книги / Физика и гидравлика нефтяного пласта

Для этой же окрестности

Учитывая эти равенства, из VI.9 получим

Обычно капиллярную кривую J(s) аппроксимируют таким обра­

ком к нулю, и малом изменении его происходит существенное изменение х — хо• Это обусловлено неточностью в определении показателей р и п вблизи sc. В ряде случаев возможны большие ошибки в расчете распределения насыщенности при неточном определении входных параметров /с, /н с и / (s).

Естественно, что аналогичные замечания приемлемы и для полимерного заводнения. Здесь также возникают дополнитель­ ные трудности, вызванные тем, что при фильтрации полимерных растворов через пористую среду она снижает свою пропускную способность для полимерного раствора в большей степени, чем происходит возрастание вязкости его по сравнению с водой. Ука­ занное явление оценивается с помощью фактора сопротивления R, представляющего собой отношение подвижности воды к по­ движности полимерного раствора. Пренебрежение изменением величины R полимерного раствора от скорости фильтрации v

обходимо выяснить следующие вопросы: в какой мере право­ мерны предпосылки, основанные на равновесной адсорбции; насколько целесообразна модель, учитывающая неравновесность процесса адсорбции; оправдано ли усложнение модели за счет учета неравновесности; к каким ошибкам может привести линейная аппроксимация функции, учитывающей двухфазность процесса при расчетах адсорбционных потерь.

171

ГЛАВА VII

ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗИРОВАННОЙ НЕФТИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕЖИМА РАСТВОРЕННОГО ГАЗА

Впроцессе фильтрации нефти, газа и воды в пласте возни­ кают явления, сопровождающиеся фазовыми превращениями, изменением физических свойств флюидов. Учет всех этих фак­ торов представляет собой весьма сложную задачу.

Большим шагом явилась предложенная М. Маскетом [38] модель течения, позволившая достаточно удовлетворительно ре­ шать ряд инженерных задач разработки нефтяных месторож­ дений.

Воснову этой модели было положено предположение, что углеводородная система состоит из двух компонентов: тяжелой фракции нефти и газа.

Вработе [75] показано, что уравнения фильтрации газиро­ ванной жидкости Маскета можно получить из уравнений много­ фазной и многокомпонентной фильтрации. Действительно, если,

согласно [75], принять число компонентов равным двум (нефть и газ) и не учитывать наличие нефти в газовой фазе, то из об­ щих уравнений путем простых преобразований получаются урав­ нения Маскета, которые являются частным случаем общих урав­ нений фильтрации многофазной и многокомпонентной системы.

Приведем более наглядный вывод уравнений Маскета.

Если sH— насыщенность пористой среды нефтью; т — порис­ тость; рно — плотность нефти в нормальных условиях; рн— объ­ емный коэффициент нефти, то массовое содержание нефти в еди­ нице объема будет

(VII. 1)

где рно/Рн — согласно определению величины р есть плотность нефти в пластовых условиях.

Определим растворимость газа s в нефти как отношение объ­ ема растворенного в ней газа УГо при нормальных атмосферных условиях к объему нефти VB0 при тех же условиях:

(VII.2)

Умножая величину Уго на плотность газа при нормальных условиях, определим массу растворенного в нефти газа:

172

Массовое содержание газа в единице объема будет

учесть, что нефть движется только в жидком состоянии, а газ — как в газообразном, так и в жидком.

Выделим из общей массы элементарный параллелепипед и составим уравнение неразрывности, приняв декартовую систему координат. По оси х разность массовых расходов нефти через

Аналогичным образом получим выражения по осям у и г :

Приравняв сумму (VII.7), (VII.8) и (VI 1.9) к изменению во времени массы нефти и учитывая, что рн = Рно/Рн, получим урав­ нение неразрывности для нефти:

При составлении уравнения для газа необходимо учесть, что газ движется как в газообразном, так и в жидком состоянии.

173

Массовый расход чисто газового потока через единичную пло­ щадь, перпендикулярную к оси, равен

др_ г дх '

Поток же газа в жидком виде зависит от объемного расхода нефти

k t др

р7 ' н дх •

в единице объема которого содержится растворенный газ в ко­ личестве

Переходя к составлению уравнения неразрывности для газа по схеме, в точности совпадающей с схемой вывода для нефти, получим

(VII. 12)

В векторной записи уравнения для обоих компонентов имеют вид:

(V4.13)

d№К^+иЗг) " } = - Т - ж { ^ + -ТГ^)•

(VII. 14)

К этим двум уравнениям необходимо присоединить уравне­ ние для воды

174

Кроме этих трех уравнений имеем очевидное условие

Фазовые проницаемости /н, /г и fBможно определить из трой­ ных диаграмм, а при отсутствии подвижной воды — по кривым фазовых проницаемостей.

Как следует из приведенного вывода, Маскет пренебрегает различием давлений в нефти и газе.

Этот факт можно учесть при помощи соотношения Леверетта (см. главу II). Однако даже и без поправки на различие давле­ ний уравнения Маскета очень сложны и требуют для своего ре­ шения использование ЭВМ.

ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ИСТОЩЕНИЯ ЗАЛЕЖИ ПРИ РЕЖИМЕ РАСТВОРЕННОГО ГАЗА

Трудности, связанные с решением уравнений Маскета, вы­ нуждают искать приближенные методы решения задач о филь­ трации газированной жидкости.

Среди многочисленных приближенных способов решения проблемы движения газированной жидкости рассмотрим метод, основанный на материальном балансе, полученном в результате преобразования уравнений Маскета.

Рассмотрим простейший случай круговой залежи, не имею­ щей внешнего источника питания («запечатанная» залежь). В такой залежи при условии, что начальное пластовое давле­ ние равно давлению насыщения, с самого начала должен раз­ виться режим растворенного газа. Из условия радиальной сим­ метрии можно получить следующие модификации уравнения Маскета для этого случая:

175

На границе залежи г = RKдолжно быть др/дг = 0. Учитывая это, получим из (VII.18) и (VII.19) условия на границе

Все величины здесь соответствуют их значениям на границе пласта RK■Далее представим правые части уравнений так:

(VII.21)

где штрих — дифференцирование по р.

Разрешая это уравнение относительно ds!t/dp, имеем

^ *(«£-+■)

(VII.23)

где

Уравнение (VII.23) устанавливает в дифференциальной форме зависимость между давлением и насыщенностью на кон­ туре круговой залежи. Это уравнение в общем виде не интегри­ руется в квадратурах. Однако с помощью ЭВМ можно разре­ шить уравнение (VI 1.23) для всех случаев, представляющих практический интерес.

Существует ряд приближенных способов решения уравнения (VI 1.23), подробно описанных в монографиях [38, 13, 60].

176

Рассмотренный нами пример круговой залежи представляет большой практический интерес, так как к этой задаче при опре­ деленной схематизации процесса фильтрации можно свести мно­ гие практические важные случаи. Эти случаи объединяются сле­ дующими условиями: залежь должна быть «запечатана» или по крайней мере проводимость внешней приконтурной области за­ лежи настолько мала, что можно пренебречь ее влиянием; сква­ жины вводятся в эксплуатацию практически одновременно и притом по равномерной сетке. Если приближенно соблюдаются указанные условия, то работу каждой скважины можно рассмат­ ривать независимо от работы других.

Область дренирования каждой скважины для схемы, пока­ занной на рис. VII.1, определяется площадью квадрата, сторона которого равна расстоянию между скважинами. Исследования показывают, что форма области дрени­

ласть круговой с эквивалентной пло­ щадью. Для расчета истощения этой области можно использовать формулу (VII.23).

Допустим, найдено одним из изве­ стных способов [38] решение уравне­ ния (VII.23)

сматриваемой области дренирования, приближенно равное контурному рк [65].

Перейдем от величины нефтенасыщенности к нефтеотдаче TJ по следующей очевидной формуле:

и объемный коэффициент. При отсутствии связанной воды sH0 =

=1 .

Заменяя в (VII.25) sHчерез т), получим

Под газовым фактором Г будем понимать отношение объ­ емного расхода газа, приведенного к атмосферному давлению, к объемному расходу нефти.

В условиях рассматриваемой задачи

Первый член числителя представляет объемный расход сво­ бодного газа, второй — растворенного газа, приведенные к нор­ мальным условиям; знаменатель— расход нефти.

Из (VI 1.28) следует

Для определения газового фактора на контуре пласта необ­

газа. Для замыкания системы необходимо задаться видом урав­ нения, устанавливающим зависимость между дебитом и пере­ падом давления (депрессией). Под перепадом давления обычно понимается разность между давлениями на контуре питания

ив скважине.

Вряду приближенных зависимостей для определения де­ бита, на наш взгляд, наиболее простым и приемлемым для прак­

тических целей является уравнение вида [38]

где qE— дебит в объемных единицах, приведенный к нормаль­ ным условиям.

Согласно этой зависимости, снижение дебита обусловлено уменьшением множителей fH и рк— рс, первого — за счет выра­ стания газосодержания 1 — sH, и второго — за счет уменьшения рк при постоянном забойном давлении. Ясно, что за счет соот­ ветствующего снижения рс можно несколько ослабить темп

178

уменьшения дебита скважин, а в отдельных случаях, на какомто этапе разработки, приостановить *.

Далее имеем

(Vii.31)

где QH— объем накопленной добычи нефти в нормальных усло­ виях, а

(VII.32)

ь - ш

Вопрос о выборе величин рн и рн требует специального ис­ следования. Некоторые исследователи считают возможным опре­ делять эти параметры по среднему значению пластового (пере­ менного) давления р; при этом р можно считать средним ариф­ метическим или средним логарифмическим. Возможно, что более правильным является путь, избранный Маскетом [38].

Будем считать в соответствии с [38] весь множитель, стоя­ щий перед величиной депрессии в уравнении (VII.31), функцией насыщенности sH:

А поскольку sн в свою очередь, согласно (VII.25), является функцией пластового (контурного) давления р = рк, то дебит скважины имеет сложную зависимость от этого давления:

Яп = ^ Г = С ( РкП Р к -Р с)

рассуждений.

где ф'0(рк) — функция, обратная ФДт)), а рко — пластовое дав­

ление в начальный момент времени.

Зная вид кривой рк = ФДл) или Л = ЧГ'0(рк) (см. кривую 7

на рис. VII.2), не представит труда вычислить величину инте­ грала в (VII.36) и установить тем самым динамику давления рк(0 - Далее, обращаясь к третьему уравнению (VII.36) системы, определим динамику qn{t) и QH(t), а затем из второго уравне­ ния найдем Ti{t). Как видим, метод дает возможность опреде­ лить динамику показателей разработки при любом виде измене­ ния забойного давления.

Все эти вычисления, естественно, следует проводить прибли­ женным (графическим или численным) способом.

При заданном дебите скважины процедура вычисления проще. Из второго и третьего уравнений системы (VII.35) имеем

t

ч = - Ц г - \ я * ^ .

о

Далее по известному значению л(^) находим из первого урав­ нения системы (VII.35) динамику pK{t).

Более реалистичным, по-видимому, является случай, когда в течение некоторого времени t* дебит скважины постоянен. Да­

пластовое давление, соответствующее моменту t*.

В этом более сложном случае задача решается следующим образом. Из уравнения (VII.37) определяем пластовое давление

о

определяем искомое значение t*.

Начиная с этого момента, расчет ведем по схеме заданного забойного давления р*., описанной в первом примере.

180