ^+A\ 3- Z4Fs+

6

d

f

(3.1Г1

где j H - d .

J

*•

ках, показанных на рис.

3 .3 ,а , построим вектор эквивалентных наг­

рузок в узле tj

(рис.

3 .3 ,6 )

се^Г ре

Ме

ме

у

(3.IZ)

Векторы нагрузок

4 j

n *Hj

ynjJ

2 -го

и 4 -го

типов имеют следующий вцд:

4 - j = [ a 0 ° Г ;

^ =

( FMx ° r -

(3.13)

В формуле

(3 .3 )

удерживаются

второй и

четвертый члены:

к Ы

я

F

( 4 Г4

1J ■о Ikо

J

ОО

d i j d . j j + f C d . i , . , ^ )

Ъ

(3 .14)

Матрица ф^

- это

первый блок матрицы функций формы

(2 .8 4 ),

имеющий размеры 3x3.

Выполнив интегрирование н умножение матриц