Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Математическая статистика в технологии машиностроения

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

8.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 227 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Вспомогательные данные для вычисления моментов

XL	и	bi	bifi			b\ft	bt+1	(6гИ)Ч-
1	2	3	4	5	6	7	8	9
—0,13	3	—3	—9	27	—81	243	—2	48
—0,11	16	—2	—32	64	—128	256	—1	16
—0,09	22	—1	—22	22	—22	22	0	0
—0,07	25	0	0	0	0	0	1	25
—0,05	19	1	19	19	19	19	2	304
—0,03	13	2	26	52	104	208	3	1053
—0,01	2	3	6	18	54	162	4	512
	100	—	—12	202	—54	910	—	1958

ясно из их заголовков и не требует пояснений. За начало отсче тов и здесь следует принимать а = xt с наибольшей частотой. В табл. 9 за начало отсчетов принята величина а = —0,07, ве-

личина разряда с = 0,02, а величина et = —-— = — ^ — •

Первые семь столбцов служат для вычисления моментов, а по следние два (8 и 9) — для проверки правильности вычисления на чальных моментов.

Пользуясь формулой (2 1) и данными табл. 9, вычислим началь ные моменты:

	£	(4)	—12	п 10
Vi = ^£ n( r2)= T o o - = —0,12.
	£(5)
V2	£	(2) ~	100 ~~ 2’02;
v3 =	- § - ! ? = ^ ? = —0,54;
	£	(2)	100
v, =	£	(7) _	910 _	п .
	£ ( 2) ”		ю о - у’ь

Для проверки правильности вычисления первых^ четырех начальных моментов необходимо вычислить начальный момент относительно значения, передвинутого на один разряд от а в на правлении убывающих значений по формуле

v4 — — £ h (bt +	1)4,	(100)

где в/ =	xt — а
	с

Если значение v4, вычисленное по этой формуле, совпадает со значением v4, вычисленным по формуле

v4= V0 + 4vi + 6v2 + 4v3 -f~ V4,

(101)

то вычисления начальных моментов следует признать правиль ными. Подставляя в формулу (100) значения из табл. 9, получим

2(9) 19Е>8_ . Q го £ ( 2) = Ш ~ 19’58*

По формуле (101) имеем

V4 = 1 + 4 (-0 ,1 2 )+ 6-2,02 + 4 (—0,54)+ 9,1 = 19,58.

Следовательно, начальные моменты вычислены правильно. Для вычисления центральных моментов произведем предвари

тельно вычисления	следующих	значений:
VI = —0,122=	0,0144; v? = —0,0017; v* =		0,0002.
Тогда, пользуясь формулами		(26), (27) и (28),	получим

р2 = v2 —v? = 2,02 —0,0144 = 2,0056;

H3=v3—3v2vi+2v? = —0,54—3 -2,02 (—0,12)+2 (—0,0017) = 0,1838;

р-4= v4—4v3vi + 6v2vi —3vi = 9,1 — 4 (—0,54) (—0,12) +

+ 6.2,02.0,0144 — 3.0,0002 = 9,015.

Для проверки правильности вычислений центральных момен тов определим р3 и р4 по формулам (29) и (30):

Рз = v3 — 3p2vi — v? = —0,54—3 • 2,0056 (—0,12) + 0,0017 = 0,1838;

р4 = v4—4vip3 — 6p2v? —vi = 9,1 —4 (—0,12) • 0,1838 —

— 6.2,0056-0,0144 — 0,0002 = 9,015.

Так как полученные значения р3 и р4 совпадают с ранее вы численными, то, следовательно, вычисление центральных момен тов произведено правильно.

Пользуясь моментами и формулами (23), (31), (50) и (52),

вычислим статистические		характеристики			распределения:
X = а + cv4 =	—0,07 + 0,02 (—0,12) = —0,072;
s = с /\|Г 2= 0,02 1/^0056 =					0,028;
а = —			0,1838	: 0,065;
а = —		\4	j/2,00563	: 0,065;
	У		j/2,00563
	У
гг -----	____	Q----- 9,015
			2,00562,—3 = —0,75.

8. СОПОСТАВЛЕНИЕ И ПРОВЕРКА СХОДИМОСТИ ЭМПИРИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ С ТЕОРЕТИЧЕСКИМИ

Эмпирическое распределение непрерывной случайной вели чины можно рассматривать как большую выборку из генераль ной совокупности, подчиняющейся какому-либо теоретическому закону распределения.

На основании закона больших чисел можно считать, что рас пределение большой выборки будет отражать вполне характер распределения генеральной совокупности. Поэтому по внешнему виду эмпирической кривой распределения можно приближенно установить закон теоретического распределения генеральной сово купности. Для более точного заключения необходимо сопоста вить эмпирическую кривую распределения с предполагаемой теоретической. С этой целью для каждого интервала значений случайной величины х необходимо вычислить теоретические ча стоты или частости и по ним построить теоретическую кривую распределения в том же масштабе, что был принят для построения эмпирической кривой.

Путем совмещения эмпирической и теоретической кривых рас пределения можно предварительно (визуально) оценить близость эмпирического распределения к предполагаемому теоретическому.

Более точный метод оценки закона распределения генеральной совокупности по данным большой выборки излагается в части пер вой гл. IV, п. 2.

Сопоставление эмпирического распределения с теоретическим нормальным. Пусть имеется эмпирическое распределение со сред

ним арифметическим X и средним квадратическим s. Примем эти характеристики эмпирического распределения в качестве оценки

параметров Х 0и сг0 распределения генеральной совокупности, т. е.

примем, что Х 0 ъ* X и а 0 ^ s.

Если по внешнему виду эмпирическая кривая распределения приближается к теоретической кривой нормального распределения, то можно приближенно считать, что

( 102)

где /' — теоретическая частота. Откуда

		ао	(103)
		ао	Y 2я
где п — объем	выборки	или	объем эмпирической совокупности.
с — цена	интервала	эмпирической совокупности.

Если в выражении (103) подставить

/*— *0

~Оо

то получим

f' = т ..			е 2
1		<*о	У2к
1	2	= Zt и примем, что а 0 ^		s. Тогда фор
Обозначим -у = ^е	2	= Zt и примем, что а 0 ^		s. Тогда фор
мула (103) будет иметь	вид
		r =	v z'-	(104)

Величина Zt вычислена для различных значений t и приведена в таблице приложения 4. Значение t для каждого интервала на блюденных величин х определяется по формуле

где xt принимается равным середине интервала.

Для сопоставления эмпирического распределения с теоретиче ским законом нормального распределения составляется вспомо

гательная	таблица	с данными,		необходимыми		для		вычисления
теоретических частот (табл.. 10).
								Таблица 10
Вспомогательная		таблица для		вычисления	теоретических частот
	нормального распределения при помощи функции Zt
Интервалы	Середина		х, — X	Zt	Г -	nc	7	V
значения х	интервала	t						с округле
(от —до)	x i		1 s		f ~ —		Zt	нием

Для построения теоретической кривой нормального распреде ления необязательно вычислять теоретические частоты /' для всех значений xh а достаточно вычислить координаты только четырех характерных точек кривой нормального распределения (рис. 23) по формулам, приведенным в табл. 1 1 .

Пример 20. По данным примера 19 сопоставить эмпирическую кривую с тео ретической кривой по закону нормального распределения и вычислить коорди наты характерных точек для построения теоретической кривой распределения.

Для сопоставления кривых воспользуемся таблицей значений Z/ в при ложении 4 и составим вспомогательную табл. 12.

t = \*i-X\

Например, для первой строки

t = 1—0,13 + 0,0721 = —2,07. 0,028

Для вычисления /' предварительно определена величина

пс 100-0,02 _

— = - д а _ = 7 ,5-

Таблица 11

Координаты характерных точек кривой нормального распределения

Характерные Абсцисса Ордината точки

Вершина	X	/—=0,4 —
кривой
Точка	X ± s	/s=0.242 - +
перегиба
То же	Х ± 2 s	/и = 0 ,0 5 4 -^	Рис. 23. Построение кривой нормаль
			Рис. 23. Построение кривой нормаль
»	Х ± 3 s	hs=0	ного распределения по четырем харак
			терным точкам
			Таблица 12

Вспомогательная таблица для вычисления теоретических частот нормального распределения при помощи функции Zt

	X
от	до		п	Щ	z i
от	до
— 0,14	— 0,12	— 0,13	3	2,07	0,0468
— 0,12	— 0,10	— 0,11	16	1,35	'0,1604
- 0 , 1 0	— 0,08	— 0,09	22	0,64	0,3251
— 0,08	- 0 , 0 6	— 0,07	25	0,072	0,3980
— 0,06	— 0,04	— 0,05	19	0,785	0,2940
— 0,04	— 0,02	— 0,03	13	1,50	0,1295
— 0,02	0,00	— 0,01	2	2,20	0,0355

—п

‘"[о

3,40

11,50

’23,50

28,55

21,45

9,20

2,60

с округ лением

100

5 И. С. Солонин

Для построения теоретической кривой нормального распределения вычи сляем координаты четырех характерных точек кривой по формулам табл. И :

100-0,02

=0 ,4 -71,5 = 28,6;

	0,028
/s =	0,242.71,5 =	17,3;
/as =	0 ,0 5 4 -7 1 ,5 =	3,86;

/as — 0.

На рис. 24 приведены полученные теоретическая и эмпирическая кривые распределения.

Сопоставление эмпирического распределения с законом нормального рас пределения можно производить также при помощи значений функций Ф (0- Для этой цели необходимо сначала для каждого интервала значений х

вычислить t по формуле

Рис. 24. Кривые нормального распределе ния:

а — теоретическая; б — эмпирическая

f = Хн& ^ s

где хНб — верхнее значение интер вала.

Затем по.найденному t по та блице приложения 1 определить Ф (/), а по Ф (() для каждого интер вала определить интегральную функцию F (х) = 0,5 + Ф (/). По величине F (х) можно определить теоретическую частоту /'. Для пер вого интервала она будет равна

f[ = Fx (х), а для второго интервала /2= [ F 2 ( х ) —^ (*)] п, для

любого /-го интервала/| = ]^Ft (х)—

- F t - l W ] я-

Пример 21. Сопоставить эмпирическое распределение по данным примера 19 с законом нормального распределения при помощи таблицы значений Ф (t).

Для вычисления теоретических частот составим табл. 13. Значения t вычислены по формуле

t — х*б — Х s

Например, для первой строки

— 0,12 + 0,072

0,028

Значения /' вычислены по формуле

i'l = [Fl ( x ) - F i_ l (x)]n.

Например, для четвертой строки

f\ = [0,666 — 0,386] 100 = 0,28 -100 = 28.

							Таблица 13
	Вычисление теоретических частот нормального распределения
		при помощи функции Ф (/)
	X				F (дс)=0,б+		У
		/		Ф (О	F (дс)=0,б+		У
		/	t	Ф (О	+ ф (О	V	с округ
от	До						лением
от	До
— 0,14	— 0,12	3	— 1,71	— 0,457	0,043	4 ,3	4
— 0,12	— 0,10	16	— 1,00	— 0,341	0,159	11,6	12
— 0,10	— 0,08	22	— 0,29	— 0,114	0,386	22,7	23
- 0 , 0 8	- 0 , 0 6	25	0,43	0,166	0,666	28,0	28
— 0,06	— 0,04	19	1,14	0,373	0,873	20,7	21
— 0,04	— 0 ,02	13	1,86	0,468	0,968	9,50	9
— 0,02	0,00	2	2,57	0,495	0,995	2,7	3
		100					100

Сопоставление эмпирического распределения с распределением по закону равной вероятности. Для вычисления теоретических частот /' можно воспользоваться следующим приближенным ра венством:

ср (я) =	—i — ^	— ,
Y 4 7	Ь — а	пс

откуда

(105)

где п — объем совокупности;

с— цена интервала;

Ьи а — предельные значения случайной величины х.

Учитывая, что а = 62^3 и b — а = 2а V3, формула (105) примет вид

ПС

2а КЗ '

Приняв в качестве оценки параметров распределения генераль ной совокупности статистические характеристики X и s выборки,

т. е. полагая, что	Х = а±Ь	и s =	b	можно определить а
	2	“ “	21^3

иЬ, решив совместно эти два уравнения:

а= X — sV 3\

b = X + s V з.

Пример 22. В табл. 14 в графах 1—3 приведены данные эмпирического рас пределения случайной величины х. Необходимо сопоставить его с распределением

по закону равной вероятности. Для вычисления X и s в табл. 14 в графах 4—7 приведены необходимые для этого данные.

На основе данных табл. 14 имеем

9,37

0,094;

100

Таблица 14

Таблица эмпирического распределения случайной величины х с данными для вычисления X и s

X	Середина
X	интер	/,•	xiU	xt - X	0*i~ x)2	/,(*,.-Х)2
от—до	вала	/,•	xiU	xt - X	0*i~ x)2	/,(*,.-Х)2
	Х1
1	2	3	4	5	6	7
0,02—0,04	0,03	13	0,39	—0,064	0,0041	0,0530
0,04—0,06	0,05	15	0,75	—0,044	0,0019	0,0280
0,06—0,08	0,07	16	1,12	—0,024	0,0006	0,0096
0,08—0,10	0,09	12	1,08	—0,004	0,00001	0,0001
0,10—0,12	0,11	14	1,54	0,016	0,0002	0,0028
0,12—0,14	0,13	11	1,43	0,036	0,0013	0,0143
0,14—0,16	0,15	10	1,50	0,056	0,0031	0,0310
0,16—0,18	0,17	9	1,56	0,076	0,0058	0,0520
		100	9,37			0,1908^0,191

По формуле (105), учитывая, что b — a=2sY?>:

, _ 100-0,02

13,2.

1 ~ 2-0,044-1,73

По формуле (106)

а = 0,094—0,044- 1,73 = 0,094—0,076 = 0,018;

Ь = 0,094+ 0,076 = 0,17.

На рис. 25 приведены эмпирическая и теоретическая кривые распределения равной вероятности.

Сопоставление эмпирического распределения с распределением по закону эксцентриситета (Релея). Закон распределения эксцентриситета однопараметри ческий, поэтому для вычисления функции распределения случайной величины R

F (R) = 1— е 2аг

необходимо знать только один параметр о, который связан C R HOR соотношениями

или сг

Вычислив для эмпирического распределения X R и л и S R , м о ж н о приравнять X~& R и S R ^ O R и в ы ч и с л и т ь а по указанным выше формулам.

Значения F (R) для различных — вычислены и приведены в таблице при

ложения 11. Пользуясь этой таблицей, можно вычислить теоретические значе ния F (R) для каждого наблюденного значения Ri, а по F (R) определить теоре

тические частости и частоты. При этом при вычислении — в качестве Ri надо

брать верхнее значение интервалов значений R.

Пример 23. В табл. 15 (графы 1, 2) првведено_распределение овальности ва

ликов в мкм в партии п =	100 шт., для которого X = 12,52 мкм и SR = 6,6 мкм.
Полагая S R ^ O R ,	определим
о:	/г а	/ А

В табл. 15 (графы 3, 4, 5) при ведены данные для вычисления /' Для заполнения графы 5 необходимо из каждого последующего значе ния Fi (R) вычесть предыдущие значения Fi_x (R). Например, для

второй

строки

-L- *=0,274 —

Рис. 25. Кривые распределения по за кону равной вероятности:

а —теоретическая; б —эмпирическая

—0,077 = 0,20; для третьей строки-^- = 0,513—0,274^0,24 и т. д. Графа б

заполняется путем умножения данных графы 5 на п = 100.

На рис. 26 приведены теоретические и эмпирические кривые распределения.

Сопоставление эмпирического распределения с распределением по закону модуля разности. Приняв статистические характеристики

Таблица 15

Таблица для вычисления /' по закону распределения эксцентриситета

Интервалы	fi
значения	fi	*нб	F {R)	Г_	Г
- (от —до)		о		п
1	2	3	4	5	6
0—4	10	0,4	0,077	0,08	8
4—8	15	0,8	0,274	0,20	20
8— 12	25	1,2	0,513	0,24	24
12—16	20	1,6	0,722	0,21	21
16—20	18	2,0	0,865	0,14	14
20—24	8	2,4	0,944	0,08	8
24—28	2	2.8	0,980	0,04	4
28—32	2	3,2	0,9940	0,01	2
	100				100

эмпирического распределения (г и sr) в качестве параметров теоре

тического распределения (Mr и стг), т. е., полагая, что г ^ Mr и sr ^ оп определяем

Хо	Mr	г
	(Jr	sr

и затем по таблице приложения 7 определяем р0, а по таблице приложения 8 ор.

Вычисляем

S r

ар •

Затем для каждого значения гг определяем рt =

• При

этом в качестве г* необходимо принимать верхнее значение интер вала.

Рис. 26. Кривые распределения	Рис. 27. Кривые распределения по
по закону эксцентриситета:	закону распределения модуля разности:
а — теоретическая; б — эмпириче-	а — теоретическая; б —• эмпирическая
ская

=	По полученным	значениям			р*	вычисляются		величины	t' =
=	р/ — Ро и Г = р/ +		р0. Затем по таблице приложения						1 оп
ределяются Ф (V) и Ф (/") и далее вычисляются F (р) = Ф (V) +
+	Ф (t "). По полученным значениям F (р) определяются								и
	Пример 24. В табл.	16 (графы 1, 2) приведено эмпирическое распределение
разностенности г втулок в мм, для которого г =							0,009 и sr =	0,006.
	Полагая Mr ^ г =	0,009 и or			s =	0,006,	определим
		Ьо		г _	0,009 _		,
		Ьо		sr	0,006		1и
				sr	0,006		1и
	По таблице приложения		7 определяем р0= 1,1 и по таблице приложения 8
Ор = 0,824. Тогда
		<7о		Sf	0,006	0,0073.
		<7о		ор	0,824	0,0073.
				ор	0,824

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 227 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги