Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Метод конечных элементов в расчетах сложных строительных конструкций

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

6.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

"о		0	О	0			0		0		0	0		0	0			0		01
	0 Ё А		0	0			0		0		0	0		0	0-			0		0
	0	0	0		0		0		0		0	0		0	0			0		0
	0	0	О	0			0		0		0	0		0	0			0		0
I	0	0	0		0 4 E I , I 2 E I J C						0	0		0'	0			0		0
I	0	О	0		О	I2 E IJC 36Щ х 2					0	0		0	0			0		0	,(2.3?.)
=j(b	0	О	0		О	I2 E IJC 36Щ х 2					0	0		0	0			0		0	,(2.3?.)
=j(b	0	0	0		0		0		0		0	О		0	0			0		0
.0	0	0	0		0		О		0		0	0		О	0			0		0
	О	0	О		0.		0		0		0	0	4Е1ц		12 Е 1аХ			0		0'
	0	0	0		0		0		0		О	0	12Е1цХ		3 6 Е1уХ *			0		0
	0	0	0		О		0		0		О	0		0	0			0		0
	0	О	О		О		0		0		0	0		0	0			0	«fc
																			«fc
		Интегрируем			ненулевые блоки:
											*1			4El,t			6EI,t2"
														4El,t			6EI,t2"
												dx =		i				с
												dx =				12EIZ13
ь		-				t	e		s	t			_6Е1/			12EIZ13
j T« 4				“				V	0 * 1		L	V\	; -			P					( 2 . 3 3 ‘
j T« 4				“				V	0 * 1		L		; -			P
j L ^ I y l			36EIyx zJ					[6 E lyt 2			12Е			Gl^dx = Gl^t.
j L ^ I y l			36EIyx zJ					[6 E lyt 2			12Е
											“ V J
		Выполняем обращение							матрицы граничнйс условий. Матрицу Фи мож
но получить, если иэ системы уравнений													Ф*сь = д			каким-либо					образом
(например, решением по Гауссу) выразить параметры																	СЦ , . . . , CL^					че
рез	компоненты				вектора				Л :
п		• 'о	T	“	.		. л	-	— 1 х.		1*	t 2	§И£. . п			_	0®2~6i1				/о	34)
ai	u i- V		T	“	' "		” V		t3		1*	t 2	I2 * ” **		в --------------
		Коэффициенты					при	перемещениях				1Ц , Ц		, . . . ,		9г1		в выражении
параметра				дают			i -ую строку				матрицы ф“1				о целом матрица Ф"2
такова: '			I	0			0	0	0	0		0	0	0	0		0	0
		- I /t 0					0	0	0	0 I /t 0				0	0		0	0
			0 I				0 0 0 0					0 0 0 0 0 0
			0 0 0 0 0 I									0 0 0 0 0 d
			0 ■-ЗА2 0					0	0 -■2/1			0 ЗА2		о	0		0 -■I/t
	Ф“1 =		0	2/t3			0	0	0	I/t2		0 --2/t5		0	0		0	I/t2			( 2 . 3 5 )
	Ф“1 =		0 0 I					0 0		0 0 0 0 0 0 0
			0 0 I					0 0		0 0 0 0 0 0 0
			0 0 0 0 “I							0 0 0 0					0 0 c
			0	0		ЗА1		0	2/1	0		0	о -ЗА2		w		I /l	0
			0	0 - ?А3				0 •-I/t?		0		0	0	2 /13	0 •- I/t1 l.
			0 0 и I						0 0 0 0 0 э и 0
			Л	0			J - 1А 0					0 0 0 IA 0						vJ „
		„ и		0			J - 1А 0					0 0 0 IA 0						vJ „

Л\

Выполнив			одно перемножение матриц, подучаем												о
"0 -ЕА 0			0	0	0		0		0 0 0 0					о"	о
"0 -ЕА 0			0	0	0		0		0 0 0 0					о"
0	0	0	0	0		6EIZ 0				0	0	0	0	0
0	0	0	0	0		0		0		0	0 -6EI		0	0
0	0	0	0	0		0		0		0	0	0 * 0		-GIt
0	0	0	0	0		с		0		0	2EI	0	0	0	(2.36)
0	0	0	0	-2EI- L				0		0	o s	0	0	0	(2.36)
0	ЕА 0 0 0 ■0 0 0 0 0 0 0
6	0	0	0	0 -6EI, 0						0	0	0	0	0
0	0	0	0	0		0		0		0	0	6EI	0	0
0	0	0	0	0		0		0		0	0	0 s 0		6Ii
0	0	0	0	0		с		0		Q-2EI		6Е1Л0		0
_0	0	0	0 2EIZ 6EIzl 0							0	0	0	0	0_

И, наконец, умножив (2.36) справа на Ф"1 , находим искомую матрицу жесткости элемента: t

			К = (ф-')т (бЧ )6(1хФ '' =									(2 .37)
					О	■-EA/t	0	0.		0	0	0
"еаЛ	0	0	0	0	0	■-EA/t	0	0.		0	0	0
0 I2EIz/t? 0			0	0	6EIaA2 0 -I2EIZЛ5о					о	0	6EIz/t*
0	0 I2EIjjA3 0 -•6Е1уА2 0					0	0 --I2EIy/l50 -■6EIa/t2 O'
0	0	0	ey<., 0		0	0	0	0	-6LA 0			0
0	0 -6EIa/t? 0			4EIyA 0		0	0	6Е1уАа 0			2EI„/l 0
0	6EIz/ll 0		0	0	4ELjA 0 -6EIz/l* 0					0	0	2EIZA
-EA/l,	0	0	0	0	0	EA/t,	0	0		0	0	0
0 -•I2EI4A30			0	0 -6EIZA2 0 I2EIZA3 0						0	0 ■-6EIz/ta
0	0 -I2EIyytfo			« V A* 0		0	o ;[2EI A3 0				6EI.A‘ o
0	0	0	-GL,A о		0	0	0	О^	CD	>	о ^	0
0	0 -6EIyA4 0			2EIyA 0		0	0	6EIaAa 0			4EIa,A о
	6EI2A4 0		0	0	2EIZA 0 -6EIa./1*0					0	0	4EIZA_

Как и следовало ожидать, матрица получилась симметричной. Ее структура определена последовательностью записи компонентов векто ра Д . Первый столбец матрицы по смыслу представляет собой вектор усилий в концевых сечениях (узлах) элемента (рис. 2 .4 ), вызванных единичным смещением 1Ц = I , второй столбец - от = I и т .д . от всех единичных перемещений узлов в порядке записи их в векторе Д .

S	Si - [ sr t s„i s « мй	м „ м й] т. t - u . « . а »
	Понимание физического смыс
	ла компонентов матрицы жесткое*»
	позволяет легко трансформировать
	ее при изменении структуры век-
	X тора	А , что осуществляется пу
	тем соответствующей перестановки
	столбцов и строк. Например, век
	тор А	можно перестроить так:

				e„,w i				(2.39)
	- [ « , . ч					U JL! ®I 1 ®I2.7-

Первые четыре компонента хараноеризуют изгиб в плоскости хОу,
следующие четыре - изгиб в другой главной плоскссти,								блок [ u , U j]T
описывает осевое растяжение (сжатие) элемента,							‘ R A .T - кручение-
После перестановки			сначала столбцов, -а затем строк матрицы (2.37)
в том же порядке,			в каком осуществлен переход				от вектора (2.21) к
(2 .3 9 ),. получаем		новый		вариант матрицы жесткости с четким блочным
строением:				К	О
			К -	х9 кxz				(2.40)
				О

где Кху -						t J

	матрица жесткости стержня при					изгибе	в плоскости хОу:
	4Е1г Л			6Е1гД г	2Е1гД	-бЕ1г/1*
Кху	ре 12Л4			I2EI2/ t 3	6Е12Д2	-I2E Iz/ t 3		(2.41)
	2Е1г Д			6E I-/12		-6Е1г/1*

				• И - .	-6Е1*/1г	I2EIz/ l 3_
	_-6Е1*Д2 -I2 E L /1 3
КЛ2матрица жесткости при изгибе в плоскости xOz
	4Е1аД			-6Е1уД2	2EI Д	6Е1у/1а
	-6 E l’ / l 2			I2El’ / t 3	-6E Ia/L2	-I2E Iy/t3		(2.42)
	2 E Ig /t			-6Е1уД2	4ЕГа/1	6Е1уД2

	_ 6Е1ч/12 -12Е1ЧД 3				6EL./11	I2EI	/(?_
и Kt	- матрицы жесткости при растяжении (сжатии)							и кручении:
	К =	Г	" *	- ^ Ч	. К ^ Г 61^ 1			(2.43)
	х	L -E V t		EA/tJ’ V

Разделение полной матрицы жесткости К на независимые блоки

оказалось возможным и з-за того, что полная деформация стержня яв

ляется результатом сложения независимых составляющих деформаций.

Каждая из матриц (2 .41) - (2 .43) могла быть получена			отдельно
по той же	схеме, что	и общая матрица К . При этом выполнялись бы
операции	с матрицами	значительно меньшей размерности, что	привело

бы к снижению общей трудоемкости решения.

При изменении правила знаков какого-либо компонента вектора Д,

(или 3 ) в матрице	К следует изменить знаки соответствующих строки
и столбца (при этом	член, расположенный на главной	диагонали, где
пересекаются строка	и столбец, остается положительным).
Остановимся на	определении функций формы ф	Они не потребо

вались для построения матрицы жесткости, но, как будет показано в

главе 3, нужны для вычисления расчетных			узловых нагрузок.	Умножив
матрицу базисных функций	f	(2 .2 9 )	на Ф"1, получаем,	согласно

(2.П):

		1'Т
		0
	ь	0
	ь
е-	и	II
е-	-	II
		0
		0
		0

00 0 x(i- 2х . х2)

Т‘Г t1/

0		0 -* 0 - ¥ +$) 0
0	0	1-т	0		0
			..41	Зх2	0
» - $ ( Н		0
			•НТ “Т?		4х , Зх2
		0	0	1-
					1 I2

0	0
$ • - ? )	°
0

°^ Н )

Щ- f ) 0

0	0	0
0	■ ?\|( Н
	■ ?\|( Н
0	- $ Н	0
X	0	0	.(2.44)
1
0	- т (т - г)	0
0	0	0

Обратим внимание на то, что компоненты второй строки матрицы

фхарактери зуй те перемещения (Г , совпадают с полученными совер

шенно иным путем в параграфе 2 .T .I функциями Ср^. ,		r2,lj	,(3) и
CpW (рис. 2 .1 ).	2,1)	r2,lj	T2,2j
CpW (рис. 2 .1 ).	214	211	°°*
T2,2j

4*1

Рассмотрим еще один

вариант1 построения матрицы жесткое

того

же элемента

энергетическим методом

- с ислол-’. пъь’лт и

теоремы Лаг

ранжа.

Приняв для описания

полей

перемещений

зависимости

(2 .2 8 ),

вы

числяем

их

производные,

входящие

выражение ПЭУД элемента

(2 .23):

tf"(x) = 2a9 + 6a1Qx ;

V"(x)»2as + 6a.„x;

(2 45)

11'(X) = а51

е ;& ) -

а е .

Подставив (2 .45)

(2 .2 3 ),

находим в результате

интегрирова-

ния:

U - 2ELal ( a | * 3 a ,a mt

+ 3a.*l, ) + 2EIJt ( a sI +

(2.46)

+3 d 5a6l +3 a ' l 5) + ^ E A la ^ i

Из

граничных условий

элемента

выражаем коэ|фициенты

(Ц

01^ через

перемещения

узлов

а ,

. . . . .

0zi . Получаем

S ’"

7 К

-■',)+^ ( г е а,^ е чг>.

(2.47)

С1а , CL10 и й й долы в (2 .3 4 ).

По

теореме

Лагранжа (2.20)

имеем

$ = 0U

со 1

(2.48)

II —1

ад ~

3U/0AS

_^2_

аничимся

определением

усилий только в узле I-

"ж " Зи,

	Ж		E U l 2 ^		8а
	Ж		Е1г1{2(2й ^ 31а 6) д ^ + a ( v 2'-a6) ц }
	Эи;
	Ж		E[s i { 2(2a s* 3ia w) \| b + 6l( a e'-2t i l0)		\| ^ }
s , =	Эц
s , =	аи.	=	л	3d \|2
	аи.	=	л	3d \|2
	« в		^	t lC l12 30х1
	« в
	а и		Elsl( 2(2v S U L j g ^ + 6t(aa+2t QM)
	aiV		Elsl( 2(2v S U L j g ^ + 6t(aa+2t QM)
	aiV			Вп	0(Ц 1
	аи			Вп	0(Ц 1
	аи		E y .{ 2(2V 3U , ) Ж , * 6l V 2W 6)
			E y .{ 2(2V 3U , ) Ж , * 6l V 2W 6)		^
				И	^

x O v V

x ( f (v ,V) + 6(V eB2)}

SI	(2 .4 9 )

Г^ х Г 9« )

^lT & r V ++ V 2e«j}_


Последовательно			задавая	1Ц =	I ,	V\ = I , . . . »	®z2 ~ *	(при нуле
вых остальных компонентах вектора					Д	), получаем	столбцы	верхней
половины матрицы		К .				S2 в узле 2,
Аналогично		определяются усилия					а по ним - нижняя
половина матрицы		К,	Читателю	предлагается самостоятельно убедить
ся в том,	что полученная изложенным					способом матрица жесткости
совпадает	с (2 .3 7 ).
Использование блочного варианта записи матрицы жесткости
(2 .40) позволяет		легко перейти от			пространственного элемента к
элементу плоской системы - для этого						из матрицы К исключается один
из блоков,	характеризующих изгиб,				и матрица жесткости при кручении

К..В результате имеем

			К =	Кху		^			(2 .50)
				О		К .
	Для стержневых элементов других типов (с шарнирным закрепле
нием одного или обоих концов) описание перемещений принимается
также в виде		(2 .2 8 ),	то есть	по	точному		решению уравнений			(2 -2 7 ).
Из	вектора Д	исключаются углы			поворота		в цилиндрических			и шаровых
шарнирах и линейные перемещения в поступательных шарнирах. При
этом кинематических граничных условий становится меньше,										чем коэф
фициентов CL . Недостающие условия						получаются		приравниванием нулю
соответствующих усилий в шарнирах						(моментов		или	сил, в зависимос
ти	от типа шарнира). Эти с т а т и ч е с к и е								условия	выражают
ся	через производные		перемещений			(например,		Мг = 0 => tr"=		О,

N= 0 => U* = 0).

Б. Прямоугольный элемент тонкой изотропной пластинки Конечн;.’’/. элемент пластинки, тобрзмснный но рис. 2 .5 , имеет

о —

tot

ii_____ . /

Рис. 2 .5

постоянную толщину. Физические характеристи ки материала - модуль упругости £ и коэффи циент Пуассона ^

В геометрически линейной постановке задачи пространственная деформация пластин ки может быть разложена на две составляющие:

I ) деформация в срединной плоскости элемента, вызывающая плоское напряженное состояние (ПНС);

2)изгиб с кручением.

Всвязи с этим в матрице жесткости КЭ можно выделить два бло-

ка:

К=

Ко

(2 .51)

где

К0 и Км - матрицы жесткости

при ПНС и изгибе с кручением.

Рассмотрим

сначала

плоское

напряженное состояние элемента.

и 3

мераг

1 . Локальные оси координат и ну

узлов

даны на рис.

2 .6 .

2. Для каждого узла определяются

/ А |_______ е;

два компонента перемещений

^ ~k 4)’ тогда

чI—

с---

/ к

Ц'

tГо

J --X

Ч и ,< 1 Ц г»Гг ;и з ^ ! i y r J T

(2 .52)

1Ц

3. В Бектор 2 включаем функции

>1---т]

4 <--- L

b —

перемещений,

одноименные компонентам

Рис.

2 .6

At :

2 =*

ч (х ,а Л

■ц^Х/^ I '

(2 .53)

V.’)J •

4 . Потенциальная энергия упругой деформации элемента при ПНС:

	tt=i'T^r \|\|(£i +t5+ZvEi£s+1r?x!j^dld!1'									!2-м)
где Q -	площадь		элемента.
Представив (2 .54) в матричной					форме
					1		V	О	Axdy	(2, t/C* f
					V		1	о	Axdy	(2, t/C* f
					о		0	^
и сравнив	(2	55)	(2 .3 ),	находим, что
		Г £т	1		Г1	V	СГ
£ -		X	;	» - п0	V	1	0	;	dV=didij,
£ -		su	;	» - п0	V	1	0	;	dV=didij,
		У			0 0

5 .

поскольку

£x =9u./9i •. £s = 0tr/fly,

flj.y= 0u/&y+0v/9x

то мат-

ричный дифференциальный оператор,

выражающий деформации

через

перемещения Z ,

имеет следующий вид:

а/а-х

[2.57)

9/Зу

а/9у

з/бх_

6 . При выборе аппроксимаций перемещений Z следует учесть два

обстоятельства:

- общее

число коэффициентов (L в приближенных

выражениях

И должно

быть равно числу

граничных условий

элемента,

то

есть 8;

- функции U(x,у)

и 1Г(х,у) должны быть

одинаковыми

по

структуре, так

как оси X и у равносильны.

Принимаем для

описания Z линейчатые функции:

а (х ,у )

а11+а2У+аз1У+ аА

(2 .5 8 )

*г(х ,у )

_а5х+а6у +а7а;у + ав_

Перемещения И(т,у) и tffoy)

должны удовлетворять

условию

соьмест-

ЗхЗу

8*«* .

32е ы

(2 .5 9 )

а /

Эх4

‘

Вычислив деформации

Г а , + а 3а

(2 .60)

—

а 6 + а,а:

_ а 2+ а 3х

+ а 5+ а 7у

находим

^ £г-

^ у /- О,о

следовательно, (2.59). обращается в

тождество.

Отметим, что функции (2 .5 8 ) дают линейные распределения пере мещений по граням элемента (рис. 2 .6 ) , однозначно определяемые сме щениями узлов . Это обеспечивает неразрывность перемещений для смеж ных элементов. Как указывалось в параграфе 2 . I . I , такие элементы являются совместными по перемещениям.

Записав вектор 2 в форме (2 .6 ), выявляем матрицу базисных функций

f	~х у	ху	1 0	0 0	о”	(2 .6 1 )
f	О 0	0	0 х	у ху	1_

7 . Матрица граничных условий:

	ф,	> М ) '
Ф	%	f(x2.y2)
Ф	%
	%
	%	/ ( е д )

’о О о 1 О О О О~
о О о О О О 0 X
Ч О О I О О О О
о О О О ч О О I	(2.62)
: I О О О О
Ч ч ЧЧ
о О О О ч ЛЧЧ1

О Ч О I О о О 0 О о О О 0 Ч О I _

Решив систему уравнений Ф(1 = А , выражающих граничные условия элемента, относительно коэффициентов CL, находим

(и4-и,уц

а= [at V --

\ Г “ ф'<й*

"4 0

0 0 0 0 0

-l, 0

0 0 0 0

(и~*4Vч

-i

0 I

(uf V V u4)/(44)

S '

-I

«Ч

=_L ЧЧ 0

0 0 0

0 0

4t .(2 .63)

(V4)/4

ЧЧ о

-Ц

0 0

(V v«)/4

о -4

(Ч-Ч+Ч-Ч)/(ЧЧ)

O I

-1

0 I

-I

ЧЧ

0 0 0 0 0 0

-V

_3 A

. рица

Ф"'

производных базисных функций:

Ь =

'О

(2.64)

О I

9 . Выполняем последовательно

операции вычисления матрицы

ЦЦ

К0 = (ф -')т |

m t u

j f ' :

ч ч

• T

Mо о

6 dx lllj«

0 я

\'Y

У о

то

О у О

О О

n j j

о vy

е1

хо

О О О

I X 0 dxdij --

о о

)Л JAX о

ЯУ о

1;r

у о

■~1jw

№

If w

] ye+jHX2 О

jMX

$ х у

1-------'

чИ

r t

dxdy

о о

*—

Симметрично

*— i xfyy2

tj/2

Vt.,/2

"1I• JH

]ЛЦ/2

JA12/2

—

Ct^+jrttp/з

л?ъ£/2 (i+v)tya

;

0 0

.(2 .6 5 )

- W i

- 1

“

у \г1%

\ И

Симметрично

] (1ч+^Ц )/3

i----------- 1

0 J

Умножив (2 .65)

слева на ( ф “{ )т

и справа на Ф-<,

получаем ис

комую матрицу жесткости конечного элемента при плоском напряженном состоянии:

«ИЙ*-Н			Н	х
1 i(ji+rt) *	-Л		-jV f
7	_d v \|		*	л
1	j‘( f *PP)	X	~3p*lf a	'	,(2 .6 6 )
I__	] i(P+p d -Ьц			-*
	] i(P+p d -Ьц			-*
	------- Г		т(у’^Р) *	Ц-Ч
С и м м е т р и ч н о		!	т(у’^Р) *	Ц-Ч

L” ’ l i(P^) -d

где c£ = (I +*V )/0 ; X= (I - 3V )/8 ; jS- t^ /t^

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202317.13 Mб8Метан в водных экосистемах..pdf
#
12.11.20237.82 Mб14Метанол как топливо для транспортных двигателей..pdf
#
12.11.20231.21 Mб6Метод графов в размерном анализе технологических процессов..pdf
#
12.11.20236.89 Mб7Метод конечных элементов в динамике сооружений..pdf
#
12.11.202311.04 Mб4Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов..pdf
#
12.11.20236.55 Mб2Метод конечных элементов в расчетах сложных строительных конструкций..pdf
#
12.11.202312.44 Mб3Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред..pdf
#
12.11.202314.55 Mб4Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков..pdf
#
12.11.2023877.09 Кб17Метод конечных элементов для решения электротехнических задач..pdf
#
12.11.202318.69 Mб7Метод конечных элементов. Основы.pdf
#
12.11.20238.24 Mб4Метод конечных элементов..pdf