Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Математическая статистика в технологии машиностроения

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

8.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2216 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Для этой цели необходимо подвергнуть регрессионному анализу полученные результаты наблюдений по методу, изложенному в ча сти первой, гл. V, п. 6. Но прежде чем производить регрессионный анализ, необходимо графически установить наличие и вид связи

путем построении в координатах х,- — т и л и х, — номер группы

кривой зависимости Xi от т или от номера группы. Если вид связи приближенно лйВейный, то при помощи регрессионного анализа

необходимо определить коэффициенты аи b уравнения х = а + Ьх и вычислить дисперсии s\ и si. Путем сравнения дисперсии s? и si при помощи критерия Т необходимо проверить линейность

связи Xi с т. Если эта гипотеза также подтвердится, то процесс можно считать технологически устойчивым и отнести его к I типу точности.

Необходимо заметить, что при проверке гипотез равенства

групповых дисперсий и гипотезы линейности связи xi с т, не сле дует предъявлять жестких требований к критериям значимости. Практически можно считать процесс технологически устойчивым,

если однородность групповых дисперсий и линейность связи х,- с т подтверждаются критериями G и Т при доверительном уровне значимости их, равном q = 0,01, а не 0,05. Если в результате

регрессионного анализа линейность связи х,- с т не подтвердится, то процесс нельзя считать устойчивым во времени и необходимо вы яснить причины его неустойчивости, устранить их и после этого повторить статистический анализ.

Если в результате анализа будет установлено, что изучаемый процесс является технологически устойчивым, то для оценки точ ности его нужно знать, к какому типу точности он относится не после стабилизации теплового режима системы СПИД, а с мо мента пуска станка. Для этого необходимо взять большую вы борку сразу же после наладки и пуска станка. В том случае, когда процесс относится к I типу точности с момента пуска станка, определение суммарной погрешности обработки А для лю бого времени т работы станка можно производить на основании следующих соображений. Функциональные погрешности, по-су- ществу, носят случайный характер для каждой детали. Распреде ление функциональных погрешностей А/ можно считать подчиняю щимся закону равной вероятности, а распределение суммы функ циональных и случайных погрешностей А/, с — закону композиции равномерного и нормального распределения. Поэтому формула Для определения А будет иметь следующий вид:

Д = Д „ + Д Ле,	(221)
где
Ar.c = 4 - V /С/ Д/ Н- Af;	(222)

здесь К а — коэффициент относительного рассеивания для рас пределения суммы случайных и функциональных по грешностей;

Kf — коэффициент относительного рассеивания для рас пределения функциональных погрешностей.

^Так как А/ при устойчивом процессе подчиняется закону рав ной вероятности, то Kf = 1,73. Что касается коэффициента Ка, то величину его следует определять в зависимости от отношения

Дс

др Поданным проф. Бородачева Н. А. [1] этот коэффициент

равен

Тд/с	0,7	1	2	3
Ка	1,1	1,19	1,38	1,49
д/	следует принимать АГД =	1,73-	В	уравнении
При - ^ > 3	следует принимать АГД =	1,73-	В	уравнении

X = а + 6т, выражающем изменение мгновенных средних во времени, слагаемое Ьх равно функциональной погрешности за время т с момента пуска станка. Следовательно, для любого от резка времени т с момента пуска станка функциональная погреш ность определяется по формуле

Ah = Ьх.

(223)

Случайные погрешности подчиняются закону нормального рас пределения, поэтому

Ас - бег,

где

Постоянные погрешности для рассматриваемого случая опре деляются соответственно для наружной и внутренней обработки:

Ап — а — За — НО\

(224)

А„ = ВО — а — За.

Подставляя значения Д„, Д/т и А,- в уравнение (221) и прини

мая Kf = 1,73 и К) = 3, получим суммарную погрешность соот ветственно для наружной и внутренней обработки:

Д = [а — За — НО] +

1/36V + 36а2;

Д = [ВО —а — За] +

Так как погрешности Д„ и Ас не зависят от времени т, то, зная допуск на размер 26, можно вычислить резерв точности Д/т, при ходящийся на функциональные погрешности, и определить время т работы станка без подналадки из следующего уравнения:

26 = Д„ + 1 Ь ] / 7 С2д 2т + д 2>
откуда
Д/т = -Щ- У~к1(26 + Д„)2- Д ? .	(226)
Так как
Д/т = К
то
	(227)

При расчетах А и А/ вместо времени т можно пользоваться по

рядковыми номерами	групп, на которые разбита выборка, т. е.
полагать, что х г = 1;	т2 = 2; .	хт = т. В этом случае, при
няв за начало отсчета группу №		1, в формуле (223) надо вместо т

подставить величину га, а затем, зная время обработки одной де тали ty можно перейти от га к т по формуле

т = mntу	(228)
где п — число деталей в группе;
га — номер группы.

Если на основании графика эмпирической зависимости Xi от т будет установлено, что изучаемый процесс относится ко II или

III типу точности, то проверку гипотезы линейности связи xi с т следует производить для групп деталей, начиная с того поряд кового номера, для которого по графику обнаруживается точка перегиба кривой или для которого т = х г (см. рис. 36, б, в).

Определение функциональных и постоянных погрешностей для процессов II типа точности производится по следующим формулам.

Сначала спрямляется кривая изменения хь на участке от т0 До х г (см. рис. 36, б) и определяются для нее параметры ах и Ьг уравне

ния х\. = ах + Ьх (тх — т0) по способу наименьших квадратов. Вторая часть этой кривой на участке от х г до хк после выпрямле ния будет определяться уравнением Х2. = а2 + Ь2 (*к — Ti)« Функциональные погрешности в данном случае для момента вре

мени х х — т0 будут равны А/ , а для момента хк —	равны Д/2, где
Д/1 = t>i (тх — т0);	(229)
А[2= b2(rK— xj).	(230)

Суммарную функциональную погрешность за период времени

хк — т0		приближенно можно определять по формуле
		A/ = A/i + Af2			(2^ )
или более точно по формуле
		\f — J L 1 Г	1(2(ni A/i + п2 А/г)	’	(232)
		J/	/*1 +/1а	’	'	'
где	— число деталей, обработанных за время от т0 до
п 2 — число деталей, обработанных за время от хг до т,п\
п х +		п2 = тп — объем выборки;
К =		1,73;
K Af	=	1,2.
Постоянная погрешность определяется соответственно для
наружной и внутренней обработки по формулам:
		Дл —	— За — //О;		(233)
					(233)

Дп = ВО — аг — За.

Суммарная погрешность обработки за период времени от т0 до хк определяется по формулам (221) и (222).

Если процесс относится к III типу точности, то при определении функциональной погрешности за время от т0 до хк принимается во внимание только Д^2, т. е. Д/ = Д/2%

При вычислении постоянных погрешностей используется фор мула (233), в которой ах надо заменить на а2. По величине Д/ для процессов I типа и по величине Д/2 для процессов II и III

типов можно определить величину относительного износа режу щего инструмента, если известны скорость резания v и машинное время обработки одной детали t0:

для процессов I типа

Д; 1000

(234)

U° 2vt0mn *

для процессов II и III типов Д/21000

U° 2vt0ti (тк — тх) ’

где тк — номер последней группы; т1 — номер группы, соответствующей моменту времени тх.

Пример 41. С токарного полуавтомата, настроенного на обработку валиков, взята большая текущая выборка объемом N = 50 шт. Результаты измерения дей ствительных отклонений xi размера D = 55_0,2 мм от номинального значения приведены в табл. 42, где они указаны в порядке изготовления деталей.

Требуется установить, по данным выборки, является ли процесс устойчивым и какова его точность.

Прежде всего следует выяснить, к какому типу точности относится исследуе мый процесс. Для этой цели, не прибегая к трудоемкой процедуре проверки гипотезы случайности выборки по методу последовательных разностей, можно

воспользоваться графическим способом. Этот способ заклю чается в следующем. Выборка делится на группы по п шт. в порядке их изготовления, для каждой группы вычисля ются средние арифметические

XI и строится график зависи

мости xi от номера группы, по которому и определяется тип точности процесса.

В данном примере выбор ка разбита на 10 групп по 5 шт. деталей в группе. Исход ные данные, необходимые для дальнейших расчетов, приве дены в табл. 43.

На рис. 39 приведена эмпирическая кривая измене

ний групповых средних xi в зависимости от номера груп пы. Эта кривая позволяет сделать заключение, что ис следуемый процесс относится

кI типу точности.

Втабл. 43 значения

групповых средних xi	вычи
слены по формуле	xi =

1	xif	групповые
= —
п	1
дисперсии		— по формуле

Для устойчивости про цесса I типа точности необ ходимо выполнение двух ус ловий: 1) групповые диспер

сии sj отличаются друг от друга случайно; 2) связь J

с т или номерами групп ли нейна и выражается уравне

нием xi = а + Ьх. Выполнение первого ус

ловия устанавливается пу тем проверки гипотезы равен ства дисперсий при помощи критерия G:

smax

т Ш “ 0’166'

S 3

СЗ

гг

о .

X X

а>

а .

	ю	153
		—
		—155
	со	3
	со	7
		7

а3

	—157
о	—155
о
ст>	—152
ст>
со	—152
со
	—154
со	—162
со
ю	—162
ю
	—158
со	—160
со
(N	—152
(N
-	—162
-
№ детали	*
	*

30	о	45	—130
30	7	45	—130
29	—136	44	со
29	—136	44	7
			со
28	—142	43	—127
27	—138	42	СО
27	—138	42	7
			СО
26	—144	5	—127
		5
25	—146 [	40	—125
24	о	39	—127
24	7	39	—127
23	о	00	—128
23	7	00	—128
		со
	о		ю
22		37	CN
22	7	37	7
	7		7
<м	—144	СО	—135
<м		со
20	—145	35	—133	50
05	—142	34	СО	49
	—142	34	7	49
			СО
00	СО	со	3 4 ;	48
00		со	—1
	7	со	—1
		со

	Th	32	—140	47
	7	32	—140	47
	7		—132
СО	—148	СО	—132	46
СО

г	£	г	3?	2

—119 —121 —115 —120

Исходные данные для статанализа

						N° группы
№ детали	1	2	3	«	1 5	1 в \|	7	1 8	1 9	1 10 \|	2
			Отклонения размеров <от номинала в м к м
1	— 162 — 162 — 157 — 148 — 144 — 144 — 132 — 135 — 127									— 125
2	— 152 — 154 — 161 — 144 — 140 — 138 — 140 — 125 — 133									- 1 1 9	—
3	— 160 — 152 — 161 — 146 — 140 — 142 — 134 — 128 — 127									— 121	—
4	— 158 — 152 — 155 — 142 — 140 — 136 — 136 — 127 — 133									- 1 1 5	—
5	— 162 — 155 — 153 — 145 — 146 — 140 — 133 — 125 — 130									— 180	—
2	— 794 — 775 — 775 — 725 — 710 — 700 — 675 — 640 — 650									— 600	—
X i	— 159 — 155 — 155 — 145 — 142 — 140 — 135 — 128 — 130									— 120 — 1409
4	17	17	20	6	8	10	10	10	9	13	120

По таблице приложения 14 критическое значение G при доверительной ве роятности q = 0,05 равно G = 0,33. Так как GH< G, то наша гипотеза подтвер ждается и, следовательно, первое условие устойчивости процесса имеется на лицо.

Для проверки выполне ния второго условия необ ходимо предварительно вы числить параметры а и b

уравнения Xi = а + Ьх и за тем определить значения дис

персий Sj и s\ для проверки гипотезы линейности регрес сии xi на т.

				Для	вычисления необхо
				димых	данных составлена
				табл. 44.	заполнения графы 3
				Для	заполнения графы 3
				табл. 44 предварительно вы
				числим т:
Рис. 39. Кривые зависимости xi от т:					т
Рис. 39. Кривые зависимости xi от т:
а —эмпирическая;	б —теоретическая				1
					1
На основании граф	1, 4 и 5 табл.		44 и формул (171)		вычисляются пара
метры а' и Ь:
	— 1409
	а' = -	10		■= — 141;

6 = - 5 1 L - 4 2

82,5 4‘ •

Для заполнения графы 6 табл. 44 необходимо вычислить теоретические зна чения Хог по уравнению*

*о/ = а' + b (т,- — т) = — 141 + 4,2 — 5,5) = — 164,1 + 4,2тл

		Данные для регрессионного анализа
X I		тi —X	(г,.--)	xi h i - x)	Хо/	(*1 - Xoi)	Cxi - *0i>2
— 159	1	- 4 ,5	20,25	720	-159,2	+0,2	0,04
-155	2	—3,5	12,25	540	—155,6	+ 0,6	0,36
—155	3	- 2 ,5	6,25	388	—151,4	—3,6	13,00
—145	4	- 1 ,5	2,25	218	-147,2	+2,2	4,84
—142	5	- 0 ,5	0,25	71	—143	+ 1,0	1,00
—140	6	0,5	0,25	—70	—138,8	- 1 ,2	1,44
—135	7	1,5	2,25	—203	—134,6	- 0 ,4	0,16
—128	8	2,5	6,25	—320	—130,4	4-1,6	2,56
—130	9	3,5	12,25	—455	—127,2	- 2 .8	7,84
—120	ю-	4,5	20,25	—540	—122	—2,0	4,00
—1409	55	0	82,50	349	—	—	35,24

где по формуле (170) значение а = а! — Ь^.= 164,1 является параметром урав нения

Хоl = a+b%\ b = 4,2.

На основании данных графы 8 табл. 44 дисперсия s2 равна

n Y	(Xi-Xot)2
1	т — 2	5-35,24	= 22.
2 _	т — 2	10 — 2

Дисперсия 4 (случайных погрешностей) равна

S2 = _ L V S2_ 120_1О

1 т i£1j 1 10in “ 12,

откуда

Sl = К 12 = 3,46.

Для расчета суммы случайных погрешностей вычислим о по формуле

о = z2slt

где г2 по таблице приложения 10 для п = 50 равно 1,246. Следовательно,

а = 1,246-3,46 = 4,3.

Для проверки гипотезы линейности связи вычислим Тн:

Тн

По таблице приложения 6 для k Y= 10—2 = 8 и k 2 — m (п — 1) = 10-4 =

— 40 Тоь = 2,18. Так как Тн < Г05, то гипотеза линейности связи xi с т под тверждается.

Таким образом, в результате анализа установлено, что процесс является устойчивым во времени и относится к I типу точности. Теперь можно вычислить постоянные погрешности, случайные погрешности, резерв точности и время работы станка без подналадки

Ап = а — За — НО = —164,1 — 3 -4 ,3 + 200 = 23 мкм\

Ас = 6а = 6- 4,3 = 26 мкм.

По формуле (227):

Д ;Т=

v 1,733 (200 — 23)2 — 262 = 174;

]Т_ 174

Ь ~ 4,2

ИЛИ

т* = 41 - 5/ = 205/,

где t — штучное время обработки в мин.

5. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПОСРЕДСТВОМ МАЛЫХ ВЫБОРОК

Метод малых выборок имеет ряд преимуществ перед методом больших выборок. Основными преимуществами его являются, вопервых, уменьшение объема вычислительных работ, во-вторых, возможность следить за динамикой изменения точности процесса во времени, чего нельзя сделать с помощью метода боль ших выборок. Метод больших выборок может дать представле ние лишь о точности и устойчивости процесса в период взятия выборки, которые могут сохраниться и в дальнейшем, если после взятия выборки условия протекания процесса не изменяются. В действительности такой неизменности производственных условий заранее предвидеть нельзя. Например, при работе на прутковом автомате в течение смены производится несколько раз замена ма териала (смена прутка), смена инструмента в связи с износом, под настройка станка и т. д., которые могут вносить значительные коррективы в полученные ранее параметры распределения. Метод малых выборок, если последние берут в течение всей смены регу лярно через определенные промежутки времени, позволяет полу чить полную картину состояния процесса в течение исследуемого периода, выяснить степень его устойчивости, а также выявить причины недостаточной устойчивости процесса во времени, если она есть.

Статистический анализ малыми выборками производится сле дующим образом. Выборки объемом п = 5-4-10 шт. берутся через определенные фиксированные промежутки времени (например, через 15—30 мин). Период времени для отбора проб устанавли вается опытным путем и зависит от производительности станка, объема выборки и степени устойчивости технологического процесса.

Каждая выборка должна быть проверена на случайность по методу последовательных разностей, для каждой выборки нужно

158

вычислить X и s2 по формулам (5) и (9). Далее необходимо дли каждых двух смежных выборок проверить гипотезу однородности дисперсий выборок при помощи критерия Т Если гипотеза одно родности дисперсий выборок подтверждается, то это свидетель ствует о стабильности рассеивания или о том, что сравниваемые выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности. При подтверждении гипотезы однородности дисперсий двух выборок следует проверить гипотезу однородности двух выборочных сред них по критерию /-Стюдента.

Подтверждение гипотезы равенства двух смежных выборочных средних означает, что центр настройки станка не изменился в мо мент взятия данной выборки и остался таким, каким был при взя тии предыдущей выборки, т. е. процесс находится в стабильном состоянии. Когда гипотеза равенства двух средних выборок не подтверждается, это свидетельствует о смещении центра настройки станка во время взятия данной выборки. Так как выборки берутся через определенные промежутки времени, то при обнаружении смещения центра настройки или изменения зоны рассеивания можно определить период времени, через который наступило на рушение стабильности процесса.

Обнаружив факт нарушения стабильности процесса, можно установить и область, в которой следует искать причину этого явления. Неоднородность выборочных дисперсий, свидетельст вующая о нестабильности рассеивания, указывает на то, что при чину этого следует искать в станке или установочно-зажимном приспособлении, или в механических свойствах обрабатываемого материала. Например, из-за недопустимого биения шпинделя станка, недопустимого биения зажимной цанги или зажимного патрона, резкого увеличения твердости материала в каком-либо прутке может значительно увеличиться и зона рассеивания раз меров.

Неоднородность выборочных средних говорит о смещении центра настройки, а значит, причиной этого может служить либо износ режущего инструмента, либо ослабление крепления ин струмента, либо другая причина, но связанная с настройкой ин струмента на размер.

Таким образом, беря в течение смены через определенные ин тервалы времени малые выборки из текущей продукции станка, вы числяя средние и дисперсии выборок путем сравнения и оценки их расхождения при помощи критериев Т и /, можно установить мо менты разладок процесса и даже источники этих разладок. Устра няя причины разладок, можно привести его в состояние, когда рассеивание размеров в каждый момент времени будет носить более или менее стабильный характер. Что же касается центра рассеивания размеров, то можно добиться такого положения, что смещение его во времени будет зависеть главным образом от ин тенсивности размерного износа режущего инструмента и, следо вательно, носить вполне закономерный характер. Другими сло-

вами, в результате статистического анализа процесса его можно привести в устойчивое состояние.

После того как процесс будет приведен в устойчивое состояние, следует установить, к какому типу точности он относится. Для этой цели необходимо параллельно с вычислением средних арифме тических выборок строить кривую изменения средних для каж дого номера выборки. По внешнему виду полученной кривой можно установить и тип точности изучаемого процесса. Если процесс относится к I, II или III типу, то дальнейшие расчеты производятся по аналогии с изложенным в п. 4 с той лишь разни цей, что вместо номеров групп будут фигурировать номера выбо рок. Если же процесс относится к IV типу, то для определения

суммарной погрешности обработки необходимо определить X Q и <т0 генеральной совокупности, из которой брались малые выборки, по следующим формулам:

—\ т —

X o ^ - L % X lt

т !

где т — число выборок,

СГо ^ Z2S ,

где

z 2 определяется по таблице приложения 10; при этом в ка честве п нужно принимать тп (п — объем выборки, т — число выборок).

При вычислении X Q и 5 необходимо резко выделяющиеся зна

чения Xi и s?, носящие совершенно случайный характер, исклю чать из суммы.

Для упрощения расчетов при вычислениях s\ и 5 можно поль зоваться размахами выборок R = хтах — xmin. В математической статистике доказывается, что между средним значением размахов

R = — 2 R t малых выборок (п ^ 10) и S этих выборок суще-

ствует следующая зависимость:

SR dn ’

где dn — коэффициент, зависящий от объема выборки п. Значения dn для различных п приведены на стр. 161.

Доверительные границы для о0 генеральной совокупности, из которой извлекались выборки, определяются неравенством

R_ ___			1
dn 1+ t	Уп_	а п 1 - /	У
	Vт		V т

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2216 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги