книги / Малобазные тензодатчики сопротивления
..pdfмонотонно-возрастающую кривую, т. е. тензодатчик передает деформации разной скорости нагружения по-разному. С ростом скорости нагружения в пределах экспериментального диапазона характеристика поднимается на —15%. Сказанное справедливо и для тензодатчика на бумажной основе, но подъем амплитуд ной характеристики в этом случае меньше.
На рис. 67 и 68 приведены фазо-частотные характеристики тех же тензодатчиков типа ФКПА-1-30 и ПКБ-5-77. Количествен ное совпадение экспериментальных 1 и расчетных 2 кривых здесь
1 — |
экспериментальная кривая;2 — |
кри- 1 — экспериментальная кривая;2 — |
кри |
|||
вая, |
полученная |
перерасчетом |
функции |
вая, |
полученная |
перерасчето |
|
ползучести |
|
|
|
|
|
хуже, чем для амплитудных характеристик. Это объясняется отчасти низкой точностью экспериментального определения фазо вого сдвига. Однако наиболее важные свойства фазовых харак теристик тензодатчиков, полученные экспериментальным и рас четным путем, совпадают: совпадает знак фазовой погрешности (плюс),т.е. показание тензодатчика по фазе опережает деформацию основного материала для всех частот нагружения; совпадает порядок фазовых погрешностей (0,01—0,07). Обе кривые яв ляются немонотонными, имеющими максимум. Величина макси мального фазового опережения для тензодатчиков типа ФКПА-1-30 составляет 0,67—0,83 рад (или во времени 0,85 сек при периоде 65,8 сек и 4,4 сек при периоде 410 сек).
Несовпадение частотных характеристик, полученных экспе риментально и расчетным путем, вызывается изменением вязкоупругих констант связующего при температуре 413° К (140° С). Кривые ползучести записывались после снятия частотных харак теристик, когда модули упругости и постоянные времени связую щего несколько возросли. Это привело к некоторому подъему теоретической амплитудно-частотной характеристики и сдвигу
148
расчетной фазовой характеристики в область меньших частот. Предлагаемые ниже методы введения поправок для динамических измерений предполагают стационарность характеристик тензо датчика, т. е. они верны для тензодатчиков, связующее которых
Рис. |
67. |
Фазо-частотные характери |
Рис. |
6 8 . Фазо-частотные характери |
||
стики |
тензодатчиков ФКПА-1-30: |
стики тензодатчиков ПКБ-5-77: |
||||
1 — экспериментальная кривая; |
2 — кри- |
1 — экспериментальная кривая; |
2 — кри |
|||
вая, |
полученная перерасчетом |
функции |
вая, |
полученная перерасчетом |
функции |
|
|
|
ползучести |
|
|
ползучести |
|
не меняет своих свойств в процессе измерения. Сказанное спра ведливо при любых измерениях с полностью запеченным связую щим при комнатной температуре, а также при кратковременных измерениях.
3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕНЗОДАТЧИКОВ
Установленный выше факт линейности тензодатчика позво ляет использовать полученные в гл. V передаточные функции (42) и (44) для определения динамических характеристик тензодат чика. Ниже рассматриваются динамические характеристики тен зодатчика для больших значений /7„, полученных на основании формулы (44), и для произвольных значений fla, полученных на основании формулы (42).
Частотные характеристики ошибки тензодатчика при одноэлементном спектре связующего
и больших значениях fla.
Для больших значений fla (например, при большом модуле упругости связующего) из выражений (56) и (44) нетрудно получить
следующее выражение для частотных характеристик ошибки тен зодатчика:
1
Ъ * (со) = Re ав (р) ’
(со) = Im |
1 |
(58) |
dQ (р) ’ |
|
где a = ala (a — коэффициент, определяемый формой попе
речной перемычки решетки в мм). Для одноэлементного спектра связующего 0 (р)
Од - f G„np
1 + пр ’
(о) = |
1 |
Gd + Ом(ft©)2 |
|
|
|
a |
G2 + G2 |
(mo) 2 |
|
(©) = — |
1 |
('G M — G d) tun |
(59) |
|
|
a |
G2a + G 2 |
(«a> ) 2 |
|
М<*>) = |
|
(GM— Gd) n<o |
|
|
|
Gd + Gju(«“ )2 |
|
||
|
|
|
||
Для малых значений частоты (со —>0) |
(0) достигает наиболь |
|||
шего значения О* (0) = |
, |
а <Н (0) и (5# (0) |
обращаются |
|
в нуль. |
|
скоростях деформации ошибка об |
||
Таким образом, при малых |
||||
ратно пропорциональна конструктивному коэффициенту тензодат чика а и длительному модулю упругости Gd; равенство нулю мни мой амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик ошибки
означает совпадение по фазе |
деформации решетки |
и основного |
||||||
материала. С ростом |
частоты |
•&R |
(со) |
монотонно убывает; |
'(Н (©) |
|||
также убывает и при ©m,n = |
£ дп |
достигает |
минимального зна- |
|||||
чения ■fl'min (©min) |
= |
------- &~г д 1 |
при |
дальнейшем |
увели- |
|||
чении частоты (ю |
—>оо) Ф* (оо) |
- — |
|
(оо) = |
0 и |
(оо) = |
||
= 0.
Таким образом, при весьма высоких скоростях деформации ошибка обратно пропорциональна конструктивному коэффици енту тензодатчика а и мгновенному модулю упругости связую щего GM, что соответствует ее наименьшему значению. Равенство нулю мнимой амплитудно-частотной и фазо-частотной характе ристик ошибки, как и в случае малых частот, означает совпаде ние по фазе деформации решетки и основного материала.
Полученные выше предельные значения динамических харак теристик ошибки будут верны при любой форме оператора 0 . При всех формах оператора 0 сохраняется также и монотонность
функции |
(со). Вид же функции О7 (со) зависит от формы опе |
ратора 0 |
и для иных форм оператора она будет иметь несколько |
экстремумов.
Частотные характеристики ошибки тензодатчика при многоэлементном спектре связующего
и больших значениях fla
Из выражения (58) несложно получить выражение для дей ствительной и мнимой амплитудно-частотных характеристик
ошибки при |
произвольном |
дискретном спектре связующего, |
||
для которого |
0 (р) |
=• |
|
Ji |
|
|
JM+ |
|
|
|
|
|
1+ рпц |
|
|
|
1 = 1 |
||
|
|
|
||
|
6й (а)= |
1м |
+ |
Ji |
|
1+(mt(D)2 |
|||
i=i
У / m / со
i=i Т + {пц со)2
Как и ранее, действительная амплитудно-частотная харак теристика представляет собой монотонно возрастающую функцию угловой частоты; ее предельные значения
Таким образом, действительная амплитудно-частотная харак теристика ошибки для больших значений fla полностью опреде ляется динамической податливостью связующего (см. стр. 78). При присущей связующим большой разнице в постоянных вре мени для узкого диапазона изменения угловых частот со (2 по рядка) функция (со) имеет такой же вид, как и для одноэле ментного спектра; ее выражение подобно выражению для дина мической податливости связующего
(®) = т 1 + (тп+1 <й)2
где п < k.
Так как спектр связующего содержит слагаемые с малым зна чением постоянной времени, функция (со) не будет горизон тальной даже в области больших значений со, а величина получаю
щейся при этом погрешности будет пропорциональна величине
Qdun _ QduH
критерия ползучести * д -д^н связующего, полученной при
°м Gd
его испытании в динамическом режиме. Однако, поскольку всегда К < 1, подъем характеристики (со) при больших частотах ог раничен: функция имеет горизонтальную асимптоту. Видимо при больших частотах амплитудные погрешности малы. Например, К- Финк, экспериментально определявший переходный коэф фициент при весьма высоких скоростях нагружения, получил то же его значение, что и в статическом режиме (точность опыта 0,05) [68]. Описываемые погрешности имеют большие значения
в интервале частот в долях герц. |
ошибки при |
Мнимая амплитудно-частотная характеристика |
|
со = 0 и со —>оо обращается в нуль -fH (0) = О"7 (оо) |
= 0, в про |
межутке 0 < со <* оо она имеет несколько минимумов, число ко торых совпадает с числом элементов в спектре связующего.
В силу монотонности О* (со) |
мнимая амплитудно-частотная |
и фазо-частотная характеристики |
ошибки имеют одинаковый |
вид. |
|
Векторная диаграмма динамических характеристик тензодатчиков
Наглядное представление о соотношениях между различными динамическими характеристиками тензодатчика и их изменением в зависимости от угловой частоты может быть получено при рас смотрении векторной диаграммы (рис. 69).
Векторы К (со) и —Ф (со) имеют общую точку. При изменении угловой частоты со общая точка векторов движется по линии годо графа, а начало вектора К (со) и конец вектора # (со) остаются соответственно в начале координат и в точке А с координатами (1, 0). Длина вектора К (со) соответствует экспериментально полу
ченной величине ]/*[е£ (w)]2-f- [&JP(°>)]2.
Проекции векторов К (со) и ft' (со) на действительную ось пред ставляют собой действительные амплитудно-частотные характе ристики тензодатчика и его ошибки, их сумма равна 1. Проекции векторов на мнимую ось представляют собой мнимые амплитудночастотные характеристики тензодатчика и его ошибки. Углы между
положительным |
направлением |
действительной |
оси |
и векторами |
|
К (со) и Ф (со), отсчитываемые |
против часовой |
стрелки, соответ |
|||
ственно |
равны |
фазо-частотным характеристикам |
тензодатчика |
||
и его ошибке. |
|
|
общая точка век |
||
При |
изменении угловой частоты от 0 до оо |
||||
торов движется по годографу в направлении, указанном стрел
ками. При |
этом величина eR (со) монотонно |
возрастает от |
(0) |
||
до |
Ер (оо), |
а величина ftR (со) монотонно |
уменьшается от |
ftR (0) |
|
до |
ftR (оо). |
Величины е/ (со) и —ftJ (со) |
при |
предельных значе |
|
ниях частоты (со = 0 и со—>оо) обращаются в нуль; при промежу точных значениях частоты они имеют максимумы, число которых
определяется спектром |
связующего. |
Точно |
таким же образом |
|
с ростом частоты со изменяются углы |
(со) |
и (3^ (со). |
||
Динамические характеристики тензодатчиков в общем случае |
||||
Из выражений (54) и (42) имеем |
|
|
||
(®) = |
---------W----------. |
(60) |
||
|
|
Паcth ■-!%- -I-dpla |
|
|
при этом |
|
|
|
|
г _ |
-| / |
b Go -}- GMnm |
|
|
1 ~~ |
I |
EF 1 + |
пт 9 |
|
Исследование частотной характеристики ошибки ft (со) при произвольных fla позволяет выявить связь между динамическими погрешностями тензодатчиков и распределенным характером пере дачи деформации на решетку.
Действительные и мнимые амплитудно-частотные характери стики можно получить из выражения (60), используя выражение (55). Однако полученные выражения весьма громоздки и крайне неудобны для анализа, вследствие чего целесообразно исполь
зовать иной метод определения |
функций |
ftR (со) и ftJ (со). |
|||
Полагая для одноэлементного спектра |
|
||||
х |
Л Г |
l |
/ |
Gd + |
GMnp |
1 |
V EF |
У |
EF |
1 + п р ' |
|
можно рассматривать ft как функцию коэффициента связи /. Поскольку р в этом выражении можно рассматривать как комплек
сную переменную (15), то / также можно считать комплексной величиной. Функция ■&(/) является мероморфной и может быть разложена в ряд [29]. Представим ft (/) в виде
M l |
п shи |
|
|
Па |
|
|
|
#(/) = Ft (П |
c h - ^ + W s h '^ - ’ |
|
|
|
|
||
При таком представлении функции это выражение можно |
|||
разложить в ряд |
|
|
|
Fi (0) |
Fi (fK) |
f |
(61) |
*(/) = F%(0) |
|
|
|
где fK— значения переменной |
/, для которых F2 (/) = 0. |
|
|
Рис. 70. Расположение корней fK функции F2 (/) [F2 (/) = 0]
Легко убедиться, что
/ k = ± ( * _ 1 + JL)_2£_*. |
|
(62) |
|||
Расположение корней fK по оси |
/ дано |
на |
рис. 70, |
при этом |
|
fK определяется точками пересечения |
графиков а/ и ctg |
-. При |
|||
больших индексах k fK |
2jt-t ^~zJ) > ПрИ малых £ разность -у- X |
||||
X Г у р — (А— 1) я /1 |
увеличивается, но |
не |
превосходит у • |
||
* Знак плюс и минус перед скобкой здесь и далее относится соответственно к плюсовым и минусовым значениям k.
Эта разность в выражении (62) обозначена через v. Очевидно,
что F x (0) = |
|
2 sh - |
|
и Л ( 0 ) = 1 |
и далее |
|
||||||
lim —Tj— = 1 |
|
|||||||||||
|
|
/->0 |
Т1а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л (/к) = |
sin (^k — 1 + -£-) л |
|
|
(63) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F'i (/«) = |
-jf |
Ft (f) IM K = |
± |
i [ ( T - -f *) |
sin (k - |
1 + - f )* |
|
|||||
|
-f- |
d(^k — 1 + -g- ) Л co s ^ k — 1 |
-)—2~ ) |
я J . |
(64) |
|||||||
Подставляя |
выражения |
(63) |
и |
(64) |
в |
выражение (61) и |
||||||
объединяя слагаемые с индексами + k |
и —k, |
получим |
|
|||||||||
|
|
|
|
оо |
|
Ьв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0(Л = |
1 - |
|
|
|
EF |
|
|
|
•X |
|
||
|
b e |
, |
4 д 2 |
/ |
V \ 2 |
|
/ |
|
||||
|
|
V \ 2 |
|
|||||||||
|
|
|
2k=\ - |
|
|
|
|
|
\ к + ~2~)л' |
|
||
X |
|
|
|
la sin (k + |
Л |
|
|
-• |
(65) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( A + |
rf) |
sin |
( f c + - j - ) « + d |
(fc + |
- f |
) л с « ( а + - £ - ) я |
|
|||||
Этот ряд позволяет получить частотные характеристики ошибки тензодатчика (а также функцию ползучести) при любой форме оператора 0. Для одноэлементного спектра
ьв
_______ §£___________________ Да + GMnp_______
G<? + № ) 2 + 1°м + №«)2]np •
EF |
/2 V |
2 / |
|
a |
|
где
Для получения частотных характеристик ошибки нужно найти действительную и мнимую части выражения (66) при р = ©t-
Re |
|
Од + |
GMnp |
|
Од + |
(Jig* ) 2 + |
[GM+ (л ^ )2] np p=toi |
|
|
|
Од[Од |
(л£к)2] -f- GM[GM-)- (л^/с)"] (tun)2 |
(67) |
|
|
[Gd + (лЫ“12 + 10 м 4“ (я£*)2]2 (п<й)2 |
|
||
Im |
|
Gd ~l~ GMnp |
|
|
Gd 4" (л§/с)2 4“ [Ом 4“ (л£/с)-1nP P=(oi |
|
|||
|
_________ (GM — Gd) (л^/с)2 ПО)__________ |
(68) |
||
|
[Од -4 (я Ы 2]2 + [Ом + (я Ы 2]2 (nwf • |
|
||
Подставляя выражения (67) и (68) в выражение (65) и рассмат ривая ft (/) вновь как функцию частоты со, получим действитель ную и мнимую амплитудно-частотные характеристики ошибки тензодатчика
|
•(яЕ,П + в«[в«+ ("£,)*] (я®)1 |
1 |
||||||
• * ( . ) - 1 - 2 - ^ |
( Я |
| * ) * ] * + 10л + (яЕ«)*1*(яа))* |
(Я§/^а)26 |
|||||
|
|
|
|
|
|
4EF |
||
Ь = 1 |
|
|
|
|
|
|
||
la sin |
ЛlKlg |
лГ |
Ь |
|
|
|||
- |
2 |
V |
EF |
|
(69) |
|||
|
|
, |
djllKlg |
| /Т ~ |
cos Л^/с^д |
|||
V — |
|
|||||||
V |
EF |
|
|
2 |
У EF |
2 |
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
(со) = - |
(GM- G d) (nlKfnu>_______________ 1 _ |
|||||||
(л Ы 2 |
] 2 + |
[Ом + (я Ы '2 |
] 2 (я®)* ' (я £ Л ) 2 Ь X |
|||||
[Gg + |
||||||||
4EF
Из выражений (69) и (70) следует, что действительная и мни. мая амплитудно-частотные характеристики ошибки тензодатчцка для одноэлементного спектра связующего могут быть представ
лены в виде рядов. Сходимость рядов порядка |
Каждый 1цен |
156
ряда в выражении (69) имеет тот же вид, что и выражение (со) из частотных характеристик (59), а каждый член ряда в выражении
(70) — тот же вид, что и выражение ^ (о) из |
частотных харак |
теристик (59). Все составляющие выражения |
(69) — монотонно |
убывающие функции, а все составляющие выражения (70) имеют максимум.
Отметим, что отдельные слагаемые вида (67) в функции (со) будут существенно отличаться от постоянной в случае малых индексов k при больших значениях (/гео)2, а в случае больших индексов к при малых значениях (/гео)2. Практически это приведет к расширению полосы частот, в которой действительная ампли тудно-частотная характеристика тензодатчика меняет свое зна чение. Подобные же соотношения верны по отношению к мнимой
частотной характеристике: переход от выражения (59) для (ео),
верного при больших значениях /7а, к выражению (70), |
верному |
в общем виде, приводит к некоторому «размазыванию» |
графика |
частотной характеристики (со) и расширению полосы частот, для которых она имеет значение, существенно отличное от нуля.
При произвольной форме оператора 0 из выражения (65) ана логичным путем могут быть получены действительные и мнимые
амплитудно-частотные характеристики ошибки |
тензодатчика. |
При /е-элементном спектре связующего функции |
(со) и ft*7 (со) |
будут состоять из к рядов вида (69) и (70). Каждый ряд будет расширять полосу частот, определяемую одной из постоянных времени.
Из выражения (65) может быть получено выражение для функ ции ползучести тензодатчика при любом спектре связующего с учетом распределенной передачи деформации на тензорешетку. Полученное выражение для одноэлементного спектра представ ляет собой сходящийся ряд экспоненциальных функций времени, все постоянные времени которых вкладываются в конечную и довольно узкую полосу частот от п (при к —>сю) до
— ( * , Ьт!Г " ("РЯ * “ °>'
0s+(v ) —
4. МЕТОДЫ ВНЕСЕНИЯ ПОПРАВОК В РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕНЗОМЕТРИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
Выше было показано, что тензодатчик является линейной динамической системой, характеризуемой передаточной функцией К (р) — 1—tl (р). Между деформацией основного материала (вход ным сигналом тензодатчика) и деформацией решетки (выходным сигналом тензодатчика) существует связь
вр (0 = * ( /> ) в* (0 . |
(71) |
2059 |
157 |