книги / Проектирование и исследование идентификационных моделей управляющих систем реального времени

Величина F-критерия Фишера для определения статистической значимости уравнения или адекватности в целом определяется как сопоставление регрессионной и остаточной дисперсии в расчете на одну степень свободы:

Для оценивания H0-гипотезы о статистической значимости уравнения в целом табличное значение Fт -критерия Фишера выбирается как

мости уравнения регрессии отвергается. Это может означать следующее: структура модели выбрана неверно: выбранная модель содержит меньше или больше коэффициентов, чем действительная. В этом случае необходимо выбрать другую структуру модели и оценить ее адекватность.

Если гипотеза о статистической значимости регрессионного анализа в целом подтвердилась, то необходимо оценить значимость коэффициента множественной корреляции.

Значимость коэффициента множественной корреляции определяет то, насколько хорошо выбранная модель описывает отклик как функцию фактора.

Пусть регрессионная модель представлена полином 2-го порядка:

рис. 3.2 график ym очень мало отличается от среднего значения всех результатов y . Поэтому можно предположить, что в действительности ym не зависит от x , т.е. коэффициенты уравнения a1, a2 получились отличными от нуля только за счет случайного возмущения.

111

– вычисляется табличный F-критерий Фишера для определения значимости коэффициента множественной корреляции как Fт(α, ν1, ν2 ) ,

где α – заданный уровень значимости; ν2 = νR ; ν2 = νост ;

– осуществляется сравнение (F > Fт) .

значения нельзя объяснить только случайными возмущениями.

В противном случае (F < Fт) полученный коэффициент незначим. Незначимость коэффициента множественной корреляции приводит к тому, что зависимость y от входных воздействий xi слаба или

отсутствует вообще. Это возможно по двум причинам:

1. В модель не были включены некоторые из сильно влияющих факторов. Их влияние проявилось в остаточной сумме Qост , тогда как регрессия отразила только некоторые второстепенные влияния и сумма QR оказалась достаточно мала. Такой результат получается часто при

исследовании сложных объектов, в которых только часть факторов (переменных/координат) доступна для измерения, а некоторые из наиболее важных независимых переменных остаются вне поля зрения экспериментатора.

2. Незначимый коэффициент множественной корреляции может получиться в том случае, когда в модель включены все существенные факторы, но структура модели выбрана неверно. Такой результат мог бы получиться, например, при попытке описать полиномом 1-го порядка объект, существенно нелинейный относительно факторов.

Незначимость коэффициента множественной корреляции – достаточное основание отказаться от выбранной модели.

После проверки гипотез о статистической значимости уравнения линейной регрессии и значимости коэффициента множественной корреляции возникает задача оценить адекватность отдельных (наиболее важных) коэффициентов модели.

Значимость отдельного коэффициента модели ai проверяется по

следующим правилам:

– проводится l дополнительных опытов в некоторой рабочей точке и определяется дисперсия дополнительных опытов:

113

где Ql = ∑l ( yi − y ) ;

i=1

νl = l −1 ;

–определяется информационная матрица по основным наблюдениям XXT и определяется коэффициент cii как i-й диагональный эле-

мент матрицы XXT ;

– вычисляется коэффициент ti :

–выбирается табличный tт -критерий в таблице распределения Стьюдента как tт(α, ν) , где α – заданный уровень значимости; ν = νl ;

–осуществляется сравнение (t > tT ) .

Если фактическое значение t-критерия больше табличного (t > tт) , то коэффициент модели ai значим.

В противном случае (t < tт) полученный коэффициент ai незначим.

После проверки значимости коэффициентов модели незначимые коэффициенты могут быть отброшены, благодаря чему модель значительно упростится.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Чемпассивныйэкспериментоличаетсяотактивногоэксперимента?

2.Всегда ли возможен активный эксперимент?

3.Когда возможно проведение активного эксперимента при исследовании идентификационных моделей УС РВ?

4.Приведите примеры применения активного и пассивного экспериментов при проектировании и исследованиии идентификационных моделей УС РВ.

5.Какой план активного эксперимента оптимален при проектировании УС РВ?

114

6.Почему при определении адекватности моделей недостаточно проанализировать ошибку?

7.Что такое уровень значимости?

8.Как выбор уровня значимости влияет на точность модели?

9.Какие задачи решаются при полноразмерной проверке адекватности модели?

10.В каких случаях применяется оценка статистистичечкой значимости отдельных коэффициентов модели?

11.Для чего проводится проверка значимости коэффициентов множественной корреляции?

12.Объясните причины незначимости коэффициента множественной корреляцииипредложитеалгоритмдальнейшегоисследования модели.

13. Дисперсия остатка Soc2 т сопоставима с дисперсией регрессии SR2 . Какие выводы по адекватности модели можно сделать?

14.В результате дополнительных опытов в рабочей точке дисперсия случайной ошибки возросла. Какие выводы по адекватности модели можно сделать?

15.Проверка гипотезы о значимости отдельных коэффициентов регрессионной модели показала, что большинство коэффициентов незначимы. Какие выводы можно сделать о модели в целом?

ЗАДАНИЯ ПО ТЕМАТИКЕ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

ИЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ

1.Практическое занятие (семинар) «Основы теории планирования эксперимента».

Изучить основы планирования активного эксперимента. Разработать схему активного эксперимента на стадиях проектирования и функционирования УС РВ.

2.Практическое занятие (семинар) «Методы оценивания адекватности моделей.

Изучить методы оценивания адекватности моделей. Разработать методику оценивания адекватности модели в режиме функционирования УС РВ».

3.Практическое занятие «Проверка адекватности модели».

Проверить адекватности идентификационных моделей, рассчитан-

ных в заданиях 1, 2 в гл. 2.

115

зона, удаления смещений и трендов выполняются с минимальными усилиями и находятся в главном меню.

Представление данных и идентифицированных моделей организовано графически таким образом, что в процессе интерактивной идентификации пользователь легко может вернуться к предыдущему шагу работы. Для новичков существует возможность просматривать следующие шаги. Специалисту графические средства позволяют отыскать любую из ранее полученных моделей и оценить ее качество в сравнении с другими моделями.

Начав с измерения выхода и входа, можно создать параметрическую модель системы, описывающую ее поведение в динамике. Пакет поддерживает все традиционные структуры моделей, включая авторегрессию, структуру Бокса – Дженкинса и др. Он поддерживает линейные модели пространства состояний, которые могут быть определены как в дискретном, так и в непрерывном пространстве. Эти модели могут включать произвольное число входов и выходов. В пакет включены функции, которые можно использовать как тестовые данные для идентифицированных моделей. Идентификация линейных моделей широко используется при проектировании систем управления, когда требуется создать модель объекта. В задачах обработки сигналов модели могут быть использованы для адаптивной обработки сигналов. Методы идентификации успешно применяются и для финансовых приложений.

Среда программирования LabVIEW фирмы National Instruments –

это мощное и удобное средство программирования, которое широко используется для автоматизации и управления различными технологическими процессам в промышленности и в научных исследованиях.

При проектировании УС РВ среда графического программирования LabVIEW, оснащенная соответствующими модулями расширения, не только обеспечивает функциональные возможности, аналогичные MatLab, но и отличается некоторыми существенными преимуществами, делающими данную среду привлекательной для модельного проектирования новых устройств и систем [43].

Указанные преимущества связаны с тем, что LabVIEW в первую очередь является средой разработки программного обеспечения УС РВ. Это означает наличие широких возможностей структурирования моделирующих программ, управления вычислительными ресурсами и процессами, создания интерфейса пользователя, независимых исполняемых приложений и библиотек динамической компоновки.

118

При реализации процедур моделирования и идентификации УС применяются функциональные блоки в виде динамических моделей УС РВ; используются алгоритмы обработки экспериментальных сигналов; математической обработки исходных данных, аппроксимирующие алгоритмы. Данные процедуры не требуют больших вычислительных ресурсов и легко программируются с помощью функций модулей рас-

ширения LabVIEW.

С помощью LabVIEW возможно создание систем автоматического управления, основанных на использовании современных операционных систем жесткого реального времени и производительных контроллеров автоматизации. В состав LabVIEW входят все необходимые средства для разработки, кросс-компилирования, редактирования связей и загрузки кода на контроллер. Наличие готовых функций пропорционального (П), пропорционально-интегрального (ПИ), пропорционально-диф- ференциального (ПД), пропорционально-интегрально-дифференциаль- ного (ПИД) регулирования, функций автоматической настройки параметров данных законов управления позволяет создавать системы автоматического управления в кратчайшие сроки. Также LabVIEW поддерживает широко используемые промышленные протоколы передачи данных, а контроллеры автоматизации, программируемые в LabVIEW, с легкостью могут быть интегрированы в имеющиеся SCADA и системы мониторинга. В отличие от других сред разработки (MatLab и прочие) LabVIEW позволяет создавать распределенные системы мониторинга и АСУ ТП.

Основные достоинства применения LabVIEW при проектировании

иисследовании систем следующие:

–быстрая разработка приложений;

–тесная интеграция с оборудованием;

–наличие готовых функций анализа и обработки сигналов;

–наличие готовых объектов для создания графического интерфейса пользователя;

–возможность создания приложений для разных программных

иаппаратных платформ;

–поддержка различных подходов к созданию приложений;

–возможность программирования многоядерных платформ;

–организация данных и подготовка отчетов.

В сочетании с дополнительными библиотеками и наборами программных инструментов среда разработки LabVIEW позволяет созда-

119

вать не только приложения для проведения единичных измерений, но

ипрограммное обеспечение для контрольно-измерительных комплексов

иинтеллектуальных систем управления, осуществляющих регистрацию сигналов с датчиков, их математическую обработку в режиме жесткого реального времени, анализ, сохранение и формирование протоколов.

ВLabVIEW имеются как интерактивные, так и программные средства для создания исполняемых приложений, которые могут быть запущены на операционных системах Windows.

4.2. ПРИМЕНЕНИЕ ПАКЕТА SYSTEM IDENTIFICATION TOOLBOX

ДЛЯ ЗАДАЧ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИДЕНТИФИКАЦИИ УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ РЕАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ

Одним из расширений MatLab является пакет System Identification Toolbox, который содержит средства для создания математических моделей линейных динамических систем на основе наблюдаемых входных и выходных данных. Он имеет удобный графический интерфейс, позволяющий организовывать данные и создавать модели.

Дискретные модели, используемые в пакете System Identification Toolbox для временной области, учитывающие действие шума наблюдения, могут быть представлены с помощью:

– модели авторегрессии AR (AutoRegressive):

A(z) y(t) = e(t) ,

где e(t) – дискретный белый шум;

A(z) = 1+ a1z−1 + a2 z−2 +…+ ana z−na ;

– ARX-модели (AutoRegressive with external input):

A(z) y(t) = B(z)u(t) + e(t) ,

где B(z) = 1+ b1z−1 + b2 z−2 +…+ bnb z−nb ;

– ARMAX-модели (AutoRregressive-Moving Average with external input) – модели авторегрессии скользящего среднего:

y(t) + a1 y(t −1) +…+ ana y(t − n) =

= b1u(t) + b2u(t −1) +…+ bnb y(t − m) + e(t), A(z) y(t) = B(z)u(t − nk) + C(z)e(t),

120