книги / Физика и гидравлика нефтяного пласта

обеспечивают требуемой точности (отклонение до 25 % по срав­ нению с экспериментальными данными). Поэтому указанными методиками следует пользоваться при отсутствии соответствую­ щего экспериментального материала.

ДИНАМИЧЕСКИЕ (РЕОЛОГИЧЕСКИЕ) ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛАСТОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ

Для так называемой ньютоновской жидкости единственным параметром, характеризующим течение, является ее вязкость —

Таблица II.5

Значение коэффициента Р

е0,16 0,80 2,0 3,0

Максимальное зна­

без этого непонятна была бы природа проницаемости горных пород.

Формуле (11.18) можно придать другой вид (рис. 11.3):

т. е. у ньютоновских жидкостей скорость сдвига у пропорцио­ нальна касательному напряжению и обратно пропорциональна вязкости.

Зависимость между т и у, очевидно, является прямой ли­ нией, проходящей через начало координат (см. рис. П.З).

31

Для случая параллельного движения пластинки относительно другой, отстоящей от нее на расстоянии Н, формула (11.38) примет вид

тона, называются аномальными, или неньютоновскими, жидко­ стями.

Многие нефти, высокомолекулярные соединения и поли­ меры ', как естественные, так и искусственные, являются ано­ мальными жидкостями. Отметим, что «полимерное» заводнение постепенно начинает находить применение в практике. По ука­ занным выше причинам изучение свойств неньютоновских жид­ костей представляет большой интерес для разработки нефтяных месторождений.

Весь многочисленный класс аномальных жидкостей можно разбить на три группы.

A. Относительно простые системы, для которых реологиче­

ская кривая т = /(у) неизменна во времени (стационарно рео­ логические жидкости).

Б. Более сложные системы, реологические характеристики которых зависят от времени (нестационарно реологические жидкости).

B. Вязкоупругие жидкости, т. е. такие системы, которые в зависимости от условий проявляют себя и как твердые тела, как жидкости и частично проявляют упругое восстановление первоначальной формы после снятия напряжения.

А. Стационарно реологические жидкости

На рис. 11.4 приводятся три зависимости т = /(у) 2, 3 и 4, относящиеся к первой группе. На этом же рисунке прямая 1 характеризует ньютоновскую жидкость. Рассмотрим подробно каждую из них. Прямая 3, пересекающая ось напряжения сдвига в некоторой точке то, характеризует бингамовское пла­ стическое тело. Уравнение этой линии

где то — предельное максимальное напряжение, начиная с ко­ торого возникает вязкое течение (предельное напряжение сдвига); Цп*— пластическая или структурная вязкость. Таким образом, бингамовское пластичное тело характеризуется уже двумя параметрами то и рп. Это тело можно представить в виде достаточно жесткой структуры, сопротивляющейся до тех пор, пока напряжение не превзошло некоторую критическую вели-

1 Термин «полимеры» часто применяют для обозначения всех высокомо­ лекулярных соединений.

32

чину То. При достижении величины то происходит разрушение структуры, и она ведет себя как обычная ньютоновская жид­ кость с избыточным напряжением Дт = т— то.После того как Ат стало равно нулю, система вновь восстанавливает свои пер­ воначальные свойства.

Кривая 2, проходящая через начало координат и, следова­ тельно, не имеющая предела текучести, определяет так назы­ ваемое, псевдопластичное тело.

Введем понятие кажущейся вязкости рКаж в точке как отно­ шение напряжения сдвига к соответствующей скорости сдвига

(см. рис. II.4). Ясно, что с ростом у эта величина уменьшается, и только при больших значениях

где ko — постоянная величина.

Однако в этой формуле есть по крайней мере один логиче­

практике уравнение описывает поведение жидкости в ограни­ ченном диапазоне скоростей сдвига. В этих пределах вполне допустимо брать значение п постоянным.

Выражение (11.24) описывает класс кривых, обращенных выпуклостью к оси напряжения сдвига. Действительно, диф­ ференцируя (11.24), имеем уравнение

из которого следует убывание т' с возрастанием у.

Уравнение (11.24) за счет большего числа параметров, оп­ ределяющих его, удовлетворяет естественному условию на бес­

т. е. при беспредельном возрастании скорости сдвига у кажу­

вполне идентичное бингамовскому пластическому телу. Наконец, при Л = 0 (11.24) переходит в уравнение для ньютоновской жидкости. Таким образом, уравнение (11.24) описывает свой­ ства жидкостей всех трех групп.

Однако такая гибкость результата достигается за счет слож­ ности (11.24). В [74] отмечается, что преимущества зависимо­

к оси скорости сдвига. Для этой кривой также можно восполь­ зоваться степенной формулой

но с показателем степени п > 1.

В противоположность псевдопластикам у дилатантных жид­ костей возрастание кажущейся вязкости связано с ростом ско­ рости сдвига. Логическое несоответствие формулы (11.28) физи­

объясняется тем, что суспензия в состоянии покоя имеет мини­ мальный объем прослоев между твердыми частицами, который и заполнен жидкостью. Когда скорость сдвига мала, частицы практически мало раздвигаются относительно друг друга и жид­ кости вполне хватает для смазки между трущимися частицами, что и обусловливает малые напряжения трения.

34

По мере увеличения скорости происходит «раздвижка»— разбухание смеси и имеющейся жидкости уже недостаточно для обеспечения смазки между частицами — напряжение суще­ ственно растет.

Это объяснение, однако, неприемлемо для всех дилатантных жидкостей, т. е. существуют жидкости, характеризующиеся кривыми вида 4, которые, однако, не являются суспензиями.

Б. Нестационарно реологические жидкости

Перейдем теперь к аномальным жидкостям, реологические характеристики которых зависят от времени.

Такие жидкости можно разделить на две группы: тиксотропные жидкости с убывающим во времени напряже­

нием сдвига при деформации с постоянной скоростью сдвига; реопектические жидкости с возрастающим напряжением при

том же условии.

Рассмотрим каждую группу.

Пусть кольцевое пространство ротационного соосного ци­ линдрического вискозиметра заполнено тиксотропной жидко­ стью [74]. Приведем во вращение один из цилиндров с посто­ янным числом оборотов, обеспечив тем самым постоянную ско­ рость сдвига.

В результате деформации тиксотропного материала его структура будет постепенно разрушаться, при этом тем интен­ сивнее, чем больше скорость сдвига. Это скажется на умень­ шении кажущейся вязкости со временем. Одновременно должна возрастать скорость восстановления структуры за счет появле­ ния новых связей. Ниже приведем математический анализ, ста­ вящий своей целью дать чисто качественное описание происхо­ дящего процесса.

Будем считать, что скорость разрушения структуры пропор­ циональна числу связей N, существующих в данный момент времени, а скорость восстановления ее — числу потерянных свя­

где а и Р — коэффициенты пропорциональности. Интегрируя, имеем

кт ктР + аехр[-(а + Р)

При t оо выражение стремится к

Nда= N0 «+РР *

Чем больше обороты вискозиметра га, тем ниже расположена кривая; при этом поведение жидкости становится ньютонов­ ским. Однако тиксотропия является обратимым процессом, т. е. после того как снято возмущение, система постепенно возвра­ щается в свое первоначальное состояние (восстанавливается ее прежняя структура).

структуры после различных периодов стояния (чем больше пе­ риод, тем выше кривая). Указанное обусловливает образова­ ние гистерезисной петли.

Чтобы установить, является ли жидкость тиксотропной и получить ее количественные характеристики, используют рота­ ционный вискозиметр [74]. Жидкость помещается в кольцевом пространстве между двумя соосными цилиндрами, один из ко­ торых, обычно внешний, приводится во вращение, а по закру­ чиванию другого определяют закручивающее усилие. Вращение можно осуществить с различной угловой скоростью, что опре­ делит взаимосвязь между закручивающим усилием и угловой скоростью. Для жидкостей со стационарной характеристикой возможно определение по этой взаимосвязи их параметров. Для сред с нестационарной характеристикой (и, в частности, тиксо­ тропных) с вопросом определения реологических параметров дело обстоит сложнее. На описанном выше ротационном виско­

зе

зиметре при постепенном увеличении числа оборотов п (или,

что одно и то же, увеличении скорости сдвига у) до некоторого

максимального значения nmax(Ymax) получают кривую, характе­ ризующую процесс разрушения структуры (кривая АВ на рис. И.7). Если сразу по достижении максимальных оборотов «max начать снижать обороты (т. е. уменьшить скорость сдвига), то для тиксотропной жидкости кривая напряжения сдвига рас­

ственно постепенное структурообразование при сдвиге [2]. Однако, по-видимому, существует предельная величины сдвига, выше которой не происходит восстановление структуры.

В. Вязкоупругие жидкости

Существенное значение для вязкоупругих жидкостей имеет процесс перехода системы из неравновесного состояния в рав­ новесное.

Этот процесс называется релаксацией. Релаксация происхо­ дит вследствие теплового движения элементов структуры. В сис­ темах, состоящих из неполярных атомно-молекулярных групп, характеризующихся малой энергией взаимодействия, равновес­ ное состояние наступает (при прочих равных условиях) быст­ рее, чем в системах, имеющих полярные атомы и молекулы с большей энергией взаимодействия между ними.

Время перехода в состояние равновесия зависит также от степени разветвленности структуры атомно-молекулярных групп, размеров и громоздкости их. Чем сложнее структура, тем мед­ леннее она придет в состояние равновесия. Для простых жид­ костей это время, очевидно, меньше, чем для неньютоновских,

37

кость, напряжение, деформация и др. В тех случаях, когда эти свойства изменяются существенно быстрее, чем время наблюде­ ния или эксплуатации, процессы перестройки можно не учиты­ вать при оценке свойств системы. Если же время релаксации соизмеримо с временем наблюдения, учет переходных процес­ сов обязателен.

Пусть х — тепловое движение элементов структуры, т. е. величина, определяющая изменения в системе. Тогда dx/dt бу­ дет скоростью изменения этой величины.

Для простой релаксирующей системы с несложной структу­ рой и с небольшой энергией взаимодействия элементов можно считать скорость пропорциональной величине х, т. е.

значение нсследуемой величины уменьшается в 2,7 раза, т на­ зывается временем релаксации системы.

Из (11.30) следует, что при принятых условиях равновесное состояние, строго говоря, достижимо при t-> ОО.

Величина т меняется в очень широких пределах: от 10-8— 10-10 с (низкомолекулярные жидкости) до суток и даже меся­ цев (полимерные макромолекулы).

Однако эта модель неправомерна для сложных структур. Для лучшего понимания свойств таких жидкостей обратимся к более сложным реологическим моделям. Описываемые ниже модели релаксационных процессов позволяют понять и мате­

матически описать поведение не только вязкоупругих жидко­ стей при различных режимах работы, но и всех неньютоновских жидкостей [2]. Эти модели представляют собой различные со­ четания элементов, каждый из которых имеет только упругие или только вязкие свойства.

38

Упругим элементом служит стальная пружина, которая при деформации подчиняется закону Гука

где о — напряжение; Е — модуль упругости; еупР — относитель­ ная деформация.

Вязким элементом служит поршень или шар, свободно пере­ мещающиеся в цилиндре, заполненном вязкой жидкостью.

Согласно закону вязкого трения Ньютона, напряжение <т пропорционально скорости движения и

где (х— вязкость жидкости; k — коэффициент пропорционально­ сти, зависящий от геометрических размеров элемента.

Учитывая, что и = d e Bse-Jdt, получим из (11.33)

Рассмотрим развитие деформации для упругого и вязкого элементов (рис. 11.8). В первом случае деформация полностью обратима [см. (11.32) при а = 0 бущ, = 0]; во втором случае — она полностью необратима. Действительно, если сила о дей­ ствовала в течение времени to, то к концу этого периода

мация не исчезнет и останется на уровне значения, даваемого формулой (11.36).

Если последовательно соединить два простейших элемента, получим модель Максвелла (рис. 11.9).

Общая деформация системы е складывается из упругой eynp и вязкой еВЯзк деформаций. Однако непосредственное сло­ жение выражений (11.32) и (11.35) недопустимо, так как при выводе мы рассматривали их независимо друг от друга, а между тем в рассматриваемом случае они взаимно связаны. Необхо­ димо при выводе выражения для общей деформации восполь­ зоваться дифференциальными уравнениями Гука и Ньютона, а именно

1 Для удобства дальнейших выкладок скорость и отнесена к длине пру­ жины.

39

Т о гд а

Пусть задана скорость деформации de/dt = г'Ц). Решение уравнения (11.38), удовлетворяющее начальному условию о = = 0, t = 0, имеет вид

была зафиксирована закреплением пружины {de/dt = e' (t) = 0).

9

У////////Л

t = to напряжение равно Оо.

Следовательно, достигнутое за период t0 напряжение умень­ шается от значения оо экспоненциально как функция времени, отсчитываемого от момента to (рис. 11.10).

40