книги / Линейная алгебра

что в подробной записи дает

6.11.Полярное разложение матрицы

Вп. 6.7 и п. 6.8 было отмечено, что любой линейный оператор,

действующий в евклидовом (унитарном) пространстве, разлагается в произведение симметрического (эрмитова) и ортогонального (уни­ тарного) операторов. Для матриц это означает, что любая квадрат­ ная действительная (комплексная) матрица разлагается в произведе­ ние

симметрической (эрмитовой) матрицы и ортогональной (унитарной) матрицы U. Такое разложение матрицы А называют ее полярным разложением. В нем матрица Я всегда единственная и Я = у/АА*] матрица U единственная, если А — невырожденная. В этом случае

U = Н~~1А.

В общем случае за матрицу U можно принять любую из орто­ гональных (унитарных) матриц, являющуюся решением матричного уравнения (6.45) при уже найденной матрице Я = у/АА* Так для матрицы

матрица

имеет каноническое разложение

Поэтому (см. п.3.8)

Теперь за U следует принять любую из ортогональных (унитарных) матриц, получающуюся из общего решения

матричного уравнения А = HU при найденной выше матрице Я . Такими являются матрицы

Выбор ортогональной (унитарной) матрицы U из общего решения матричного уравнения А = HU при известных А и Я может ока­ заться затруднительным. Поэтому при конструировании полярного разложения произвольной квадратной матрицы А порядка п лучше придерживаться следующего правила: если А — невырожденная ма­

трица, то матрицы Н и U можно найти по формулам

оба эти вида полярных разложений обобщены на случай любых пря­ моугольных матриц (см. [34]). При этом обнаружена глубокая связь между полярными и сингулярными разложениями (тхп)-м атриц (см. [34]).

6.12.Скелетное разложение матрицы

Представление действительной или комплексной (т х п)-матрицы А ранга г в виде произведения

с ( т х г)-матрицей В ранга г и (г х п)-матрицей С ранга г называют скелетным разложением матрицы А. Любая матрица А обладает многими скелетными разложениями.

Правило. Для построения скелетного разложения (6,49) матрицы А ранга г нужно за В принять матрицу, состоящую из каких-либо

1 4 - 1 3 0 7

г линейно независимых столбцов матрицы А или каких-либо г их линейно независимых линейных комбинаций, и элементы c\j, C2j,

При построении скелетного разложения (6.49) матрицы А можно за С принять матрицу, состоящую из каких-либо г линейно незави­ симых строк матрицы А или каких-либо г их линейно независимых линейных комбинаций, и элементы 6,i, 6,2, ..., Ь*у *-й строки матрицы В , i = 1 , т находить из равенства

где Ci, С2, . • Сг — строки матрицы С, А{ — г-я строка матрицы

А.

Отметим два важных частных случая. Если ранг (т х п)-матрицы А совпадает с числом ее столбцов, то в разложении (6.49) можно по­ ложить В = А. Тогда С будет единичной матрицей порядка п. Если ранг ( т х п)-матрицы А совпадает с числом строк, то в разложении (6.49) можно положить С — А. Тогда В будет единичной матрицей порядка т.

Это правило следует из того, что по теореме о ранге матрицы все столбцы матрицы А линейно выражаются через столбцы матрицы В, т.е. можно записать равенство (6.50) при j = 1 ,п. Но матричной записью этих равенств служит равенство (6.49). Аналогично можно рассуждать относительно строк матриц А и С и равенств (6.51) и (6.49) .

П ример. Построить скелетное разложение для матрицы

Реш ение. Здесь ранг матрицы А равен двум и первые ее два столбца линейно независимы. Поэтому положим

где Aj - j -й столбец матрицы А.

При j = 1 Aj = A i = (2 , —1 ,0)т и равенство (6.500 приводит к системе

ственно находим второй и третий столбцы (0 ,1)т , (1,2)т матрицы

- скелетное разложение матрицы А.

При конструировании скелетного разложения матрицы с помощью ЭВМ обычно стремятся получить его косвенным образом, используя дЯ-разложение матрицы (см. [3, с. 217]).

6.13.П севдообратная матрица

где U и V — некоторые матрицы. Псевдообратную матрицу можно рассматривать как псевдообратный оператор (см. [4], [7]). Для любой (т х п)-матрицы А псевдообратная матрица А+ существует и един­ ственная, причем для невырожденной квадратной матрицы А псевдо­ обратная матрица совпадает с обычной обратной матрицей А -1 .

14*

Если для (ш х п)-матрицы А известно ее скелетное разложение

Если А = RDS, где R и S — ортогональные или унитарные ма­ трицы, то

Формула (6.54) особенно удобна, если (га х п)-матрица D имеет вид

( <Т1

0 )

D =

0 Ч

так как для такой матрицы D псевдообратной матрицей является (га х п)-матрица

O r

Оо /