книги / Физика и гидравлика нефтяного пласта

пада давления на первой ступени /'(0 ) At будет равна At и со­ ответствующая единичная функция — cp(Af)-

Перепаду на второй ступени f'(At) At соответствует единич­

и координат х, у, z. А так как рассматриваемая задача одно­

мерна ^напомним, что в ней ср равно erfc то предыду­

щую формулу для определения перепада давления можно пере­ писать так:

t

Рк — Р = /(0)ф (х, 0 + $ Г ( т) ф (*, t — x)dx.

о

Аналогичным способом можно вывести формулу для пере­ менного дебита. В этом случае в выражении (IV. 109) в правой части под f(t) подразумевается закономерность изменения де­ бита, а под ф(х, t) — соответствующая единичная функция. Так,

121

При помощи уравнения (IV. 109), в частности, выводится формула для определения давления в скважине при произволь­ ном изменении дебита, которая лежит в основе гидродинамиче­ ского метода исследования скважин и пластов.

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН И ПЛАСТОВ

Одно из важных приложений теории упругого режима филь­ трации — определение параметров скважин и пластов методом восстановления давления.

Начнем рассмотрение с простейшего случая восстановления давления при мгновенном прекращении притока жидкости

вскважину.

Вдействительных условиях такой случай нельзя реализо­ вать. Его можно только представить себе, вообразив, что забой скважины оборудован отсекателем, мгновенно перекрывающим поток в скважину. Тем не менее такая задача представляет ме­ тодологический интерес, так как из ее решения можно сделать вывод о влиянии притока на характер изменения давления на забое скважины, а также с известным приближением опреде­ лить параметры пласта.

Пусть в течение некоторого достаточно длительного времени скважина работала с постоянным дебитом Q. В момент Т она остановлена (рис. IV.8 ). Отсчет времени t будем вести с этого момента.

Тогда, согласно принципу суперпозиции, давление в сква­ жине можно определить по формуле

(IV. ПО)

Первый член представляет собой то изменение давления, ко­ торое было бы в скважине, если бы она продолжала работать -сверх времени Т еще время t, второй член — изменение давления, вызванное действием воображаемой нагнетательной скважины

спроизводительностью Q, расположенной на оси добывающей

ипущенной в начальный момент времени исследования (момент остановки t = 0 ).

При таком наложении, очевидно, обеспечивается получение «нулевого» расхода с момента остановки скважины. Указанное наглядно видно из рисунка.

Если период работы скважины Т намного больше периода

Rl \

можно заменить на Ei ( ---- ^ - ) . Тогда (IV.110) перепишется

122

так:

Л . - М О - - & [ E I ( - 4 - ) - B ( — ет-)]- (iv.ni)

С другой стороны,

где р{Т) — давление в скважине в момент Т. Из уравнений (IV. 111) и (IV.112) имеем

Apt(t)

Уравнение (IV. 113) можно записать в виде

1 2 »

Вдействительности прямолинейный характер зависимость

Api(t) = f (In t) имеет только, начиная с какого-то значения In t. При малых значениях аргумента фактическое Api(t) отли­ чается от значения, предсказываемого уравнения (IV. 114). Это объясняется допущениями, принятыми при построении модели процесса.

Если процесс исследования обеспечивает получение прямо­ линейного участка достаточной протяженности на рис. IV.9, то

период Т соизмерим с временем наблюдения. Приведем более

ления, основанный на экстраполяции прямолинейной части кри­ вой восстановления давления до пересечения ее с вертикальной

124

прямой, проходящей через абсциссу In t/(T+t) = 0 . Точка пе­ ресечения дает величину пластового давления.

В работе [7] на основе анализа обоих рассмотренных мето­ дов сделано заключение, что первый из них можно применять до момента t < 0,057\ участки же, соответствующие t > 0,057\ следует обрабатывать по методу Хорнера.

Основным недостатком предложенных методов является то, что они не учитывают притока жидкости в скважину после ее остановки. Первые попытки учета этого фактора принадлежат

ления в скважине, отсчитываемого от начального давления, оди­ накового во всей области при произвольном изменении дебита 4:

Анализ этой формулы показывает [77], что с высокой сте­ пенью точности ее можно заменить следующей:

В дальнейшем в литературе [16] используется следующая расчетная схема. Предполагается, что время 0 отсчитывается

смомента начала исследования. Если исследование начинается

смомента ввода скважины в эксплуатацию, то рс (0) является снижением давления от начального пластового давления, оди­ накового во всей бесконечной области. В этом случае формула

(IV. 122) точна (конечно, при тех вполне допустимых упроще­ ниях, которые были описаны выше). Однако такое предположе­ ние весьма частно, так как до исследования скважина в боль­ шинстве случаев работает некоторое время, причем это время, как правило, превышает продолжительность исследования. Ав­ торы метода все же предлагают использовать формулу (IV.122), только под рс (0) подразумевать повышение давления от посто­ янного его значения до исследования, а под Q(6) — дебит сква­ жины, также отсчитываемый от постоянного его значения.

С учетом высказанного формулу (IV. 122) можно преобразо­ вать так:

(IV. 123)

1 Формулу (IV.121) легко получить при помощи теоремы Дюгамеля.

125

При написании этой формулы мы несколько отклонились от общепринятой записи [7], обозначив через Q (Г) постоянный дебит.

Из изложенного становится очевидным, что предлагаемый метод [7] — приближенный. Действительно, для схемы бесконеч­ ного пласта не может быть стационарного распределения. При таком распределении давление растет пропорционально лога­ рифму расстояния, т. е. стремится к бесконечности, что лишено физического смысла. По предлагаемому в [58] методу отсчет времени 0 проводится не с момента начала исследования, а с мо­ мента ввода скважины в эксплуатацию, что соответствует стро­ гой постановке задачи. Обозначая по-прежнему через Т время работы скважины, имеем 0 = 7'-И, где t — время исследования скважины.

В результате преобразования (IV. 123) получим следующее уравнение для определения Дp(t) [58]:

Если по оси абсциссе откладывать ф(<), а по оси ординат —

Ap(t)

Q ( T ) - Q ( T + t) ’

то согласно (IV. 124) получим прямую (рис. IV.11), по наклону которой к оси абсцисс и отрезку, отсекаемому на оси ординат, найдем параметры

*//?с и kh/\1 .

Величины Q (T') и Q (7 + l) = Q ( 0 (приток жидкости из пласта в скважину после остановки) определяются дебитомером или косвенным путем вычисления [7].

Можно показать, что

} Щ т - - (|vi26>

126

Ордината (см. рис. IV.11), соответствующая ф(оо) согласно (IV. 126), дает величину предельно-максимального значения Ap(t)/Q(T). По этой ординате определяется пластовое давление

работы скважины до исследования. При расчете же пластового давления первый из указанных факторов не учитывается, вто­ рой же рассматривается в упрощенном виде Q = const. Однако необходимо отметить, что в методе Хорнера не обязательно учи­ тывать приток жидкости из пласта, так как, начиная с некото­ рого /, этот приток равен нулю.

В частном случае при постоянном дебите до остановки сква­

t<^LT мал, и его можно не учитывать. В результате этого полу­ чим известное выражение, используемое в методе [7].

127

ГЛАВА V

ФИЛЬТРАЦИЯ СМЕСИ ЖИДКОСТЕЙ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

ФАЗОВЫЕ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ПРОНИЦАЕМОСТИ

Законы совместного движения двух— трех жидкостей более сложны, чем законы фильтрации однофазной жидкости. В этой главе будут рассматриваться течения жидкостей без фазовых переходов, что представляет первый шаг на пути решения этой сложной проблемы.

Законы фильтрации для двух фаз (смачивающей и несмачи­ вающей) обычно представляют в виде двух уравнений следую­ щего вида:

где fec и feHC— фазовые проницаемости.

Перейдем от фазовых проницаемостей к относительным

где fe — проницаемость пористой среды при 1 0 0 % -ном насыще­ нии ее любой из фаз. Предположим таким образом, что фазо­ вые проницаемости для обеих фаз, полностью заполняющих по­ ристую среду, равны между собой.

Относительные проницаемости в общем случае — это функ­ ции ряда факторов и в первую очередь насыщенности пористой

соответствующие несцементированным и сцементированным пес­ кам, резко отличаются друг от друга. Это свидетельствует о влиянии структуры пористой среды на величину относитель­ ной проницаемости. Сумма ординат кривых каждой пары

т. е. расход двухфазного потока при этих условиях меньше рас­ хода каждой фазы при отсутствии другой.

Кривые / с и /нс на рис. V.1 и V.2 несимметричны. Просле­ дим за ходом этих кривых при увеличении насыщенности. Как видно, s не может быть ниже некоторого значения s = sc (см. рис. V.2, точка 1). С увеличением насыщенности относительная проницаемость для смачивающей фазы / с растет медленно; отно­ сительная же проницаемость для несмачивающей фазы /н с мед­ ленно убывает от максимального значения, находясь на уровне, близком к нему, при довольно значительном содержании проти­ воположной фазы (особенно это заметно для сцементированного песка). При s, близких к единице, ветвь кривой / с существенно

отлична от кривой /нс при малых значениях насыщенности s. Даже небольшое содержание несмачивающей фазы приводит к резкому убыванию относительной проницаемости для смачи­ вающей фазы. При этом же содержании несмачивающей фазы последняя практически неподвижна (/цС~ 0).

Асимметрию кривых фазовых проницаемостей можно объяс­ нить тем, что при больших значениях насыщенности 5 несмачи­ вающая фаза заполняет большие поры пористой среды, снижая тем самым средний размер пор, заполненных смачивающей фа­ зой. В области же малой насыщенности s/Hс сохраняет значе­ ние, близкое к единице, так как часть порового пространства заполнена практически неподвижной несмачивающей фазой.

АНАЛИЗ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ СМЕСИ ЖИДКОСТЕЙ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Теоретические модели, не противоречащие эксперименталь­ ным фактам, позволяют понять физическую сущность процесса

130