книги / Переходные процессы в транзисторе и методы расчета импульсных схем

1. Функция <р(t) не меняет знака при г > 0 , для определенности

положим q>(7)^0.

2. Интегралы вида j* th(p(t)dt, k=0, 1, 2... существуют.

о

3. Функция ф(t) удовлетворяет условиям применения опера­

ционного исчисления Для площади, ограниченной рассматриваемой функцией и осью

времени, примем обозначение

М0= 1.

Особое значение имеет первый момент, для которого будет упо­

Будем называть величину тц первым интегральным параметром сигнала.

Начальные моменты могут быть вычислены непосредственно по изображению функции ф(t) с помощью соотношения

11

Широкое применение находит второй центральный момент, ко­ торому сопоставляется второй интегральный параметр сигнала тд:

Если изображение функции представляет собой дробно-рацио­ нальную функцию вида

апрп + ап—1 рп *+•■•+ а1 Р + 1

то интегральные параметры могут быть вычислены по формулам:

С помощью моментов можно описывать свойства линейной си­ стемы, если ее импульсная характеристика g(t) (реакция на дель­

та-функцию) удовлетворяет условиям для функций класса <р(7). В этом случае имеют место соотношения:

О

(1.26)

Ч

(1.27)

0

Здесь Ко — статический коэффициент передачи системы.

Моменты системы могут быть вычислены по известному коэф­ фициенту передачи К(р):

(1.28)

До р-+0 dp*

Если изображение функции <р(7) может быть представлено в виде произведения

то моменты этой функции могут быть вычислены по формуле

12

Первыйинтегральный параметр по отношению клинейной си­ стеме можнотрактовать как среднюю задержку сигнала. Пусть, например, сигналы в системе представляются токами. Предполо­ жим, что входной сигнал имеет форму дельта-функции im =Qo6(t)-

Это значит, что на вход системы в начальный момент мгновенно подай заряд Q0. Выходной ток будет определен функцией Qog(0-

В этом случае соотношение

выражает среднюю задержку, вычисленную для элементарных за­ рядов, которые появляются на выходе системы через различные промежутки времени. Величина же

0 О

определяет разброс задержек для элементарных зарядов.

§ 1.3. Применение интегральных параметров для описания сигналов различных классов и их графическая трактовка

Кроме сигналов, описываемых функциями q>(t), которые мы бу­

дем относить к сигналам первого класса, в импульсной технике встречаются сигналы, которые представляют собой интегралы от указанных функций.

Отнесем ко второму классу сигналы, определяемые выраже­

13

P

При этом, очевидно, выполняются соотношения

TJ(0) = О

lim -ф(0 = А

*-►00

Следовательно, функция ф(/) является монотонной ограничен­ ной. К этому классу функций часто можно отнести переходные ха­ рактеристики апериодических линейных систем h(t). Впервые мо­

менты были использованы для описания сигналов этого класса Элмором.

Первый интегральный параметр сигнала может быть просто связан с определенной площадью на графике функции ty(t).

Действительно, интеграл

о

представляет площадь, показанную штриховкой на рис. 1.26. Его значение может быть найдено с помощью предельного соотноше­ ния

Это выражение дает неопределенность. Раскрывая ее по пра­ вилу Лашггаля и учитывая (1.40), получаем

С помощью соотношения (1.17) получим окончательно

В частности, если рассматриваемая функция представляет со­ бой переходную характеристику системы, то легко получить фор­ мулы:

Соответствующая площадь на переходной характеристике тран­ зистора использована Б. Н. Файзулаевым [7] для определения ин­ тегрального параметра транзистора.

Формулы для вычисления интегральных параметров линейных систем сведены в табл. 1.2.

и

Т а б л и ц а 1.2

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Определение интегрального параметра линейной системы с помощью)

0

2 Ь2 — 2а^ -ф

При прохождении сигнала через линейную систему он искажа­ ется и его интегральные параметры -изменяются. Для наглядного представления этих изменений также можно использовать указан­ ные выше площади на графиках сигналов.

Для того чтобы количественно оценить искажения монотонного сигнала линейной системой, обладающей монотонной переходной характеристикой и коэффициентом передачи К(р), рассмотрим

разность введенных площадей для входных сигналов реальной си­ стемы и идеальной безынерционной системы с коэффициентом пе­ редачи /СоЭта разность может быть выражена интегралом.

Используя соотношение уРъых.(р)=К(р)хРах(р), преобразуем по­

15

Если сигналы представляют собой токи и входной сигнал стре­ мится к значению £0, то величина 5 0 имеет размерность заряда Q. Изменение этой величины при прохождении сигнала через линей­ ную систему с интегральным параметром тцс определяется форму­ лой.

A Q = / V o V

График рис. 1.3 иллюстрирует процессы в системе для этого

случая.

Наша инерционная система «недодает» в выходной цепи ток, который характеризуется указанным зарядом, если ток 'возрастает от нуля до установившегося значе­ ния. Если ток уменьшает­ ся от установившегося значения до нуля, то вы­ ходной ток инерционной системы больше, чем бе­ зынерционной, и, значит, инерционная система вы­ даст в выходную цепь до­ полнительный заряд той же величины.

Это явление можно трактовать следующим образом. Каждому установившемуся состоянию системы соответствует определенный уровень анергии, накопленной в системе. Во время переходного процесса -происходит .изменение этой энергии, .которое сказывается на .выходном токе.

Если система находилась в установившемся режиме и на ее вход до момента <t=0 действовал ток i0, то после прекращения это­

го тока рассматриваемая система выдаст в выходную цепь заряд, также определяемый ур-нием (1.50). В рассматриваемой системе была накоплена энергия, и после прекращения входного тока вы­ ходной поддерживается за счет внутренних запасов энергии си­ стемы.

16

■Функция X(t) монотонно возрастает и имеет асимптоту. Дейст­

неопределенность, получим 6 = lim Ф'(р).

р -0

Учитывая (1.17)., приходим к простому выражению 6 = —Лтц. Таким образом, для асимптоты получим окончательно

т„). (1.53)

С помощью функций класса х (0 часто можно представить при­

ближенные выражения переходных характеристик линейных си­ стем для малых времен.

Площадь Si на графике функции х(0 связана со вторым ин­

тегральным параметром. Действительно, указанная площадь мо­ жет быть выражена интегралом

Учитывая, что y(t)a(t—тц) = — е-рЧ значение .рассматривае-

Р®

мой площади может быть найдено из следующего предельного опе­ рационного соотношения:

8, = П т \± Ф (р )— ± е - рт'] .

Если сигнал хвх(7) подается на вход линейной системы с интег­ ральными параметрами тцс и тдс, то искажения сигнала можно оце­ нить, сравнив функции /(охвх(0 и хВы С оотв етствую щ и е графи- 'ки приведены на рис. 1.4.

Асимптоты для указанных кривых имеют одинаковый наклон, так как выполняется соотношение A = lim/<ox'x (О-

Сдвиг асимптот определяется соответствующими значениями лервых интегральных параметров. Легко видеть, что для доста-

17

точно больших времен дейст­ вие линейной системы сводит­ ся к задержке сигнала на ве­ личину Тцс-

Таким образом, интеграль­ ные параметры или моменты могут попользоваться для опи­ сания не только сигналов пер­ вого класса, представленных функциями вида <р(0, но в сигналов, представленных ин­ тегралами от этих функций.

Для -вычисления моментов по заданной функции ф(/) или %(/) нужно использовать их соответствующую производную. Необходи­ мые для вычислений формулы сведены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ФУНКЦИЙ РАЗЛИЧНЫХ КЛАССОВ

Асимптота.

§1.4. Приближенное представление сигналов с помощью моментов

Вопределенных условиях моменты могут быть использованы для полученияприближенного выражения сигнала. Этот способ основывается на использовании рядов производных дельта-функ-

1в

дий, являющихся частным случаем обобщенных функций [9, 10]. Рассмотрим интеграл

(1.56)

Здесь б(п)(0 — обобщенная функция, представляющая п-ю про­

изводную дельта-функции. Интервал интегрирования взят —0, оо

всвязи с тем, что наши обобщенные функции имеют особенность

вточке *=0.

Этот интеграл может быть вычислен на основании известного

.свойства производных дельта-функций

Применяя это свойство к выражению (1.56), получим

Этот же результат можно получить с помощью изображений рассматриваемых функций. Действительно, б(п)(0==-Рп

ина основании формулы, аналогичной (1.17),

?1йб1'11 (l)d l= (— l)ftlim ^ - p n,

р-»о dp*

получим опять соотношение (1.58).

Рассмотрим теперь функцию г\(t), которую определим с помо­

Распространим понятие момента на ряды обобщенных функций вида Из полученных соотношений видно, что начальные мо­ менты функций r\(t) непосредственно определяются ее коэффици-

19

ентамй. Это позволяет легко синтезировать функцию с заданным набором моментов.

Если определить i\(t) с помощью рядов

Перейдем к применению введенных рядов обобщенных функ­ ций. Реакция линейной системы, находящейся в нулевом началь­ ном состоянии, на сигнал <р„х(7) определяется формулой

Пусть при этом начальные моменты входного сигнала известны

иопределяются числами Ми Мъ Мз~, а его площадь равна А.

Рассмотрим соотношение

Коэффициенты ряда обобщенных функций х\(р) примем рав­

ными моментам функции <pDX(4)- Таким образом, получим

Учитывая, что изображение импульсной характеристики совпа­ дает с коэффициентом передачи, последнее выражение можно за­ писать в следующем виде:

Перейдем к оригиналам в этом соотношении. Согласно теореме дифференцирования операционного исчисления имеет место соот­ ветствие для производной .функции g(t); g'(t)==pG(p)—g(iO). Это выражение можно представить в виде p G (p)= g'(t)+ g(0)8(t).

Аналогичным образом можно получить

20