Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Метод конечных элементов в расчетах сложных строительных конструкций

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

6.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

где Dj - матрица упругости материала j -го элемента; bj = Ае j - функциональный вектор деформаций (или величин, играющих роль "де

формаций" для элемента данного	типа, например, кривизн для стерж
невых и пластинчатых КЭ); А£ j -	матричный дифференциальный опера

тор	зависимости между деформациями и перемещениями (типа соотноше-
ний	Коши); Zj -		- вектор функций перемещений	в объеме
элемента		((1 .4 7 ) - для	пространственного КЭ).
	Для	приближенного	описания перемещений Zj используется идея
метода Ритца:			2 , - И . Л , ,	(2 .4)

где (pj - матрица координатных функций, выражающих перемещения в области КЭ, соответствующие единичным смещениям узлов. М атрица^ имеет следующую структуру:

			r 4	V	- V	" V	’	(г-51
W								0ПР°да-
л ящ ая компоненты перемещений,					которые	входят	в вектор	Zj , при
единичном	смещении		= I	t -го узла		( в качестве		К017Т
выступать	иц. , (T^j		и д р .,	в зависимости от cL ).
функции ^		родственны		по смыслу уже встречавшимся ранее
функшям	9(j,	(1 .42)	- (1 .4 5 ),		но (рш	должны определяться при

единичных смещениях узлов тела в глобальной системе координат, что, как правило, сопряжено со значительными трудностями, а 9 . -

при единичных смещениях узлов КЭ в его собственных локальных осях - это намного проще.

Каждая из функций, входящих в (pj, должна удовлетворять урав

нениям		неразрывности в пределах КЭ и кинематическим			граничным ус
ловиям		в узлах . Следовательно,		(pj зависят от формы конечного эле
мента,		поэтому	они называются	ф у н к ц и я м и	ф о р м ы
	В	качестве	примера рассмотрим построение матрицы (pL для ко
нечного		элемента плоской стержневой системы, изображенного на рис.
^ '	а .	Элемент	имеет два узла	( flj = 2 ), совпадающие с его конца-
»ч>.	Вектор перемещений узлов

Ввектор Zj включим только функции прогибор и продольных пе—

О^■а/ещений:

V * P _

тогда матрица функций формы будет иметь следующий вид:

т Г	П \
— I	* 1 - IJ

рис. 2 .1

% % ! ф Ц * 3 j v {? j

о®.	ф®	ф{3)	j	ф(0	ИЙ.	Ф(3),
T2,1j	^2,1j					T2\|1J
и	n	т	I	и		и
о Р	; Р	i=>	I	—j£?	sf*	t p
о Р	; Р	i=>	\|	a?	sf*	t p
Первая		строка		в (pj - функции

продольных перемещений U , а вторая строка - функции прогибов V . Графи ки функций формы, отвечающих единич ным компонентам смещений узлов, по казаны на рис. 2 . 1 , 6. Функций; соот

ветствующие продольным				смещениям у з
лов	U . = I	и tioi	= I ,	линейные:
ф ® И - ^ ;		41	X;	04 Xi 4 t,
ф ® И - ^ ;		в® ’,	-г—j	04 Xi 4 t,
“i.'j	lj	”« i	Н	J
		uy	Н	J

а при поперечных смещениях и поворо тах концов элемента прогибы описываются кубическими полиномами, такими же, как в одном из примеров в параг

рафе 1 . 5 . 1

((1 ,4 5и.’рио.

1 .7 ) :

т (1)

= фй). •

ф0) = й(1) *

ffl(1) =(Й(2)

Ш(3) = Й0)

% ,ij

H(j)'

-2.1j

H(j) ’

?2,2j

Н+1,ф*

J2,2j Ч.+1.Ф ‘

Компоненты матриц

и cp^j оказались

одинаковыми потому,

что

в примере из п .1 .5 .1 направление

глобальной оси I

совпало

ло

кальной осью I j

j - r o

конечного

элемента.

Остальные

шесть

компонентов

матрицы

<j)j -

нулевые.

Заметим, что для стержня постоянного сечения

полученные

функ

ции формы являются

т о ч н ы м и

Прямое определение функций формы, как в только что рассмот

ренном примере,

возможно лишь для простейших

(стержневых)

конеч

ных элементов, поэтому в общем случае используют следующий

прием:

функции перемещений

Zj аппроксимируют

в вцце

(2.6)

где ^ f jC x j.y ^ E p -	матрица	б а з и с н ы х	функций,		выбираемых
с учетом требований	и рекомендаций, формулируемых ниже;				CL. -	век-
тор коэффициентов.					«
тор коэффициентов.		истинных перемещений и.- ,		V-
Таким образом,	вместо	истинных перемещений и.- ,		V-	у• ■•э	co-
ответетвующих действительным узловым перемещениям к-				,	вводится
их приближенное описание:

aj (sj		f„ а.+( Л +'''+ ( Л ■’
''j (x j ■\)j' Zj ^ =		a i + ^ j a 2+ •••+	as ’
где S зависит от числа степеней свободы узлов			элемента	TL0j
Т р е б о в а н и я	к	аппроксимирующим выражениям перемещь
ний:
1 . Функции Zj=fjGL, должны удовлетворять уравнениям				совместнос

ти (неразрывности) деформаций в пределах элемента либо, что пред


почтительнее, -		разрешающим дифференциальным уравнениям						в переме
щениях для элемента данного типа				(при узловых нагрузках)15^.
2 .	Вычисленные		по функциям	Zj деформации £j = А£ ; 2 .				не долж
ны быть	тождественно		нулевыми.		‘	’	3
3.	Функции	Zj должны удовлетворять			кинематическим граничным
условиям	в узлах	элемента, то есть при			подстановке	в	Zj	координат

узлов должны получаться значения перемещений узлов (компонентов вектора Aj ) . Из этого следует, что S (число коэффициентов CL) должно быть не менее суммарного числа степеней свободы узлов КЭ

tl0j . равного количеству компонентов Aj (обычно S = n Qj			).
Кроме перечисленных требований, при построении аппроксимаций
желательно	учитывать следующие	р е к о м е н д а ц и и	:
1. По	возможности выбирать	базисные функции так, чтобы Zj

получались инвариантными к преобразованиям системы координат эле мента (параллельному переносу и повороту осей). Это достигается,


в	частности, использованием	полных	полиномов.
	2 . Следует стремиться	к тому,	чтобы по граням элемента пере-
V]	“	-------		-------------------- —

* 'Например, для изгибаемой тонкой изотропной пластинки постоянной толщины приближенное выражение прогибов tifj должно удовлетворять

однородному (при	= 0 )	уравнениюvVufj- 0. Если аппроксимировать
ijj полиномом до	третьей	степени включительно, то указанное тр е
бование выполняется при		любых коэффициентах 0,j

мещения, определяемые функциями Zj , получались бы однозначно з а висящими от смещений узлов. Тогда два смежных элемента' будут иметь на границе одинаковые перемещения. Элементы, удовлетворяющие сфор


мулированному условию, называются	с о в м е с т н ы м и		по	пе
ремещениям (в противном случае - несовместными). На		рис.	2 .2 ,а
приведен пример совместных по перемещениям конечных		элементов,		а

на рис. 2 .2,6 - несовместных. Сплошными линиями изображены два смежных элемента в недеформированном состоянии, а штриховыми лини

ями -		в деформированном. В случае совместных элементов поля* пере
мещений лишяи линейными,				о чем свидетельствует прямолинейность
Линейно		-----------			~сторон деформированных эле-
				"71	ментов, а в случае несовмест-
				? I	ных элементов		-.нелинейными.
				1		В идеале	элементы долж
				а в	ны быть совместными не толь
		Рис. 2 .2			ко по перемещениям, но и по
					деформациям и напряжениям,
					но добиться этого значитель
но сложнее.
	Коэффициенты CLj ,		фигурирующие		в соотношениях		(2 .6 ) и игра
ющие	вспомогательную роль,			выражены через		компоненты вектора Aj
Для	этого используются		граничные условия			элемента	в форме

zj ^

где

V ь

W	zip		V
			\		V r V		(2 . 8)
			\		V r V
			*
	Ф	- f ( x . н .,2		.) “	получается	подстановкой координат
.	У	^	У J	У	t -го узла		в матрицу базисных
					функций.

L ^njjJ		,		м а т р и ц е й	Г р а
Числовая матрица		называется
н н и н ы х	у с л о в и й		элемента.
Решив уравнение		(2 .8 ) относительно CL , получаем
		Oj .	ф Д . ,		(2 .9 )

после чего (2 .6 ) с учетом (2 .9 ) дает выражение функций перемеще

ний Zj через базисные функции и гсктор смещений узлов:

									(2 Л 0 ;
	Попутно можно получить и формулу						для	определения функций фор
мы по выбранным			базисным функциям,			Сравнивая (2 .4) и			(2 .1 0 ), имеем
				г		$		ф Г	(2 .I I )
				г		$		ф Г
	Долее	определяем деформации:
	л	t	~ ^ £,-i ^ ” Ae-j ^			~		*	( 2 . 12)
где	л	t	~ ^ £,-i ^ ” Ae-j ^			~		*
где	Cj - Af jTj -		матрица	производных базисных функций.
	Если обозначить
									(2.1Й
то
				V	' i V				(2 Л 4)
				V	' i V			Bj - это матрица дефор
откуда становится понятным физический смысл								Bj - это матрица дефор
маций от единичных смещений узлов элемента								(по компонентам		),
то	есть			.	.	А
деформации,				f y - 'V j t y					(2.15)
деформации,		соответствующие фикциям формы.
	Подставив		(2 .14) в	(2 .3 ),	получаем		выражение для ПЭУД элемен
та	в								(2 .16,
	Сопоставление двух			вариантов		записи ПЭУД - (2 .2 )			и (2.16)	поэ

вол нет вывести формулу для вычисления матрицы жесткости конечного элемента:

(2.17)

структура которой полностью совпадает с ( .40), или более подробно:

										(2 .16)
Последнее выражение отличается большей наглядностью, так как
из него видно, что для				получения матрицы жесткости КЭ нужно сформи
ровать три матрицы		-	Dj	, 6j	и 3^ ,	над которыми затем			выполняется
ряд формальных математических					операций.
Отметим,,	что обобщенные				силы $j	,	использованные		при	записи
1ЭУД в форме	(2 .1 ),	в	конечном счете			не	требуются для		построения
матрицы жесткости элемента. 3 формулы (2.17)								и (2 .16)	не	вошли так
же в явном виде и функции формы (pj ,						однако,		если бы.они		были каким-
либо образом найдены,			то, учитывая соотношение (2 .1 3 ),						матрицу жест-

					(2 .1 9 )
	При решении конкретных задач смысл компонентов			векторов Aj и
£j	, а также матрицы Dj и матричного дифференциального				оператора
Ag j	может	быть иным, чем для	континуума. Например,	в Aj	могут
входить не		только линейные, но	и угловые перемещения	в узлах (для

стержней, пластин, оболочек), при этом в качестве "деформаций" бу

дут выступать, в частности, кривизны.
В любом случае структура матриц Dj	, £ j определяется анализом
выражения потенциальной энергии упругой	деформации элемента рас

сматриваемого типа, а структура матрицы Hj зависит от степеней сво

боды	узлов ( входящие в	функции совпадают по смыслу с компонен
тами	перемещений узлов элемента).
	Общий алгоритм получения матрицы жесткости конечного элемента
энергетическим способом:
	I . Выбирается система	координат; осуществляется нумерация у з

лов элементов. При этом нужно иметь в виду, что число узлов, зада ющих геометрию элемента, может не совпадать с числом узлов, переме щения которых однозначно определяют поля перемещений в объеме эле

мента.
2 . Формируется вектор перемещений узлов
3 . Устанавливается структура матрицы перемещений Zj		- в нее
включаются функции перемещений,	одноименных компонентам	вектора Aj.
4 . Анализируется выражение	потенциальной энергии упругой д е


формации элемента, в результате чего определяется структура									матри
цы закона Гука D; и выявляются величины, играющие роль "деформа
ций"		£j .
		5 . Определяется вид матричного дифференциального						оператора
A ^ j-матрицы				преобразовалия	типа соотношений Коши,			связывающего
деформации £j				с перемещениями	2 j
Zj		6. Подбираются аппроксимирующие выражения функций перемещений
Zj	,	удовлетворяющие изложенным выше требованиям и рекомендациям.
Формируется матрица базисных функций jj
		7. Составляется матрица граничных условий элемента							путем
подстановки координат узлов в					выражения	базисных функций.
		Ь.	Вычисляется матрица производных			базисных	функций 6j
		9 .	Выполняется последовательность			операций	над матрицами 5j
Dj	и	Ф\|	, дающая искомую матрицу жесткости. Kj

Как	вариант	энергетического способа может рассматриваться
получение матрицы жесткости с использованием теоремы Лагранжа,
согласно	которой	ЗЦ .(й-)

( 2 . 20)

Найденные таким

8*j

образом выражения обобщенных узловых усилий

виде

линейных

комбинаций компонентов перемещений, узлов позволя

ют вычислить компоненты матрицы жесткости. Для этого в векторе

Щ ) последовательно

задаются единичные значения компонентов Aj прь

нулевых

остальных.

Этот вариант

менее

алгоритмичен

и более трудоемок, чем изло

женный ранее подход, который обладает необходимой для решения

практических

задач

универсальностью.

2 .1 .2 . Применение энергетического способа для получения

матриц жесткости некоторых типов конечных элементов

6 этом

параграфе

для сокращения записи формул опущен индекс

, обозначающий

номер

элемента.

А. Прямолинейный стержневой элемент

Рассматривается элемент пространственной стержневой системы,

изображенный на

рис.

2 .3 . Сечение элемента постоянное, характери

зуемое

жесткостями при

изгибе Е1у и EIZ,

при растяжении (сжатии) ЕА и при круче

: В

У <

%г

нии G It

Стесненность

кручения

и свя

занные

этим

иэгибно-крутильные

дефор

- 2

мации,

также

влияние

сдвига при попе

щ /

* *

речном изгибе не учитываются. Заметим,

4Ь2\

что учет

этих

факторов

приводит

к более

8 “

сложным выражениям компонентев матрицы

- Г

жесткости, но не изменяет хода решения

Рис.

2 .3

задачи.

Предполагается, что концы стержня

прикрепляются к узлам системы жестко.

При построении матрицы жесткости будем следовать алгоритму,

изложенному

в предыдущем

параграфе.

I .

Число узлов

элемент.1

П. = Я,

они совпадают с концими стерж

ня. Задание координат этих двух узло'- и глобальной системе полно

стью определяет

положение

оси элемента в ансамбле

КЭ. Локальные

ecu координат выбраны так, что их начало совмещено с центром тя?

жести		концевого сечения в узле 1 ,	ось £	направлена вдоль оси стер
жня	в	недеформированном состоянии,	а оси у и 2		параллельны глав
ный	центральным осям поперечных сечений			стержня	(рис. 2 .3 ).

2 . При отсутствии внеузловых нагрузок смещения концевых сече* ннй стержня полностью определяют деформированное состояние. Поэто му вектор Д формируем из линейных и угловых перемещений двух узлов

(на рис. 2 .3		компоненты перемещений узлов		изображены в виде векто»
ров,	причем углы поворота обозначены двойными стрелками;				показан
ные на схеме		перемещения считаются положительными):			(2 .21)
	■	Р	ЗЧ 9Х,-9е, Мвм !и! ^2 Ч	0х2 0<\|2 0z2:]Т

	3. Поскольку в узлах определяется по 6 компонентов перемеще
ние,	в вектор 1L включаем 6 соответствующих функций;
		[и(£)	1Г{£) ЦГ(Ж) 0Х(£) 9у(х)	0г(х )]Т,	(2*22)

^чем 0y(i)=w '(l); 0y^c)=»ir'Cac) (здесь и далее штрихом обозначается дифференцирование по координате х ).

4 . Записываем выражение ПЭУД элемента с учетом изгиба в двух главных плоскостях, растяжения (сжатия) и кручения:

U ^ |{ E Ia[ur\x)]2+ Е12[\гп(х)]2+ EA[U,'(X)]z+ 6It [0^(x)]2}dec. (2-2?>

Перепишем (2.23) в матричной форме:

						Е	у	О	Wtt£)	(2.24)
						О	EIг О		V\x)	(2.24)
= ^ \|\|[ и г и(£) tr"(x) u!(x) %&)]•						О	EIг О		V\x)	}d £ ,
							О ЕА О		и’(ж)
						0	Оu ОGI- - 4.J
откуда находим матрицу закона Гука для стержневого элемента
		EI	О	О а
	Р =	(Г	Е1г	О О						(2.25)
	Р =	О	О	ЕА	О					(2.25)
		О	U	0	GIj
и вектор величин	играющих роль				"деформаций" в рассматриваемой
задаче?
e - [ V lf c )			Г(х)	Ш		0£(х)]Т				(2,26)
Компонентами £ являются кривизны оси								стержня иг"(х) и tf"(x) б
двух плоскостях	иагиба,	относительная продольнап деформация ц'(х) р

и погонный (относительный)			угол		закручивания			0х(х)
5 . Матричный дифференциальный				оператор			Ае ,	связывающий век*
торы Е и Z соотношением С = АЬН				,	имеет следующий вид:
■	0	0	38/3х*		0	0	0 "
	0	бУЗхг	о		о	0	G	(2.26)
б/йх		0	о		о	0	0 .
_	0	о	0		0/бх	0	0_

смотрим дифференциальные уравнения задачи в перемещениях» которым должны удовлетворять приближенные выражения Ъ . При расчете по нвдеформированному состоянию пространственный изгиб с растяжением (сжатием) и кручением описываются четырьмя независимыми дифферент Циалькыми уравнениями, однородными при отсутствии вкеузловых наг*

PyaoI{5	4*wW - 0 ;	d4trCc)	=.0 ;	dau.(x)	- 0 ;	d20x&)	■0» (2	.27)
	dx4	ds*	—v’	dx2	~u'	dx2^
Точными решениями первых двух уравнений являются полиномы
третьей	степени, а двух последних			- линейные функции. Общее				число

Коэффициентов в двух кубических полиномах и двух линейных зависи мостях равно 12. Суммарное количество кинематических граничных ус ловий, записываемых через компоненты перемещений узлов, также равно 12 (для точного решения такое совпадение является естественным).

Отметим,	что рассматриваемая задача относится к достаточно редким
случаям, когда возможно такое решение.
Обозначая коэффициенты в выражениях перемещений как			CLt , GLg »
. . . , 'й 12 и учитывая,		что Чу(х) и 8z(x) являются производными	откГ(х) и
1Г(Х) * представим вектор Е в виде
	"о.(эс)
	v(x)	aj+a'x+ttjX^+dgX 3
	чг(х)	a 7+ a ^ + a gx* + ty t3	(2.28)
2	= 9х(х)	V V
2	= 9х(х)
	У *	ae-2x - а 10-3х*
	У *	V . .
	0г (х)	a4+ a5-2x + a6-3x2

или, выделяя матрицу базисных функций:

2 = f a = •о(J

0 _0

X	0	0	О О О			о	о	о	0	0
о 1 X х 1 х3 0						О О О 0 0
0	0	0	0 0		I X х 1 х 5 0					0
0	0	О 0.		0	0 0 0			0	I X
0	'о	0	о.	0	.0	I	2Х Зх4 0			0
0	0	I	2X	ЗХ*0		0	0	0	0	о .
0	0	I								А 1

а1

ч(2.29)

*•

•

•_ а *

7. Формируем матрицу граничных условий, последовательно под

ставляя в матрицу базисных функций f											координаты узлов				^ = 0 и
V	1:	"	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0 “

			0 0		т	0 0 0 0 0 0 0 0 0
			0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0
			0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0
%			0 0 0 0 0 0 0 -I 0 0 0 0
			0	0	0	_ 1 _	0	_ 0 _	0	._ 0 _ 0 ._ 0 _			0	_ 0 _ 4	(2 .30)
ф .			I 1 0 •0 0 0 0 " о								0 0 0 0
2j			0 0		I	г 12 I3 0 0 0 0 0 0

			0 0		0 0 0 0 I 1 I2 I3 0 0
			0 0		0 0 0 0 0 0 0 0 I 1
			0	0	0	0	0	0	0	•-I	■-21 -312 0			0
		_0		0	0	I	21	31? 0		0	0	0	0	0 _
	8 . Находим матрицу					производных				базисных			функций:
		"0		0	0	0	0	0	0	0	2	6	0	0
	6 = и£		0 0 0 0 2 6 0 0 0 0										п	0
		0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0													(2 .3 1 )
		_0 с 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 _
	S. Вычисляем матрицу жесткости									по формуле				(2 .IQ ).	Сначала на

ходим подынтегральное матричное выражение, а затем выполняем его

поэлементное интегрирование, заменяя			d.V на dx
“ 0	0	0	0 "
0	0	ЕА	0
0	0	0	0
0	0	0	0	1
0	2EL,	0	0
0	5EIzx	0	0	•6 d x =
0	0	0	0
0	0	0	0
2EI	и	0	0
6EI х	0	0	0
0м	0	0	0
0	0	0	8It J

~V'“

6TD

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202317.13 Mб8Метан в водных экосистемах..pdf
#
12.11.20237.82 Mб14Метанол как топливо для транспортных двигателей..pdf
#
12.11.20231.21 Mб6Метод графов в размерном анализе технологических процессов..pdf
#
12.11.20236.89 Mб6Метод конечных элементов в динамике сооружений..pdf
#
12.11.202311.04 Mб4Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов..pdf
#
12.11.20236.55 Mб2Метод конечных элементов в расчетах сложных строительных конструкций..pdf
#
12.11.202312.44 Mб3Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред..pdf
#
12.11.202314.55 Mб4Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков..pdf
#
12.11.2023877.09 Кб17Метод конечных элементов для решения электротехнических задач..pdf
#
12.11.202318.69 Mб7Метод конечных элементов. Основы.pdf
#
12.11.20238.24 Mб4Метод конечных элементов..pdf