книги / Физика и гидравлика нефтяного пласта

будет вытекать из пористой среды. Следовательно, при s < s max, дрс/дх = 0, что дает, согласно (V.43),

Со значения s = smax смачивающая фаза начнет вытекать.

В результате численного решения на ЭВМ уравнения (V.45) при сформулированных выше граничных условиях получены рас­ пределения насыщенности, которые не во всех случаях являются монотонными. При этом величина безводной нефтеотдачи т]бв представляется в виде [78]

При значениях рНс/Р с< Ю (приблизительно) зависимость

безводной нефтеотдачи от комплекса рн clv/в cos 0y km имеет минимум.

Как следует из идеи метода, проницаемость для несмачиваю­ щей фазы и функция Леверетта равны нулю при s = smax. Та­ кое условие было принято в [78], а также в аналогичном иссле­ довании [24]. При принятых граничных условиях несмачиваю­ щая жидкость вместе со смачивающей вытекать не будет, что, как известно, противоречит действительности. Одно из объясне­ ний заключается в том, что для однородного пласта при капил­ лярном скачке нефтеотдача за водный период равняется нулю, а реально наблюдающиеся отборы нефти за этот период обу­ словлены неоднородностью пласта по толщине (слоистая неод­ нородность). Возможно также и то, что условие образования капиллярного скачка не во всех случаях имеет место вследст­ вие истечения продукции в среду, содержащую нефть с водой.

Так или иначе современная капиллярная модель нуждается в существенном усовершенствовании.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ СМЕСИ НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ

Начнем рассмотрение со случая Баклея—Леверетта (V.46), представляющего большое значение для всей проблемы.

Уравнение (V.46) можно проинтегрировать методом харак­ теристик, как это было выполнено в литературе [51], или же бо­ лее наглядным способом, предусматривающим определение дви­ жения плоскости, на которой насыщенность сохраняет постоян­ ное значение [24].

Приведем оба вывода.

Уравнение (V.46), преобразованное к виду

(V.52)

141

где

эквивалентно системе обыкновенных дифференциальных урав­ нений

где x(s, 0) — начальное распределение насыщенности при t = 0. Если в начальный момент времени вся рассматриваемая область заполнена равномерно несмачивающей и смачивающей фазами, то, приняв в уравнении (V.56) x(s, 0) = 0, преобразуем его к следующему виду:

(V.57)

Приведем теперь второй вывод. Составим выражение для полного дифференциала насыщенности

\vd~

x (S, t ) - x (s, 0) = F { S ) = ^ - F (S ), (V.61)

что совпадает с уравнением (V.56)

142

На рис. V.4 кривая 1 построена по формуле

лена кривой 2 на рис. V.4. Из этого рисунка видно, что кривая 2 немонотонна, т. е. для каждого х существуют два значения насыщенности. Это, как увидим ниже, может привести к физи­

ным. Однако можно представить себе и такие случаи, соответ­ ствующие достаточно большим значениям V, при которых реше­ ние перестает быть однозначным. Кривая 2 на рис. V.5, постро­ енная для значения Vz > Ki (принято Vz = 2Vi), иллюстрирует

Для устранения многозначности Баклей и Леверетт предло­ жили считать реальной лишь ту часть кривой F(s), которая бе­ рет свое начало в точке с максимальной насыщенностью смачи­ вающей фазы (рис. V.6, точка so — входное сечение) до некото­ рого сечения, которое определяется из условия материального баланса.

Объем смачивающей фазы, поступившей в пласт к некото­

143

где лгф— координата фронта вытеснения, sc — содержание свя­ занной смачивающей фазы (связанная вода). Сечение пласта принимается единичным. В начальный момент времени t = О вся область равномерно заполнена несмачивающей и связанной фа­ зами [лф, 0 ) = 0].

Согласно (V.56),

Подставляя dx из (V.65) в (V.64), получим

вытеснения.

Для определения вф (см. рис. V.6) проводим из точки А, со­ ответствующей s = s c, касательную к кривой Ф ($). Абсцисса

144

точки касания В и есть s$. Опуская далее из этой точки перпен­ дикуляр на ось абсцисс, находим точку пересечения С перпенди­ куляра с кривой F(sct>) = Ф' (s<t>).

Умножая F(s$) на V(t)/m, найдем координату фронта насы­ щенности:

Таким образом, вся ветвь кривой от точки с максимальной насыщенностью so до s<j, является реальной. Таким образом уст­ раняется неоднозначность решения.

Тот же самый результат можно получить другим путем. Для этого следует провести из точки С прямую, параллельную оси абсцисс (см. рис. V.6 ), на расстоянии, определяемом из условия равенства заштрихованных площадей At и Аг.

Докажем, что результат получится такой же. Заштрихованная площадь над прямой

Сравнивая (V.68) с (V.72), имеем s ^ = s ф.

Пусть при некотором значении ^бв фронт насыщенности до­ стигает выходного сечения Хф = /. Тогда

Учтем теперь в решении Баклея и Леверетта эффект силы тяжести. В этом случае вместо уравнений (V.1) необходимо на­ писать

Рис. V.8 . Зависимость функции Ф,($) ОТ насыщенности 5

Подставляя (V.76) в дифференциальное уравнение неразрыв­ ности для 1>с (V.34), получим

где

(v.78)

Интегрирование (V.77), выполненное по предыдущей схеме при x(s, 0 ) = 0, имеет вид

146

На рис. V.8 приведены кривая ® (s) и для сопоставления две

ций на фронте вытеснения из точек Л и Л] опустим перпендику­ ляры на кривые F и Fb

На рис. V.9 видно, что F(s' ) < F(s$).

Напишем выражение для безводной добычи в обоих случаях:

Таким образом, при вытеснении снизу вверх создаются более благоприятные условия для получения большого суммарного от­ бора нефти за безводный период, чем в случае горизонтального вытеснения (а = 0, л = 0).

Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что при вы­ теснении сверху вниз (а < 0, л < 0 ) процесс будет менее эффек­ тивен, чем при а = 0.

Из уравнения (V.80) следует, что в отличие от случая Баклея и Леверетта, распределение насыщенности в рассматриваемой

смещается вправо от кривой (£(s)]. Отсюда ясно, что для полу­ чения высоких коэффициентов нефтеотдачи за безводный период необходимо поддерживать малые скорости вытеснения. Вместе с тем беспредельное уменьшение скорости приводит к удлине­ нию срока разработки залежи.

АНАЛИЗ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФИЛЬТРАЦИИ СМЕСИ ЖИДКОСТЕЙ

С УЧЕТОМ КАПИЛЛЯРНОГО ДАВЛЕНИЯ

Строгое аналитическое решение системы уравнений (V.35), (V.36) при соответствующих им граничных условиях (V.38), (V.40) и даже одного уравнения (V.45) при граничных усло­ виях (V.50), (V.51) представляет в общем случае чрезвычайно сложную задачу. Поэтому в основном приходится прибегать к приближенным методам решения с использованием ЭВМ или же к экспериментальным методам на моделях пористых сред. Модельные опыты должны удовлетворять определенным усло­ виям, обеспечивающим возможность непосредственного исполь­ зования результатов эксперимента для вычисления (определе­ ния) соответствующих характеристик натурных процессов.

Вывод этих уравнений, называемых условиями подобия, мо­ жно получить путем преобразования дифференциальных урав­ нений (V.35), (V.36) и (V.45) и граничных условий к безраз­ мерной форме.

Введем следующие безразмерные величины:

Граничные условия для периода, когда истечения вытесняю­ щей фазы нет, согласно (V.38), имеют вид:

148

Граничные условия для периода истечения смачивающей фазы, согласно (V.40), будут:

Процессы будут подобны на модели и натуре при тождест­ венности дифференциальных уравнений и граничных условий. Из написанных выше уравнений следует, что для соблюдения их тождественности необходимо равенство следующих безраз­ мерных параметров, входящих в эти зависимости:

где индексы «нат» и «мод» — соответственно натура и модель. Сравнение условий (V.89) и (V.94) показывает, что необхо­

димо совпадение кривых Леверетта / (s) в натуре и модели.

Из соотношений (V.90) и (V.91) следует, что отношения ве­ личин вязкостей в натуре и модели должны быть одинаковы:

Иными словами, одно из этих соотношений можно заменить только что написанным.

Обратимся теперь к относительным проницаемостям. При вы­ воде функциональных соотношений для относительных прони­ цаемостей будем исходить из положения, что проницаемости — локальные характеристики пористой среды и потоков, т. е. что условия на границах области фильтрации не оказывают влияние на эти характеристики.

Из общих соображений ясно, что такое допущение возможно для достаточно большой области течения, позволяющей выде­ лить внутри себя подобласть, не зависящую от граничных усло­ вий (или слабо зависящую от них), для которой приемлемо указанное выше положение.

149

С учетом высказанного перечислим величины, от которых предположительно могут зависеть относительные проницаемо­ сти: т, k, (д.с, м-нс, о, |gradp|— модуль градиента давления в одной из фаз, например в смачивающей, и s.

Имеем

При помощи анализа размерностей можно показать, что от­ носительные проницаемости могут зависеть от следующих без­ размерных параметров:

Здесь и в дальнейшем речь будет идти об одномерных пото­

Комбинируя (V.94) c (V.99), получим вместо одного из этих условий следующее:

I I

Наибольшую трудность представляет выполнение условия (V.100)

При точном его выполнении проницаемость модели оказы­ вается очень малой. Поэтому приходится осуществлять прибли­ женное моделирование.

Методика приближенного моделирования принадлежит Д. А. Эфросу и В. П. Оноприенко [82], которые вывели условия (V.89) — (V.94) на основе анализа дифференциальных уравнений

150