книги / Линейная алгебра

переходят от этого векторного равенства к покоординатным равен­ ствам и для полученной при этом однородной системы относительно с*1, . . аг, /?i,...,/? / находят какую-либо фундаментальную систему решений. Подставляя эти решения поочередно в (4.16), получают си­ стему линейно независимых векторов

которые составляют базис в Rki-i- Эти векторы являются собствен­ ными векторами, с которых начинаются жордановы цепочки макси­ мальной длины ki в корневом подпространстве К{.

4.Для каждого вектора е^\ j = 1 ,2 ,... ,pi из системы векторов

построенных в предыдущих пунктах, меньше m,-, то следует перейти к построению подпространства

будут собственными векторами, с которых начинаются жордановы цепочки длины Jb<— 1 в корневом подпространстве К{.

6. Для каждого вектора е^г\ j = р\ + 1, — Ръ из (4.22) найти

■Rjbi-(M-i), / = 1 ,2 ,..., и поступать как описано в предыдущих пунк­ тах до тех пор, пока не окажется общее число векторов во всех по­ строенных жордановых цепочках равным ггц. Затем выписывают все эти цепочки векторов одну за другой и получают жорданов базис опе­ ратора А в корневом подпространстве К{. Проделав так для каждого характеристического корня А*, * = 1 ,2 ,..., s, и объединив получен­ ные при этом жордановы базисы всех корневых подпространств

..., К8) получим жорданов базис оператора А во всем пространстве X .

7.Выписать жорданову ^атрицу J в соответствии с построен­ ным жордановым базисом оператора А в пространстве X.

8.Выписать трансформирующую матрицу Т из столбцов коор­ динат векторов построенного жорданова базиса оператора А в про­ странстве X.

Примечание. Жорданов базис оператора А в пространстве X й трансформирующая матрица Т находятся неоднозначно.

X в некотором фиксированном базисе матрица А определяет линей­ ный оператор А ) и построим в пространстве X жорданов базис этого оператора. Для этого сначала найдем характеристический многочлен

Найдем далее пересечение Я*_1 = Я2 = Lk-iC\E(l) = L2 f] E ( l ), где L2 - пространство столбцов матрицы (А —Е)2. Пространство L2 порождается вектором (3 ,1 ,3 ,1)т , поскольку ранг матрицы (А—Е)2

Это собственный вектор, с которого начинается жорданова цепочка длины к = 3. Присоединенные векторы

где L\ - подпространство столбцов матрицы А — Е. Так как ранг матрицы А —Е равен двум, то Ь\ порождается двумя его линейно независимыми столбцами, например, столбцами

<*г = (0, - 2 , 0, - 1 ) т и а2 = (-3 , - 7 , - 3 , - 4 ) т

Таким образом, L\ = < 01,02 >, Е(1) = < 61,62 >. где

с = OL\a\ + а2а2 = /?i6i + р2Ь2

и перейдем от него к покоординатным равенствам. Тогда получим систему

—Зс*2 = 3/?2, —2ai —lot2 = /?2, —Зс*2 = А ,

—Oil —4с*2 = А -

Одну из фундаментальных систем решений этой системы уравнений составляет, например, решение

причем матрицей, приводящей А к J, является матрица

составленная из столбцов координат векторов построенного жордаг нова базиса.

в некотором базисе матрица А определяет линейный оператор А> и

Он имеет корень Ai = 2 кратности mi = 3 и корень Аг = —1 крат­ ности m2 = 2. Поэтому пространство X распадается в прямую сумму корневых подпространств К\ и К2 соответственно по Ai = 2 и Аг = — 1. Сначала будем строить жорданов базис оператора А в К\. Для этого составим матрицу А — 2Е и будем возводить ее в степени m = 1,2,'... до тех пор, пока не получим равенство

г(А - 2Е)т : — mi = 5 - 3 = 2.

r(A — 2Е) = 3 ф п — mi = 2.

Эта система имеет фундаментальную систему решений ot\ = О, OL2 = —1, аз = 0, /?i = 2, /?2 = — 1- Она определяет лишь один вектор

собственным вектором в К\, с которого начинается жорданова це­

Здесь Lo - подпространство столбцов единичной матрицы (А — 2Е)°. Поэтому Lo совпадает со всем пространством пятимерных векторов

уже использованный ранее собственный вектор е ^ . Таким базисом

вектором в К\, составляющим жорданову цепочку единичной длины.

Перейдем к построению жорданова базиса оператора А в корневом подпространстве К 2 по А = —1. Для этого составим матрицу А + Е и будем ее возводить в степени т = 1 , 2,... до тех пор, пока не получим равенство г(А + Е)т = п — m2 = 5 — 2 = 3.

При т = 1

имеющих соответственно длины 2, 1 и 2. Причем первые две - в корневом подпространстве К\ по А = 2, третья - в корневом подпро­ странстве К2 по А = —1. Поэтому жорданова матрица J матрицы А имеет вид

Матрица Г, приводящая матрицу А к жордановой матрице J , со­ ставляется из столбцов координат векторов , е^\ е^\ е ^ , бд2^ и имеет вид

4.3.Второй способ построения жордановой и трансформирующей матриц

Внекоторых случаях не требуется построение жорданова базиса,

анужно лишь привести матрицу к жордановой форме. Тогда удобно пользоваться следующим правилом.