книги / Физика и гидравлика нефтяного пласта

Поэтому выражение (IV.48) будет:

&v dv

(IV.49)

* dxi — dt >

т. е. полученное дифференциальное уравнение имеет такой же вид, как и (IV.34). Граничные и начальные условия следующие: при х = О

Сравнивая дифференциальное уравнение (IV.49) и условия (IV.50) и (IV.51) с соответствующим дифференциальным урав­

(IV. 54)

В подынтегральном выражении х заменено через ы, чтобы подчеркнуть различие между обозначениями предела интеграла и аргументом.

Интеграл (IV.54) можно представить в виде безразмерной формы:

III

При JC- VOO (т. е. оо) первый член правой части выраже­ ния (IV.57) стремится к нулю, поэтому полный перепад давле­ ния будет

ПРОСТЕЙШЕЕ РЕШЕНИЕ, СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ПРИТОКУ ЖИДКОСТИ К ТОЧЕЧНОМУ СТОКУ НА ПЛАСТЕ БЕСКОНЕЧНОЙ ПРОТЯЖЕННОСТИ

Пусть на плоском пласте бесконечной протяженности имеется точечный сток.

Для этого случая дифференциальное уравнение имеет сле­ дующий вид:

• ( - & + 7 - & - H F - <IV-60>

С помощью простой подстановки можно показать, что решением

112

Подставив значение Сi из уравнения (IV.65) в (IV.63), най­ дем Сг■ Далее из (IV.61) получим распределение давления в пласте в следующем виде:

Для малых значений аргумента x = r2/(Ant) можно пользо­ ваться приближенной формулой

Для точечного стока (или источника) не существует давле­ ния на стоке (источнике). В самом деле, примем в формуле (IV.69) г = 0, получим, что —Ei(—х) равна бесконечно боль­ шой величине.

От точечного стока мы перейдем к реальной скважине весьма малого радиуса Rc и будем считать давление на этой окружно­ сти равным рс. Итак, имеем

при условии, что (У * 0 /Яс велико.

РЕШЕНИЕ, СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ПРИТОКУ ЖИДКОСТИ К ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ГАЛЕРЕЕ В ПОЛОСООБРАЗНОМ ПЛАСТЕ ОГРАНИЧЕННОЙ ПРОТЯЖЕННОСТИ

Поместим начало координат на галерее и рассмотрим две модели пласта ограниченной протяженности:

в пласт длины L отсутствует приток жидкости со стороны

на внешней границе (контуре питания) задано постоянное давление.

Пусть давление на галерее все время постоянно и равно р, начальное пластовое давление равно рк.

Начальные и граничные условия будут:

Решить первую задачу можно как классическим методом Фурье, так и операционным. Решение имеет вид (36)

где критерий Фурье Fo = xt/L2.

Для малых значений Fo (t мало) приведенная формула не­ удобна, так как ряд сходится очень медленно. Операционный метод дает возможность получить другую форму решения, при­ годную для малых значений критерия Fo:

114

Изучим характер изменения давления на непроницаемой гра­ нице пласта x = L при малых значениях Fo, т. е. в начале экс­ плуатации галереи.

На этой границе имеем

оо

При малых значениях Fo можно воспользоваться прибли­ женной формулой (IV.79), которая в данном случае при усло­ вии сохранения одного члена ряда (IV.79) имеет вид

определении изменения давления на этой границе необходимо пользоваться точной формулой (IV.77), взяв достаточно боль­ шое число членов ряда.

Расчеты показывают, что до значения Fo<0,08 а практиче­ ски мало отличается от первоначального значения а = 1. Од­ нако из этого не следует заключение о малости изменения дав­

Из уравнения (IV.85) видно, что в начальные периоды экс­ плуатации дебит не зависит от длины пласта. Действительно, преобразуем уравнение (IV.85) следующим образом:

Таким образом, приходим к очень важному выводу: когда время мало, процесс фильтрации не зависит от условий на про­ тивоположном конце пласта. Этот вывод согласуется с выводом, сделанным нами выше в отношении характера распределения давления.

Если построить кривые распределения давления для пластов конечной и бесконечной протяженности, то они должны прак­ тически совпадать при малых Fo (особенно в окрестности гале­ реи). При малых Fo мы имеем основание пользоваться для рас­ чета дебита формулой (IV.87) как более простой.

Перейдем к решению второй из рассматриваемых задач. Пусть по-прежнему давление на галерее все время постоянно и равно Рс, начальное пластовое давление равно рк.

Начальное и граничное условия в этой задаче следующие:

Решение задачи методом Фурье или операционным имеет вид

(IV.89)

116

По приближенной формуле (IV.90) для малых Fo имеем

Л= 1

т.е. текущий дебит всего на 10 % отличается от стационарного значения.

На рис. IV.5 приводится примерное распределение давления

по пласту для ряда значений Fo.

117

ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ. ТЕОРЕМА ДЮГАМЕЛЯ

До сих пор речь шла о задачах, в которых условие на гале­ рее или скважине задавалось в виде или постоянного давления или постоянного расхода. Теперь перейдем к более сложным случа­ ям, когда это условие не соблюдает­ ся. Вначале рассмотрим следующие

две простые задачи.

Пусть в течение некоторого вре­ мени t\ давление на галерее посто­ янно и равно рс,- Тогда мы можем

давления на галерее, которой сохраняется для любого t>t\. Для того чтобы получить окончательный результат, необхо­

димо подобрать решение, соответствующее новому граничному условию, а именно:

(Р . — Ре,) eric 2 у . _ tl (IV.96)

118

Кривая рис. IV.6 , б построена по формуле для момента вре­

влияние которого, очевидно, сохраняется и после того, как на галерее установилось новое давление рС2. Второе слагаемое по

своей структуре идентично первому, однако в качестве множи­ теля здесь фигурирует приращение перепада давления на гале­ рее (разность между новым и старым его значениями). По ана­ логичной методике можно рассчитать любые случаи ступенча­ того изменения давления на галерее, причем с каждым новым значением перепада (ступени) число членов ряда растет на еди­ ницу. Для i-й ступени имеем член ряда в виде

(IV.99)

Аналогичным способом решается задача для случая стока (источника).

Рассмотрим линейный сток. Пусть при t <. U дебит стока был Qi, тогда давление будет

119

Очевидно, формулой (IV. 102) нельзя пользоваться при t7 близком к ti (тем более при f = /i), так как условие малости

аргумента ——— -----— при этом не соблюдается. 4х(< — U)

При многоступенчатом изменении Q задача решается таким же способом, как и рассмотренная выше.

Использование описанного выше расчетного приема неудобно в тех случаях, когда число ступеней изменения давления или расхода велико.

Для решения задач с многоступенчатым изменением входных параметров или при непрерывном изменении их применяют тео­

ления на галерее изменяется по некоторому закону f(t). Разо­ бьем кривую на ряд малых интервалов времени At и предста­ вим его в виде большого числа ступеней (рис. IV.7).

Первый член обусловлен действием постоянного перепада давления f( 0 ), он аналогичен первому слагаемому уравнения (IV.97). Второй член соответствует изменению перепада Н О ) X XAf (первая ступень) и вполне аналогичен второму слагаемому этого же уравнения.

На второй ступени (А^+ А^+ 0 ) действие постоянного пере­ пада давления сохраняется, но аргумент единичной функции уже вдвое больше, он равен cp(2A£)- Продолжительность пере­

120