книги / Физика и гидравлика нефтяного пласта

т. е. давление вдали от скважин изменяется по логарифмиче­ скому закону, при этом изобары приближенно можно заменить окружностями с общим центром, совпадающим с серединой от­ резка /.

При qi + q z = 0, т. е. в случае, когда сток (скважина) по­ глощает ровно такое же количество жидкости, которое посту­ пает извне в источник (в нагнетательную скважину).

т.е. р вдали от скважин при <}>ф 90° изменяется по закону г -1. Результат можно обобщить на случай любого числа скважин.

Пусть имеется N скважин с дебитами <71, <72, . . qN■Обозначим через Q алгебраическую сумму дебитов:

т.е. получается тот же результат, что и для двух скважин.

В.Н. Щелкачевым было введено понятие укрупненной сква­ жины. Под укрупненной скважиной подразумеваем некую фик­ тивную скважину, охватывающую область, в которой находятся реальные скважины. Радиус этой «скважины» выбран таким об­ разом, чтобы за пределами этой области можно было бы с до­ статочной для практики точностью считать движение плоскора­ диальным.

Дебит укрупненной скважины равен алгебраической сумме дебитов реальных скважин. При равенстве этой суммы нулю давление за пределами области можно считать практически по­ стоянным и равным первоначальному пластовому давлению.

71

Ниже будут рассмотрены два наиболее простых и вместе с тем характерных примера применения принципа суперпозиции, из которых будут сделаны соответствующие выводы.

1. Добывающая и нагнетательная скважины в бесконечно большом пласте.

Полагая в (III.54) q1 = — Цг = Ц, получим

р = - щ г ь т г + с -

Определим вид изобар. Из уравнения (III.70) видно, что дав­ ление должно быть одинаково во всех тех точках, для которых отношение ri/r2 постоянно. Отсюда следует, что изобарой яв­ ляется такая кривая, отношение расстояний каждой точки ко­

точка пласта от работающих скважин Л и Б, тем меньше она подвержена возмущающему действию их. Очевидно, на беско­ нечно далекую точку эти скважины не влияют и

С другой стороны, для бесконечно далеких точек отношение rl/r2= 1 , вследствие чего

ln(r,/r2) = 0 . (III.72)

Подставляя в уравнение (III.70) р и In из (III.71) и (III.72), получим

Уравнение раскрывает смысл постоянной интегрирования С. Эта постоянная, равная давлению в бесконечно далекой (или,

72

в весьма слабой степени) возмущающих скважин А и В. Под­

метическому значению давлений на забоях скважин при одина­ ковых дебитах, независимо от их величины.

Для линии симметрии у имеем п = г2 и р = рк, т. е. давле­ ние на этой линии равно пластовому (статическому) давлению.

Построим кривую изменения давления по линии, соединяю­ щей центры скважин (см. рис. II 1.4). Из нее видно, что репрессионная «вершина» в области нагнетательной скважины (левая заштрихованная часть) представляет собой как бы переверну­ тую депрессионную воронку в области добывающей скважины (правая заштрихованная часть).

Решим эту же задачу методом теории функций комплексного переменного. Представим плоскость течения жидкости (х, у) как плоскость комплексного переменного z = x+ iy . Тогда комп­

k

где ф(х, у) = — р — потенциал течения; ф(х, у ) — функция М1

тока, не изменяющаяся вдоль заданной линии тока. С перехо­

73

дом к другой линии тока значение ее меняется. Отбросив посто­

ностью до постоянной интегрирования.

Задаваясь различными значениями ф, получим уравнения ли­ ний тока.

2 . Две добывающие скважины в пласте бесконечно больших

Отсюда ясно, что давление будет одинаково во всех точках, для которых Г1Г2 = const. Кривые, удовлетворяющие этому ус­ ловию, называются овалами Кассини (кассиноидами), или лемнискатными кривыми. Здесь так же, как и в предыдущей за­ даче, изобары в окрестности скважин имеют форму, близкую к окружности.

По мере удаления от центров стоков изобары постепенно вытягиваются к оси симметрии, а затем после слияния прини­ мают форму овала, который на больших расстояниях от сква­ жин приближается по своему виду к окружности.

Подставляя в уравнение (II 1.83) вместо ri = Rc, Г2 ~ 2 а и

74

Исключая С из (111.83) и (III.84), имеем

Эту задачу также можно решить методом теории функций комплексного переменного.

ФИЛЬТРАЦИЯ ЖИДКОСТИ В ПЛАСТЕ ОГРАНИЧЕННЫХ РАЗМЕРОВ

Анализируя свойства потоков, рассмотренных в предыдущих разделах, приходим к выводу, что на достаточно большом рас­ стоянии от области расположения стоков и источников, по срав­ нению с размерами этой области, поток можно считать практи­ чески одномерным — плоскорадиальным. Указанная особенность полей позволяет решать в приближенной постановке ряд задач фильтрации в пластах ограниченных размеров. Действительно, если поток вдали от скважины можно заменить плоскорадиаль­ ным, то любую из изобар в «далекой» области можно с доста­ точной для практики точностью аппроксимировать окружностью и давление на этой окружности (изобаре) принять за давление рк на поверхности питания. Таким образом, вырезая из беско­ нечной области фильтрации ряд окружностей, охватывающих рассматриваемую группу скважин, и принимая на них постоян­ ное давление, равное среднему давлению на этой окружности, получим ряд решений для круговых пластов различного раз­ мера.

Допустимо для упрощения решения принимать за давление на поверхности питания не среднее давление на окружности, а значение его в характерных ее точках. Учитывая близость этой окружности к изобаре, можно предполагать, что такое упрощенное решение будет близко к истинному, точному.

Мы приведем еще один достаточно простой пример, иллюст­ рирующий метод.

Пусть на бесконечном пласте имеются две равнодебитные добывающие скважины (рис. III.5). Давление в пласте опреде­

75

воляет применить следующую приближенную подстановку гj*» atrzf&R (величина R при этом велика по сравнению с расстоя­

76

Полагая, что р равно давлению рк на круговом контуре пи­ тания радиуса RK, получим формулу для расчета дебитов двух равнодебитных скважин, симметрично расположенных в пласте круговой формы:

Отметим, что выбор центра окружности в середине отрезка A IA2 необязательное условие получения приближенной формулы (111.91). Мы могли бы выбрать центр в какой-либо другой точке этого отрезка или даже вне его (но вблизи точек Ai и А2). Действительно, поскольку при достаточно большом радиусе RK логарифмы расстояний от точек контура питания до центров скважин приблизительно одинаковы и их можно принять рав­ ными логарифму RK, то выбор центра окружности не имеет зна­ чения. Но раз это так, то полученный вывод остается справед­ ливым для двух несимметрично расположенных по отношению к окружности радиуса RKравнодебитных скважин.

Конечно, приведенные рассуждения правильны, если RK зна­ чительно больше 2а и центр окружности находится не слишком далеко от центров скважин А\ и А2.

Приведенные соображения приемлемы и для более сложных условий, например, при двух скважинах разного дебита или большом числе скважин.

Однако в каждом отдельном случае путем оценок, аналогич­ ных приведенным, следует выяснить область применения пред­ ложенного приближенного способа.

Задача о фильтрации жидкости к скважинам в круговом пласте имеет точное решение и для небольшого числа скважин, расположенных геометрически правильно. Это решение не на­ много сложнее приближенного.

Приближенным способом следует пользоваться при иррегу­ лярном расположении большого числа скважин. В этих усло­ виях точный метод оказывается достаточно громоздким.

Точное решение основано на способе зеркальных отображе­ ний, сущность которого проиллюстрируем на нескольких про­ стых примерах (рис. III.6).

Вначале рассмотрим задачу о фильтрации жидкости к сква­ жине, расположенной у прямолинейного контура питания АВ на расстоянии а. Чтобы линия АВ была контуром питания (т. е. изобарой), необходимо зеркально отобразить скважину с деби­ том q, поместив за пределами пласта на расстоянии о фиктив­ ную скважину с таким же дебитом q обратного знака (если реальная скважина — добывающая, фиктивная должна быть на­ гнетательной и наоборот). Тогда мы получим случай двух рав­ нодебитных скважин разного знака, подробно рассмотренный выше [см. уравнение (III.74)].

77

Из этого выражения определим дебит скважины. Предполо­

Так же просто решается задача, когда линия АВ является непроницаемой границей (экраном).

Зеркальная, фиктивная скважина на расстоянии о от этой линии должна иметь такой же дебит как по величине, так и по знаку. Полученный случай двух равнодебитных скважин одного

а

I— б-

в

Рис. III.6. Схема расположения скважины у прямолинейного контура питания (а) и у не­ проницаемого экрана (6)

знака рассмотрен выше [см. уравнение (III.83)]. Поле давле­ ний согласно уравнению (III.85) найдем из следующего выра­ жения:

In 2аRс

Уравнение совпадает с выражением (111.91) для дебита од­ ной из двух равнодебитных скважин, симметрично расположен­ ных в круговом пласте. Следовательно, непроницаемый экран вызывает такое же снижение дебита единственной скважины (по сравнению с дебитом ее в бесконечном пласте), как и вто­ рая такая же скважина, расположенная в бесконечной области на расстоянии 2 а и находящаяся в таких же условиях.

Рассмотрим теперь более сложный случай, когда скважина расположена эксцентрично в круговом пласте радиуса RK. За

78

пределами кругового пласта помещаем фиктивную скважину с дебитом, равным дебиту реальной скважины, но обратного знака (рис. III.7). Расстояние между скважинами —

2

2 а =

( е — величина эксцентриситета).

Легко показать, что при таком выборе места расположения фиктивной скважины отношение расстояний от каждой сква­ жины до любой точки окружности ri/r2 будет постоянной вели­ чиной, равной e/RK. Иными словами, окружность действительно будет изобарой [см. формулу (II 1.70)].

Для определения дебита во­ спользуемся формулой

2nkhМ In гп1 + С. (III.95)

р — рс У1подставив их в (III.95), получим

в бесконечность, ее действие на рассматриваемую область равно нулю) формула (III.96) переходит в формулу Дюпюи.

Комплексный потенциал для этого случая получится из соот­ ветствующего выражения для двух равнодебитных скважин раз­ ного знака [см. уравнение (III.81)], если принять расстояние между скважинами

2 а =

е

Описанным выше методом решим еще одну задачу. Пусть в безграничном пласте имеется одна эксплуатационная сква­ жина At с дебитом qi (рис. II 1.8, а).

Проницаемость правой полуплоскости равна ki, левой — k2. Линия АВ между этими полуплоскостями является границей

79

изменения проницаемости пласта. Скважина расположена от этого порога на расстоянии ОАи равном а. Необходимо постро­ ить изобары и линии токов в таком пласте.

Ввиду различия проницаемостей указанных областей линии токов и изобары должны претерпеть излом на границе измене­ ния проницаемости пласта.

Попытаемся решить задачу методом фиктивных стоков—ис­ точников.

Однако в рассматриваемом случае есть одна особенность, которой не было в решенных ранее задачах. При построении поля давлений и линий тока необходимо учитывать не только граничные условия на поверхности скважины A i, но также и ye­

ti

А

ловия на пороге АВ, т. е. стыке двух контактируемых областей с различными проницаемостями.

Эти условия представляют следующее:

давление ртв любой точке порога с правой стороны равня­ ется давлению на нем слева, т. е. р меняется непрерывно без скачка при переходе через порог из одной области в другую; нормальная составляющая vn скорости фильтрации в любой

точке порога справа равна таковой слева.

После сделанных замечаний перейдем к рассмотрению каж­ дой из областей.

Построим вначале поле давлений и линии токов в правой по­ луплоскости фильтрации при помощи одного фиктивного стока или источника, расположенного в левой полуплоскости. Поме­

Величина его нам неизвестна, ее мы должны определить из приведенных выше граничных условий.

Возникает вопрос: почему в точке А2 помещается источник, а не сток? Тот или иной выбор не должен повлиять на правиль­ ность конечных формул. Если выбор сделан неправильно, то

80