книги / Проектирование и исследование идентификационных моделей управляющих систем реального времени
..pdf2.3. СТРУКТУРНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ
Структурная идентификация, идентификация в широком смысле, идентификация типа «черный ящик», имеет место при отсутствии априорной информации об объекте: неизвестны структура объекта, класс объекта, размерность и т.д. Главная задача структурной идентификации – определение структуры модели [4, 7, 12, 14]. В рамках структурной идентификации необходимо выделить значимые переменные состояния, выбрать общую структуру и тип модели, класс уравнений, которыми предполагается описывать наблюдаемый процесс. Для успешного решения задачи структурной идентификации требуется использовать априорные сведения о физических, химических или иных явлениях, происходящих в процессе, знание формальных аналитических свойств моделей, инженерные навыки и интуицию. До настоящего времени общих формальных подходов к решению задачи структурной идентификации не существует, и этап структурной идентификации часто сводится к эвристическому заданию структуры модели на основе априорных сведений об объекте.
Выработаны общие рекомендации по решению задач структурной идентификации [15]:
1.Выделение объекта из внешней среды. Этап выделения объекта определяется целями и алгоритмом управления. Однако нельзя сформулировать цель без предварительной модели объекта управления, поэтому еще до формулировки цели некоторая модель должна быть выбрана. Как правило, модель в первом приближении – это модель, построенная на основе физических, химических, механических и других законов управления. Процесс выделения объекта из среды – последовательный переход от простых моделей объекта к более сложным моделям путем «наращивания модели» за счет определенных элементов среды, которые изначально не учитывались в модели, но оказывают существенное влияние на функционирование объекта.
Такую громоздкую процедуру вряд ли возможно формализовать, поэтому на этом этапе структурной идентификации широко используется метод экспертного опроса, по результатам которого и принимается решение о структуре объекта, его взаимодействии со средой, возможных состояниях среды и т.д.
2.Ранжирование входов и выходов объекта по степени их влияния на выполнение целей управления в объекте. Этап ранжирования входов
31
и выходов объекта выявляет всевозможных претендентов на роль входов и выходов, выделяя из них наиболее существенные. Отбор входов должен соответствовать следующим требованиям:
– входные переменные U = [u1, u1,…, un ] должны быть контролируемыми;
– отбираются только те входные переменные U = [u1, u1,…, un ] , состояние которых влияет на реализацию целей в объекте.
Ранжирование входных переменных осуществляется по рангу ki . Вход, влияющий наибольшим образом на реализацию целей в объекте, имеет ранг ki = 1 . Входы располагаются в порядке возрастания рангов.
Ранжирование на основе рангов входных переменных может осуществляться методами экспертной оценки, непосредственного ранжирования, методом парных сравнений [15].
3.Определение рационального числа входов и выходов объекта,
учитываемых в модели. Определение рационального числа входных
ивыходных переменных также осуществляется на основе экспертных оценок. Выбор начинается с минимального количества входов и выходов, и путем наращивания выбирается оптимальное количество входных
ивыходных переменных.
4.Определение типа (класса) моделей. При выборе класса модели необходимо руководствоваться следующими рекомендациями [11]:
Тип модели задается в виде
F = (L, N , M , D), |
(2.5) |
где L, N , M , D – булевые переменные, т.е. |
переменные, принимающие |
значение либо 0 (нет), либо 1 (да) и определяющие основные свойства модели: L – линейность; N – непрерывность; M – многомерность; D – детерминированность. Обычно идентификация начинается с расчета самой простой модели: объект представляется в виде линейной, непрерывной, одномерной и детерминированной модели F = (1, 1, 0, 1).
Начинать построение модели следует с физической модели (по известным законам физики, не забывая о цели построения модели).
Постараться преобразовать модель к виду линейной регрессии
yi = a0 + a1 u1 + ... + an un . |
(2.6) |
32
5. Выбор критерия согласия [8]. Модель объекта всегда неточна. Неточность модели по отношению к объекту определяется функцией невязки
ei |
= ym − yi , |
(2.7) |
|
i |
|
где ymi – значение i-й выходной переменной модели; yi – значение i-й выходной переменной объекта.
Таким образом, критерием оптимальности или критерием согласия в задачах идентификации является функция невязки.
Выбор наилучшей функции осуществляется по минимуму этого критерия. Минимизацию критерия можно осуществить следующими методами:
1) Метод наименьших квадратов. Оценивание по методу наименьших квадратовнетребуетникакойаприорнойинформацииобобъекте.
Критерий идентификации имеет вид
e |
|
J = ET IE → min , |
(2.8) |
|
|
||
1 |
|
|
|
где E = e2 |
|
– ошибка системы; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
en |
|
|
|
I – единичная матрица.
2) Марковские оценки, или обобщенный метод наименьших квадратов. Для применения марковских оценок должна быть известна ковариационная матрица аддитивного шума.
ξ[n(1)n(1)] |
|
ξ[n(1)n(k )] |
|
|
|
… |
|
|
|
N = |
|
, |
(2.9) |
|
|
… |
|
|
|
ξ[n(k )n(1)] |
ξ[n(k )n(k )] |
|
|
где ξ[n(i)n( j)] – корреляционная функция аддитивного шума для моментов времени i, j .
Ковариационная матрица должна быть известна априорно, исходя из характеристик шумовых помех на объект (рис. 2.5).
Критерий идентификации имеет вид
J = ET N−1E → min . |
(2.10) |
33
Рис. 2.5. Схема объекта для задачи идентификации
3) Метод максимального правдоподобия. Этот метод априорно кроме шумовых характеристик требует информацию о взаимозависимости переменных, представленную в виде корреляционных матриц.
Априорно известно, что выборочные значения выходных переменных Y являются случайными величинами с совместным распределением вероятностей p( y(1), y(k ), A) .
Апостериори (после измерений) становятся известными реализации этих случайных величин: y(1) = c1, , y(k) = ck . По ним определяется
вектор параметров A . Функциональная связь между c1, , ck и A назы-
вается функцией правдоподобия и определяет совместное распределение вероятностей (многомерный случай)
L = p(c1, …, ck , A). |
(2.11) |
Функция правдоподобия является функцией оцениваемых пара- |
|
метров модели A . |
|
Критерий идентификации имеет вид |
|
L{c1,…, ck , A} → max . |
(2.12) |
2.4.ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ
2.4.1.Схемы реализации параметрической идентификации
Методы оценивания параметров моделей объектов в общем случае можно разделить на два класса подходов в зависимости от способа реализации процедуры оценивания. К первому типу относятся подходы на основе использования явных математических выражений, ко второму – реализации процедур оценивания с использованием настраиваемой модели.
При реализации методов оценивания первого типа (рис. 2.6) математическая модель задается в виде явных математических соотношений, содержащих набор подлежащих определению числовых A.
34
Рис. 2.6. Явная схема реализации алгоритма идентификации
На объекте проводятся идентификационные эксперименты по сбору массивов входных U(t) и выходных Y(t) данных. Далее про-
водится обработка результатов. На основе полученных экспериментальных данных строится модель, обеспечивающая минимальное значение функционала J (Y, Ym , Am ) . Оптимальные процедуры оценивания
параметров A в этом случае сводятся к разрешению следующего уравнения:
∂ J |
= 0. |
(2.13) |
|
∂ Am |
|||
|
|
Оценивание параметров в этом случае осуществляется при помощи ретроспективных алгоритмов идентификации, когда решение получается в результате обработки всего массива данных путем выполнения конечного числа элементарных операций и не может быть получено как результат промежуточных вычислений. Такая процедура оценивания с инженерной точки зрения относится к методам идентификации вне контура регулирования и не позволяет обрабатывать поступающие наблюдения последовательно, в режиме нормальной эксплуатации.
Структурная схема реализации процедуры оценивания на основе настраиваемой модели [16, 17, 18] приведена на рис. 2.7.
35
Рис. 2.7. Схема реализации алгоритма идентификации с настраиваемой моделью
При реализации методов оценивания второго типа (см. рис. 2.7) используется принцип подстройки модели к объекту по признакам близости поведения. В этом случае модель объекта исследования, представленная параметрами Am , изменяется таким образом, чтобы харак-
теристики модели были близки к характеристикам исследуемой системы. Оптимальные процедуры оценивания параметров Am в этом случае
сводятся к разрешению следующего уравнения:
∂ J |
→ 0 . |
(2.14) |
|
||
∂ Am |
|
|
Невязка E(t) поступает на вход блока алгоритма идентификации, который изменяет параметры настраиваемой модели Am на основе ре-
шения уравнения (2.14).
Этот тип реализации относится к методам идентификации в замкнутом контуре и позволяет проводить оперативную идентификацию в режиме нормального функционирования объекта.
Следует отметить [19, 20, 21], что с появлением цифровых вычислительных устройств стало удобнее реализовывать используемые функции (вычисление критерия, автоматическая настройка и др.) алгоритмически, что приводит к стиранию четких границ между различными способами идентификации. Основным признаком, указывающим на применение методов идентификации с настраиваемой моделью, следует считать наличие обратной связи.
36
Среди возможных алгоритмов идентификации широкое распространение получили рекуррентный метод наименьших квадратов (МНК), а также метод стохастической аппроксимации (МСА). Методу наименьших квадратов соответствует минимизация квадратичного критерия (2.10). МСА характеризуется простотой и универсальностью и позволяет не ограничиваться квадратичными критериями идентификации, а формировать разнообразные как линейные, так и нелинейные алгоритмы идентификации [7].
Особенности каждой из схем реализации алгоритма идентификации приведены в табл. 2.1.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Параметры |
Явная схема реализации |
Итерационная схема реализации |
|||||||
сравнения |
процедуры идентификации |
процедуры идентификации |
|||||||
Решение задачи |
|
∂ J |
= 0 |
|
|
∂ J |
→ 0 |
||
оптимизации |
|
∂ Am |
|
|
∂ Am |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Методы |
|
Явные |
Итерационные |
||||||
идентификации |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Допонительная память |
Необходима |
|
Не требуется |
||||||
для сохранения инфор- |
|
||||||||
мации онаблюдениях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По окончании |
На первом шаге эксперимента, |
|||||||
|
все последующие наблюдения |
||||||||
Расчет модели |
эксперимента: |
уточняют модель |
|||||||
|
Am = f (U, Y) |
|
Aim − Aim+1 |
|
≤ ε |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4.2. Классификация моделей объектов управления
Существует большое разнообразие типов и классов моделей. Ни один из способов классификации не дает полную картину и не отражает всех свойств используемых моделей, так как характеризует только отдельные признаки модели.
Рассмотрим основные типы моделей, разделяющиеся по основным системным признакам [10, 13]:
1. Физические (натурные) или математические (символьные). Фи-
зическими являются модели, в которых свойства реального объекта представляются характеристиками вещественного объекта той же или аналогичной природы.
37
К математическим относятся те модели, в которых для описания характеристик объекта используются математические конструкции.
Вдальнейшем будем рассматривать только математические модели.
2.Одномерные или многомерныe. Одномерными называют объекты, имеющие один вход и один выход, многомерные (многосвязные) объекты имеют несколько входов и несколько выходов.
3.Статические или динамические. Объект называется динамиче-
ским, если его выходное воздействие зависит не только от входного воздействия в текущий момент времени, но и от предыдущих значений входа. Это означает, что объект обладает инерционностью (памятью). Математическая модель динамического объекта представляет собой описание поведения объекта во времени.
Объект называется статическим, если его реакция на входное воздействие не зависит от предыстории, от поведения системы в прошлом, а также от предыдущих значений входа. Статические системы обладают мгновенной реакцией на входное воздействие. Статические модели описывают процессы, не изменяющиеся во времени, т.е. поведение объекта в установившихся режимах.
4.Линейные или нелинейные. Объект называется линейным, если для него справедлив принцип суперпозиции, т.е. реакция объекта на линейную комбинацию (суперпозицию) двух входных воздействий равна той же самой комбинации реакций данного объекта на каждое из воздействий:
f (α1u1 (t) + α2u2 (t)) = α1 f (u1 (t)) + α2 f (u2 (t)) , |
(2.15) |
где α1, α2 – произвольные коэффициенты; u1 (t), u2 (t) – входные воздействия.
В противном случае объект считается нелинейным.
5.Стационарные или нестационарные. Объект называется ста-
ционарным, если его реакция на одинаковые входные воздействия не зависит от времени приложения этих воздействий, т.е. параметры такого объекта не зависят от времени.
В противном случае говорят, что объект нестационарный.
6.Дискретные или непрерывные. Объект называется непрерыв-
ным, если состояние его входных и выходных воздействий изменяется или измеряется непрерывно в течение определенного промежутка времени.
38
Объект называется дискретным, если состояние его выходов и входов определено лишь в дискретные моменты времени. Для описания дискретных систем используются решетчатые функции, являющиеся аналогами непрерывных функций, и разностные уравнения, являющиеся аналогами дифференциальных уравнений.
7.Детерминированные или стохастические. Объект называется детерминированным, если его выходное воздействие однозначно определяется структурой объекта и входными воздействиями и не зависит от неконтролируемых случайных факторов. В реальных условиях наблюдаемые выходные сигналы изменяются не только под воздействием наблюдаемых входов, но и из-за многочисленных ненаблюдаемых случайных помех. Если эти помехи малы или отсутствуют, то систему можно считать детерминированной.
Система, в которой случайные помехи оказывают существенное влияние на выходные переменные, называется стохастической. Стохастическая (вероятностная) модель отражает воздействие случайных факторов, поэтому между входными и выходными переменными существует не однозначная функциональная зависимость, а вероятностная. Обычно переменные состояния стохастического объекта оцениваются
втерминах математического ожидания, а входные воздействия – вероятностными законами распределения.
8.Сосредоточенные или распределенные. Объект называется объ-
ектом с сосредоточенными параметрами, если его входные и выходные величины зависят только от времени (только от одной переменной). Модели объектов с сосредоточенными параметрами содержат одну или несколько производных по времени от переменных состояния и представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения. Математическая модель переходных процессов в объекте наряду с дифференциальным уравнением содержит также дополнительные условия однозначности – начальные условия.
Объект называется объектом с распределенными параметрами, если выходная величина зависит от нескольких переменных – от времени
иот пространственных координат. Такая ситуация обычно имеет место, когда исследуемая характеристика объекта, например температура, концентрация вещества и др., распределена в некотором объеме. В этом случае математическая модель объекта содержит частные производные
иописывает как динамику процесса во времени, так и распределенность характеристики в пространстве. Математическая модель процессов
39
в распределенном объекте включает дифференциальное уравнение в частных производных, начальные условия и граничные условия. Примером такой модели может служить волновое уравнение, модель диффузии или теплопроводности:
∂ Q(x, t) |
∂ |
2Q(x, t) |
|
|
|
|
= a |
|
|
+ f (x, t, u(x, t)) , |
(2.16) |
∂ t |
|
∂ x2 |
|||
|
|
|
|
||
где Q(x, t) – функция состояния одномерного объекта с распределенными параметрами x [x0 , x1 ] ;
a, f – заданные коэффициент и функция соответственно.
9.Характеристики «вход-выход» или описание в пространстве состояния. Характеристиками типа «вход-выход» являются определенные операторы, связывающие поведение выходной величины объекта со входной, например передаточная, переходная, весовая функции.
Модели пространства состояний описывают динамическое поведение системы с n координатами, называемыми координатами состоя-
ния. Такими координатами, например, являются значения функции и ее n −1-й производной в произвольный момент времени. Они составляют n-мерный вектор, полностью определяющий состояние системы в любой момент времени в n-мерном пространстве состояний или фазовом пространстве.
Координаты вектора состояния, в отличие от векторов входных
ивыходных величин, в общем случае являются абстрактными математическими характеристиками, физическая природа которых несущественна. Координаты вектора состояния, а также структура и значения коэффициентов уравнений состояний зависят от выбора базиса в фазовом пространстве.
10.Структуированные или агрегированные. Структурированная модель является представлением математической модели всей системы в целом как совокупности относительно более простых моделей отдельных элементов и блоков объекта, соединенных между собой посредством связей. Она характеризует как физические, так и технические аспекты построения системы управления и позволяет исследовать процессы, происходящие как во всей системе в целом, так и в отдельных
ееэлементах. Таким образом, структурированная модель системы управления представляет совокупность ряда взаимосвязанных математических моделей отдельных звеньев. В такой модели, последовательно
40