книги / Проектирование и исследование идентификационных моделей управляющих систем реального времени
..pdfгде norm – норма вектора;
у и уh – выходы объекта и модели соответственно; N – количество элементов массива данных.
Для проверки адекватности полученных ранее моделей воспользуемся функцией
>> compare (zdane, zn4s, zpem, zoe, zbj, darx, darmax),
где zdane – выход объекта;
zn4s, zpem, zoe, zbj, darx, darmax – выходы моделей zn4s, zpem,
zое, zbj, darx, darmax.
Результатом выполнения команды является вывод графика выходов объекта и построенных моделей (рис. 4.11).
Рис. 4.11. Графики выхода объекта и моделей
На графике различными линиями представлены выходы полученных моделей и значения критерия адекватности, выраженного в процентах. Наилучшие показатели имеют модели darx, zn4s и zpem.
151
Для проверки адекватности модели zn4s воспользуемся функцией
>> compare (zdane, zn4s).
Результатом выполнения команды является вывод графика объекта на рис. 4.12.
Рис. 4.12. Графики выходов объекта и модели zn4s
В пакете System Identification Toolbox имеется возможность прогнозировать ошибку моделирования при заданном входном воздействии u(t) и известной выходной координате объекта y(t). Оценивание производится методом прогноза ошибки Preictive Error Method, сокращенно РЕМ, который заключается в следующем. Пусть модель исследуемого объекта имеет вид обобщенной линейной модели
y(t) = W (z)u(t) + ν(t),
где W (z) – дискретная передаточная функция любой из ранее рассмотренных моделей. При этом шум ν(t) может быть представлен как
152
ν(t) = H (z)e(t) ,
где H (z) – некоторый полином от z, приводящий дискретный белый шум к реальным помехам при измерении выходных параметров объекта;
e(t) – дискретныйбелыйшум, которыйхарактеризуетошибкумодели. Из данных выражений следует, что
e(t) = H −1 (z)[ y(t) −W (z)u(t)].
Функция resid вычисляет остаточную ошибку e для заданной модели, а также r – матрицу значений автокорреляционной функции процесса e(t) и значения взаимокорреляционой функции между остаточными ошибками e(t) и выходами объекта автоматизации y(t) вместе с соответствующими 9%-ными доверительными интервалами.
Кроме указанных значений выводятся графики данных функций. В качестве примера сравним остаточные ошибки и соответствующие корреляционные функции для полученных моделей dаrх и zbj, имеющих максимальную и минимальную оценки адекватности, с помощью команд
>>[e,r]=resid (zdan, dаrх)
>>[е1,r1]=resid (zdan, zbj).
Приведенные графики (рис. 4.13 и 4.14) характеризуют равномерное распределение остаточных ошибок во всем диапазоне изменения интервалов времени τ. Причем значения остаточных ошибок для модели darx практически в два раза больше, чем для модели zbj. Для вывода графиков необходимо выполнить команду resid(r).
После выполнения функции
[e, r]=resid (zdan, dаrх)
MatLab возвращает
Тimе domain data set with 1000 samples. Sampling interval: 0.08
Outputs Unit (if specified)
е@температура гр.С 100
Inputs Unit (if specified)
и1 r=1.0е+003.
153
Рис. 4.13. Графикавтокорреляционной ивзаимнокорреляционной функцийдля модели zbj
Рис. 4.14. Графикавтокорреляционной ивзаимнокорреляционной функцийдля моделиdarx
154
После выполнения команды >> resid (r) выводится график автокорреляционной и взаимокорреляционной функций для модели.
Таким образом, в ходе оценки адекватности различных моделей объекта определены модели darx, zn4s и zpem, значения критерия адекватности которых максимальны и, следовательно, могут быть использованы в дальнейшем при анализе и синтезе систем.
4.2.7. Анализ модели технического объекта
Для анализа модели системы рассматривается модель zn4s, имеющая один из лучших показателей адекватности. Ранее были получены различные виды этой модели:
– zn4s – дискретная модель тета-формата (LTI-формата):
|
|
A = |
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
x1 |
0.96014 |
−0.21598 |
0.062944 |
x2 |
0.24873 |
0.66536 |
0.2574 |
x3 |
−0.036067 −0.64612 |
0.14772 |
|
|
|
B = |
|
|
расход газа |
|
|
|
x1 |
−0.00029117 |
|
|
x2 |
−0.012463 |
|
|
x3 |
−0.032588 |
|
|
C = |
|
|
температура |
|
x1 |
x2 |
x3 |
18.093 0.078884 −0.1539
D =
расход газа - температура
0
155
K =
температура
x1 0.026294 x2 −0.00982 x3 −0.032588
x(0) =
x1 −0.0073071 x2 −0.012254 x3 −0.05598.
Estimated using N4SID from data set zdanv Loss function 0.0020154 and FPE 0.00211451
Sampling interval: 0.08;
– sn4s – непрерывная модель тета-формата (LTI-формата) Statespace model:
dx(t) = Ax(t) + Bu(t) + Ke(t)
dt
|
y(t) = Cx(t) + Du(t) + e(t) |
||
|
|
A = |
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
x1 |
−0.24803 |
− 2.0709 |
2.222 |
x2 |
3.2929 |
− 2.3184 |
6.3825 |
x3 |
1.8425 |
−16 .783 |
−15 .496 |
B =
расход газа
x1 0.032775 x2 −0.028698 x3 −0.81694
C =
температура
x1 |
x2 |
x3 |
18.093 |
0.078583 |
−0.1539 |
156
D =
расход газа - температура
0
K =
температура
x1 0.43342 x2 0.13241 x3 −1.7679 x(0) =
x1 −0.0073071 x2 −0.012254 x3 −0.05598.
Estimated using N4SID (later modified)
Loss function 0.00213802 and FPE 0.0022164.
Как видно, в представленных моделях значения коэффициентов матриц А, В, С, D, K различны. Это объясняется тем, что для непрерывной модели произведено z-преобразование с целью получения дискретной модели;
– zzn4s – дискретная модель в виде передаточной функции:
W (z) = −0, 001236z2 + 0, 006901z + 0, 06318 ; z3 −1, 773z2 +1,101z − 0, 2554
– sysn4s – непрерывная модель в виде передаточной функции:
W (s) = |
0, 7165s2 |
+ 22,12s + 264, 4 |
||
|
|
|
. |
|
s3 |
|
|
||
|
+17, 06s2 +134, 4s + 279,1 |
Приведенные виды являются одной и той же моделью, записанной в разных формах и форматах.
Анализ системы проводится на основе изучения динамических и частотных характеристик системы.
Функция step рассчитывает и строит переходную характеристику системы:
157
>>step (sys)
>>step (sys, t)
>>step (sysl, sys2, …, sysN, t)
>>step (sys1, 'PlotStyle1', …, sysN, 'PlotStyleN')
>>[у, t, х]=step (sys).
Для моделей, заданных в пространстве состояний, начальные условия принимаются нулевыми. Аргументы функции следующие:
–sys, sysl, sys2, …, sysN – имена моделей, для которых строятся переходные характеристики;
–t – аргумент, задающий момент окончания моделирования либо
вформе t=Tfinal (в секундах), либо в форме t=0:dt:Tfinal. Для дискретных моделей значение dt должно равняться интервалу дискретизации, для непрерывных моделей – быть достаточно малым, чтобы учесть наиболее быстрые изменения переходного процесса;
–'PlotStylel',..,'PlotStyleN' – строковые переменные, задающие сти-
ли (типы линий) при выводе нескольких графиков одновременно. Возвращаемые величины:
–графики переходных процессов;
–у, х, t – соответственно векторы, содержащие значения переходного процесса, переменных состояния и моментов времени (при возвращении данных величин график переходного процесса не отображается).
Графики переходных характеристик системы, представленной дискретной zzn4s и непрерывной sysn4s моделями, построенные с использованием функции step:
>> step (zzn4s, sysn4s).
После выполнения команды step MatLab возвращает графики переходного процесса (рис. 4.15). Нажатие левой клавиши мыши в любом месте на графике переходного процесса приводит к появлению всплывающей информационной подсказки о величине текущего численного значения переходного процесса и моменте времени.
Нажатие правой клавиши в любом месте на графике переходного процесса приводит к появлению всплывающего меню редакции окна всплывающей информационной подсказки.
158
Рис. 4.15. Графики переходных процессов моделей zzn4s и sysn4s
На графиках переходных процессов ступенчатой линией представлен переходный процесс дискретной модели, а сплошной линией – непрерывной модели. Кроме того, в поле графика указаны основные характеристики переходного процесса:
–время регулирования (Settings time) – 1,9 с для обеих моделей;
–установившееся значение выходной координаты – 0,948 для обеих моделей.
Для построения импульсной характеристики моделей необходимо воспользоваться командой
>> impulse (zzn4s, sysn4s).
После выполнения команды impulse MatLab возвращает графики
(рис. 4.16).
Основными характеристиками модели системы при подаче на вход единичного импульсного воздействия являются:
–пиковая амплитуда (Peak amplitude) составляет для дискретной модели 0,14, а для непрерывной – 1,77;
–время регулирования для дискретной модели и для непрерывной модели составляет 1,85 с.
159
Рис. 4.16. Графики импульсных характеристик моделей zzn4s и sysn4s
Для определения статического коэффициента усиления модели системы можно использовать команду degain:
>>k=degain (sysn4s)
>>k=degain (zzn4s).
Для непрерывной и дискретной системы коэффициент усиления равен 0,9476.
Для определения частотной характеристики моделей используется команда bode. Частотные характеристики дискретной zzn4s и непрерывной sysn4s моделей представлены на рис. 4.17.
На графиках частотных характеристик указаны значения запасов устойчивости по амплитуде (Gain Margin), которые для дискретной модели составляют 10,9 дБ, а для непрерывной модели – 9,34 дБ.
Значения запасов устойчивости можно определить также и в режиме командной строки МатLав с помощью команд
>>[Gm, Pm, Wcg, Wcp]=margin (sysn4s)
>>[Gm1, Pm1, Wcg1, Wcp1]=margin (zzn4s).
160