книги / Линейная алгебра

Для любого линейного оператора у?, действующего в Еп, сопряжен­ ный оператор <р* существует и единственный. Операторы (р и <р* являются взаимно сопряж енными. Из определения сопряженного оператора (р* вытекают следующие его свойства:

1.(?•)* = <р,

2.(<р + фу = <р* + Г ,

3.(окр)* = &<р* при любом действительном числе а,

4.=

Матрицы А и Ai соответственно операторов у? и у?* в произвольном базисе е пространства Еп связаны соотношением

где Г — матрица Грама базиса е. В частности, если базис ортонормированный, то

т.е. в ортонормированном базисе матрицей сопряженного операто­ ра <р* является транспонированная матрица к матрице оператора (р. Приведем пример на применение этих формул.

П ример 1. Линейный оператор <рв базисе

имеет матрицу

Найти матрицу А\ сопряженного оператора ip* в этом же базисе, если векторы е\, е2, е3 заданы координатами в ортонормированном базисе ei, е2, ез.

Реш ение. Векторы е^, е2, е3 заданы координатами в ортонорми­ рованном базисе ei, е2, ез. Поэтому мы можем вычислить скалярные произведения (е(-,е'), г, j = 1,2,3 по формуле (6.11) из п. 6.3 и соста­ вить матрицу Грама

Пример 2. В базисе е скалярное произведение задано формулой

а линейный оператор <р— матрицей

Найти матрицу А сопряженного оператора <р* в том же базисе е.

Реш ение. По коэффициентам формулы (6.29) задания скалярного произведения в базисе е составляем матрицу Грама

базиса е. Теперь по формуле (6.28) находим матрицу

Для решения задачи другим способом можно построить ортонормированный базис пространства и поступить так, как сделано при решении вторым способом задачи предыдущего примера. Однако при заданном законе (6.29) скалярного умножения векторов вычисле­ ния будут более громозкими.

Областью значений сопряженного оператора <р* является подпро­ странство, ортогональное к ядру оператора <р. Это следует из того, что для любого х из ядра оператора (р и любого у выполняется соот­ ношение

(*,^*tf) = (р*.У) = (О,У) = 0, т.е. <pmyLx.

Основное свойство сопряженного оператора состоит в следующем:

если некоторое подпространство L инвариантно относительно оператора <р, то ортогональное дополнение LL этого подпро­ странства инвариантно относительно сопряженного опера­ тора (р*

Действительно, пусть х Е L и у G LL. Тогда из условия <рх G L следует (у?х,у) = 0 , а так как (ipx,y) = (х,<р*у), то и (х,(р*у) = 0 . Отсюда следует, что tp*y Е L1 . Это доказывает утверждение.

Характеристические многочлены, а следовательно, и собственные значения сопряженных операторов одинаковы. На самом деле, по­ скольку определитель не меняет значения при транспонировании, то характеристические многочлены \А —\Е\ и \АТ —ХЕ\ матриц А и Ат будут одинаковыми. Далее, так как характеристические многочлены подобных матриц равны, то получаем

|А - ХЕ\ = \АТ - \Е\ = |Г"1АТГ - ХЕ\ = \Аг - ХЕ\.

Каждый собственный вектор сопряженного оператора ip* ортого­ нален ко всем собственным векторам оператора у?, принадлежащим другим собственным значениям.

Действительно, пусть (рх = А,я, <р*у = Ау т/, А,- ф Aj. По определе­ нию сопряженного оператора выполняется условие (<рх, у) = (х, <р*у)> которое в данном случае принимает вид At(x,j/) = Aj(x,y). При А,- ф Aj это возможно лишь при (х, у) = 0.

Для матриц последнее утверждение перефразируется так:

каждый собственный вектор действительной матрицы АТ ор­ тогонален ко всем собственным векторам матрицы А, принад­ лежащим другим собственным значениям.

Линейный оператор р ) действующий в евклидовом пространстве ЕПу называется сим м етрическим или самосопряж енным, если для любых векторов х и у из Еп выполняется равенство

Симметрический оператор в любом ортонормированном базисе евклидова пространства имеет симметрическую матрицу. Все корни характеристического многочлена симметрического оператора дейст­ вительные. Собственные векторы симметрического оператора, при­ надлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

Основным свойством симметрического оператора является то, что в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Это

означает, что симметрический оператор является оператором простой структуры, а среди матриц Т, приводящих симметрическую матрицу А к диагональному виду, т.е. удовлетворяющих соотноше­ нию Т~1АТ = = А, где А - диагональная матрица, есть ортогональ­ ная матрица или, что то же самое, симметрическая матрица А обладает каноническим разложением А = ТАТ~г, в котором транс­ формирующая матрица Т ортогональная. Правило построения та­ кой ортогональной матрицы Т остается таким же, как в случае любых операторов простой структуры (см. п. 3.8) с той лишь раз­ ницей, что базис из собственных векторов матрицы А здесь еще и ортонормируют. Поясним это правило на примере.

П ример 3. Построить каноническое разложение симметрической матрицы

с ортогональной трансформирующей матрицей.

Реш ение. Характеристический многочлен матрицы А

имеет корни Ai = А2 = A3 = 1, А4 = —3. Все они являются собствен­ ными значениями матрицы А.

При А = 1 система (А — АЕ)Х = 0 имеет ФСР, состоящую из трех решений, например, из решений ai = ( 1 , 1 , 0, 0)т , аг = (1 , 0, 1 ,0)т , а3 = (—1 ,0 ,0 ,1)т Так как мы строим каноническое разложение ма­ трицы А с ортогональной трансформирующей матрицей, то ортонормируем систему собственных векторов а\, аг, а3. В результате получим ортонормированную систему векторов

ei = -L(1,1,0,0)\ «2 = i ( l , - l , 2 , 0 ) T, 4 = ^ ( - 1 , 1 , U ) T

При A = - 3 система (A - AE)X = 0 имеет ФСР, состоящую из одного вектора, например, из вектора 04 = (1, —1, —1 ,1)т Нормируя его, получим в\ = ^(1, —1, —1, 1)т Собственные векторы е*, е1^, е3, е\

матрицы А составляют ортонормированный базис в £ 4. Из столбцов координат этих векторов составим матрицу Т и запишем искомое каноническое разложение

Представление симметрических матриц в виде канонического раз­ ложения с ортогональной трансформирующей матрицей имеет самые широкие применения в теории и приложениях. Для построения та­ кого канонического разложения применимы и косвенные способы, на­ пример, метод вращений (см. п. 9.2).

Симметрический оператор р называют неотрицательны м (п о­ ложительно определенным), если для любого ненулевого вектора х выполняется неравенство (рх}х) > 0 ( (<рх,х) > 0 ). Неотрицатель­ ный и положительно определенный операторы обозначают соответ­ ственно через р > 0 и (р > 0.

Симметрический оператор является неотрицательным (положи­ тельно определенным) тогда и только тогда, когда все его собствен­ ные значения неотрицательные (положительные). Для любого нео­ трицательного симметрического оператора р существует такой нео­ трицательный оператор / , что f m = p при любом натуральном га. Симметрический оператор / , удовлетворяющий условию / т = р } на­ зывают ариф м етическим корнем га-и степени из неотрица­ тельного си м м етри ческого оператора р .

Примерами неотрицательных симметрических операторов явля­ ются операторы р * р и р р * , где р — произвольный линейный опера­ тор. Если оператор р невырожденный, то операторы р * р и р р * — положительно определенные.

Операторы у / р * р и у/ р р * называют соответственно правым и левым модулями оператора р .

На матричном языке все сказанное здесь перефразируется следу­ ющим образом (сравни с результатами гл. 7).

Симметрическая матрица А называется неотрицательной (по­ лож ительно определенной), если для любого вектора х ф О выпол­ няется условие (Ахух) = хтАх > 0 ((Аж,х) = хтАх > 0). Неотрица­ тельная (положительно определенная) матрица А обозначается через А > 0 (А > 0). Симметрическая матрица является неотрицатель­ ной (положительно определенной) тогда и только тогда, когда все ее характеристические числа неотрицательные (положительные).

А риф м етическим корнем m-й степени из неотрицатель­ ной матрицы А называют такую матрицу J3, что Вт = А. При вычислении арифметического корня Гу/А следует построить канони­ ческое разложение А = ТА Г ” 1 и положить Тл/А = Т т\/АТ~ 1 , где

построить каноническое разложение с ортогональной трансформиру­ ющей матрицей и, пользуясь им, найти \[А.

1632 41 - А

-А 3 + 99А2 - 1539А + 6561

имеет корни Ai = 81, Аг = A3 = 9. Поэтому матрицей Л является

Далее будем конструировать ортогональную матрицу Т. Для этого будем строить ФСР однородных систем (А —AiE)X = 0 И ортонормировать их векторы-решения.

Примечания.

1.При вычислении rv^4 можно пользоваться каноническим разло­ жением матрицы А необязательно с ортогональной трансфор­ мирующей матрицей (см. п. 3.8).

2.При вычислении на ЭВМ корней из симметрических матриц ка­ ноническое разложение матрицы естественно получать методом вращений (см. п. 9.2).

3.О всех корнях из матрицы см.[7, гл. VIII].

Линейный оператор (р, действующий в евклидовом пространстве Еп, называется ортогональны м , если он сохраняет скалярное про­ изведение любых векторов х ъ у из Еп, т.е. если выполняется равен­ ство

Полагая в равенстве (6.31) х = у, получаем \фх\2 = |х|2. Это означает, что ортогональный оператор сохраняет длины векторов.

Поскольку угол между векторами определяется из соотношения

С 0 8 ¥>= и П и ’ 0 < < Р < 7 Г ,

1*1 •|У1

(см. формулу (6.8) из п.6.2) и поскольку числитель' и знаменатель в этом соотношении не меняются при действии ортогональных опера­ торов, то ортогональные операторы сохраняют углы между векто­ рами. Из сказанного вытекает, что ортогональные операторы любую ортонормированную систему векторов переводят в ортонормированную систему векторов, а ортонормированный базис - в ортонормированный базис.

Оператор р*, сопряженный с ортогональным оператором (р, со­ впадает с <р~ 1

Корни характеристического многочлена ортогонального операто­ ра (в том числе и комплексные) по абсолютной величине равны еди­ нице; действительные корни равны ±1.

Собственные векторы ортогонального оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

Ортогональный оператор в любом ортонормированном базисе евклидова пространства Еп имеет ортогональную матрицу. Отсюда следует, что произведение ортогональных операторов снова является ортогональным оператором.