книги / Проектирование и исследование идентификационных моделей управляющих систем реального времени

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Далее вводится вспомогательная функция h (t) = c

прологарифмировав которую

получают линейную

независимость

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

7.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 217 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Пример. Пусть объект управления задан структурной схемой

(рис 2.16):

u(t)		K1	x2 (t)	x1(t)
+		K1	+	K2
+	−	T	+	y(t)
	−		−	y(t)
			1
			T

Рис. 2.16. Структурная схема САУ

Необходимо определить параметры системы K1, K2 , T. Определим вектор состояния системы

V =

Динамика процессов описывается с помощью системы дифферен-

циальных уравнений:

= 0,

dx1

= K2 x2 ,

r −

x −

x ,

y = x1.

Основные матрицы модели:

= [0 1 0].

A = 0

K2 ,

−

Матрица коэффициентов

A имеет размерность n × n= 3× 3 . По-

этому для достоверных результатов идентификации (2.58) количество наблюдений k должно быть не менее 10.

В результате серии экспериментов определен вектор состояния

r(1)		…	r(10)
		…	x1
V = x1	(1)	…	x1	(10)	,
	(1)	…	x2	(10)
x2	(1)	…	x2	(10)

а матрицы V(i), V(i +1) соответственно имеют следующий вид:

r(1)		…	r(9)
		…	x1 (9)
V(i) = x1	(1)			,
	(1)	…	x2 (9)
x2
r(2)		…	r(10)
		…	x1 (10)
V(i +1) = x1 (2)					.
		…	x2 (10)
x2 (2)

Тогда можно определить матрицу перехода

Ф(T ) = V(i +1)	VT (i) V(i) VT (i) −1		,
0

а на основе матрицы перехода и матрицу коэффициентов

A ≈ Ф(T0 ) − I .

Зная численные значения и структуру матрицы коэффициентов А, можно определить параметры системы K1, K2 , T.

2.4.7. Идентификация нелинейных систем

Достаточно развитая теория идентификации нелинейных систем предлагает большое количество различных методов исследования данных систем. Но ни один из методов не является универсальным и характеризуется своей областью применения. Наиболее распространенными являются следующие методы [7, 11, 26]:

1.Метод прямого поиска.

2.Аппроксимация нелинейности.

3.Модель Гаммерштейна.

4.Метод Винера.

5.Двухэтапная процедура.

Методы идентификации нелинейных систем:

1.Метод прямого поиска. Нелинейную функцию f (x) преобразуют

влинейную функцию fл(x) . Далее применяют любой метод идентифи-

кации линейных систем.

Допустим, что модель объекта имеет вид

y = α	0	xβ1 xβ2		,	(2.68)
	0	1	2

где x1, x2 – входные переменные;

y– выходная переменная;

α0 , β1, β2 – оцениваемые параметры модели.

Нетрудно заметить, что логарифмирование нелинейного уравнения (2.68) приводит систему к линейному виду

z = a0 + a1r1 + a2r2 ,	(2.69)
где z – выходная переменная линейной модели,	z = ln y;

r1, r2 – входные переменные линейной модели, r1 = ln x1, r2 = ln x2 ;

a0 , a1, a2 – параметры линейной системы, a0 = ln α, a1 = β1, a2 = β2 . Оценивание параметров линейной модели осуществляется явными методами одномерной линейной регрессии (2.52) или итерационным

методом (схема с настраиваемой моделью) (2.59).

2. Аппроксимация нелинейностей. В соответствии с теоремой Вей-

ерштрасса любая непрерывная нелинейная функция может быть представлена в виде полинома:

y = a0 + a1x1 + a2 x12 + b1х2 + b2 х22 +….

(2.70)

Полином (2.70) легко приводится к линейной регрессии, алгоритм оценивания которой был рассмотрен выше.

Аппроксимация с помощью полинома удобна, если значения нелинейной функции получены экспериментально.

3. Модель Гаммерштейна. В соответствии с моделью Гаммерштейна нелинейная система приводится к виду, представленному на рис. 2.17.

Алгоритм идентификации зависит от априорной информации о виде нелинейности F (u(t)) .

Рис. 2.17. Структурная схема модели Гаммерштейна

Если известна функциональная зависимость F (u(t)) , то с вводом переменной z(t) = F (u(t)) идентификация сводится к определению параметров линейной части модели Гаммерштейна:

y(t) = W ( p)z(t) .

(2.71)

Если функциональная зависимость F (u(t)) неизвестна, строится

таблица этой нелинейной зависимости. По этой таблице любой формулой интерполяции рассчитывается аппроксимирующий полином нелинейности P(u(t)) . Зная параметры аппроксимирующего полинома, определяем

переменную z(t) = P(u(t)), и задача идентификации снова сводится к оп-

ределению параметров линейной части модели Гаммерштейна (2.71).

4. Метод Винера. Этот метод является одним из самых точных методов идентификации нелинейных систем.

Суть метода сводится к последовательному разложению входного сигнала сначала по коэффициентам Лагерра:

				n
		x(t) ≈ ∑ci xi ,						(2.72)
				i=1
где ci	– коэффициенты Лагерра;
xi	– дискретные значения входного сигнала.
Коэффициенты Лагерра рассчитываются по формуле
	ci	=		xi			,	(2.73)
	ci	=	(n +1)	2 L	(x )2		,	(2.73)
			(n +1)	2 L	(x )2
				n+1		i

где Ln+1 (xi ) – значение полинома Лагерра, вычисленного для дискретного значения сигнала xi .

Рекуррентная формула вычисления полинома Лагерра имеет вид

(n +1)Ln+1 (x) = (2n +1− x)Ln (x) − nLn−1 (x).

(2.74)

Коэффициенты Лагерра представляют в виде функции Эрмита:

c = (−1)i ei2	d(e− x )	.	(2.75)

i	dxi

Функции Эрмита и выходные сигналы объекта исследования сравниваются специальным кросс-коррелятором, определяющим достоверность проведенной идентификации.

Данный подход обладает следующими достоинствами:

–Стационарный белый гауссов шум является наиболее общим тестовым сигналом для стационарной нелинейной системы.

–Любая нелинейная система имеет эквивалент в виде некоторой линейной системы (цепочка Лагерра) со многими выходами, за которой следует безынерционная система (функция Эрмита).

Однако подход Винера имеет ограниченное практическое применение. Это обусловлено следующим:

–Требование, чтобы вход представлял белый гауссов шум, является слишком жестким. Гораздо удобнее иметь метод, способный обрабатывать реализации сигналов в процессе нормальной работы.

–Очень велико число коэффициентов, которое требуется для описания даже простой нелинейной системы.

–Теория Винера не позволяет получить описание нелинейных систем, допускающее ясную физическую интерпретацию.

5. Двухэтапная процедура идентификации нелинейных систем [4].

Процедура оценивания параметров нелинейного объекта осуществляется в два этапа:

1. Нелинейная характеристика разбивается на участки, в пределах которых нелинейная функция может быть с достаточной долей точности представлена линейной функцией (рис. 2.18).

Участки [xi , xi+1 ] называются участками линеаризации. Начало участков xi называется точкой линеаризации. В каждой точке линеаризации

входной переменной придается незначительное	приращение xi + ∆ xi
и фиксируется изменение выходной переменной xi	= f (xi + ∆ xi ) . По дан-
н

ным входного и выходного переходного процесса для каждой точки линеаризации с помощью методов идентификации для линейных систем рассчитывается матрица коэффициентов:

Рис. 2.18. Линеаризация нелинейной зависимости

ai		ai
	11	1n
Ai =			.
	i	i
am1		amn

2. Аппроксимация линейных моделей в нелинейную функцию. Каждый коэффициент матрицы аппроксимируется по той или иной ин-

терполяционной формуле с помощью любого полинома akji = pkj (x) :

p11 ( x)

A =

pm1 ( x)

p1n ( x) .

pmn ( x)

2.5.ИДЕНТИФИКАЦИЯ С ПОМОЩЬЮ ТЕСТОВЫХ СИГНАЛОВ

Всистемах реального времени нередко применяется активная идентификация, которая определяет параметры системы на основе специальных тестовых воздействий. Имеется большой выбор тестовых сигналов. Однако на практике чаще всего применяются следующие сигналы:

– ступенчатый сигнал – для определения параметров переходной характеристики объекта;

– импульсное воздействие – для определения параметров импульсной переходной характеристики;

– гармоническое воздействие – для определения параметров частотных характеристик объекта.

Идентификация с помощью тестовых сигналов имеет свои преимущества и недостатки. С одной стороны, данные методы легко реализуются в режиме реального времени и позволяют оценить одновременно структуру и параметры модели. С другой стороны, такие методы требуют особо «чистых» условий эксперимента (низкого уровня помех) либо значительного времени экспериментирования с системой. Поэтому данные методы используются в основном для идентификации динамических объектов в окрестностях некоторых стационарных невозмущенных состояний – идентификация в «малом». В соответствии с этим далее предполагается, что связь между входными и выходными переменными объекта задается линейным уравнением, при этом выходная переменная изменяется только под воздействием наблюдаемых входных сигналов, а какие-либо ненаблюдасмые помехи отсутствуют или их влиянием можно пренебречь.

2.5.1. Идентификация с помощью переходной характеристики

Простейшим входным сигналом, используемым при идентификации, является ступенчатый сигнал [7, 10]. Такой сигнал на входе системы может быть сформирован, например, путем внезапного открывания (или закрывания) входного клапана, включения (или выключения) управляющего напряжения или тока и т.д. Реализация данного типа сигнала почти всегда возможна без применения специальной аппаратуры, поэтому идентификация с помощью ступенчатого сигнала является практически идеальной для режима реального времени. Однако идентификация параметров переходных характеристик подразумевает использование идеального ступенчатого сигнала, время нарастания которого равно нулю:

x(t) = 1(t) =	0,	t ≤	0	(2.76)

	1,	t ≥	1.

В реальных условиях ступенчатый сигнал отличается ненулевым временем нарастания и неединичной величиной сигнала (рис. 2.19).

Если время нарастания сигнала tн гораздо меньше периода выс-

шей гармоники, то ошибка идентификации становится незначительной. Интенсивность сигнала с без особых трудностей учитывается в параметрах системы.

Рис. 2.19. Реальный и идеальный ступенчатые сигналы

Для описания переходных функций объектов разных классов разработаны соответствующие методы.

Для переходных функций, имеющих гладкий апериодический характер, применяется подход, заключающийся в последовательном приближении экспериментальной переходной характеристики решением дифференциального уравнения порядка n с правой частью типа «ступенчатая функция»:

n
h(t) ≈ c0− ∑cie−αit ,	(2.77)

i=1

где c0 – установившееся значение исследуемого сигнала, c0 = h(∞ )= hуст. На первом этапе характеристика h(t) аппроксимируется решением

уравнения первого порядка

ln h(t) = ln c1 − α1t , откуда и находят неизвестные параметры c1 и α1.

Если аппроксимация является неудовлетворительной, то для нахождения параметров вводится вторая составляющая решения (2.77)

c2e−α2t , после чего формируется функция h2 (t) ≈ h1 (t)− c1e−α1t = c2e−α2t , на

основе которой вычисляются искомые коэффициенты. Процесс аппроксимации h(t) прекращается тогда, когда функция hn (t) с заданной точ-

ностью будет совпадать с величиной hуст.

Для отыскания аналитических выражений передаточных функций типовых звеньев используются графические методы.

Для идентификации апериодических систем анализируются переходные характеристики. Если переходная характеристика не имеет точки перегиба (рис. 2.20), то объект представляет апериодическое звено

W ( p) = K . Tp +1

Рис. 2.20. Переходная характеристика апериодического звена первого порядка

Коэффициент усиления K определяется как отношение установившегося значения выходного сигнала к величине входного воздействия:

K =	y(∞	)	.	(2.79)
	x(∞	)

Постоянныевременимогутбытьвычисленынесколькимиспособами:

–как отрезок времени, за который переходная функция достигает 63 % своей установившейся величины;

–как отрезок времени, за который касательная, проведенная к графику переходной характеристики в начальный момент времени, достигнет установившегося значения;

–как третья часть времени переходного процесса.

Если переходная характеристика имеет точку перегиба, то объект может быть представлен апериодическим звеном второго порядка:

W ( p) =	K
		(2.80)

	(T1 p +1)(T2 p +1)

или апериодическим звеном n-го порядка:

W ( p) = K . (τp +1)n

Для апериодического звена второго порядка ные времени T1 и T2 расчитываются по отрезкам мым касательной, проведенной в точке перегиба:

T		= T		+ T ,
	a		1	2
		=	T T			T
Tb				1 2	ln	1	.
			T1
				−T2		T2

(2.81)

(рис. 2.21) постоян- Ta и Tb , определяе-

(2.82)

Рис. 2.21. Переходная характеристика апериодического звена второго порядка

При идентификации объектов более высокого порядка следует учитывать, что апериодический объект высокого порядка с n различными постоянными времени может быть аппроксимирован объектом n-го порядка с одной постоянной времени:

W ( p) =	K	≈	K
				.	(2.83)
	(T1 p +1)(T2 p +1)…(Tn p +1)		(τp +1)n

При таком подходе с помощью простых графических построений на переходной характеристике определяются точка перегиба и каса-

тельная к ней, а также отрезки Ta , Tb , Td и Te (рис. 2.22).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 217 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги