книги / Линейная алгебра

в характеристическом многочлене) называют сп ектром линейного оператора. Если матрицу отождествляют с оператором, то множе­ ство всех ее собственных значений называют сп ектром матрицы .

Из сказанного следует, что длл отыскания всех собственных зна­ чений оператора с матрицей А нужно найти все характеристиче­ ские числа матрицы А и из них выбрать лишь те, которые принад­ лежат основному полю, а длл отыскания всех собственных векто­ ров оператора с матрицей А нужно найти все ненулевые решения системы (3.21) при каждом собственном значении А. Это правило поясним на примере.

действующего в действительном пространстве, найти собственные значения и собственные векторы.

Реш ение. Характеристический многочлен

матрицы А имеет корни Ai = 4, А2,з = ± 2 i. Так как рассматриваемый оператор действует в действительном линейном пространстве, то его собственным значением будет лишь А = 4. При этом значении А система (А — АЕ)Х = 0 имеет вид

Ее общим решением является X = (xi, xi, 0) с произвольным посто­ янным x i. При xi, пробегающем все действительные значения, оно дает общий вид собственных векторов оператора с матрицей А, при­ надлежащих собственному значению А = 4. Других действительных собственных векторов оператор с матрицей А не имеет, так как у него нет других собственных значений.

Собственные векторы линейного оператора ip с матрицей А, при­ надлежащие одному и тому же собственному значению А, вместе с ну­ левым вектором образуют подпространство, которое называют со б ­ ственны м п одп ростран ством оп ератора <р по А. Это подпро­ странство является ядром оператора р — Хе с матрицей А — АЕ.

Размерность собственного подпространства оператора (р по соб­ ственному значению А равна п—г\, где п - размерность пространства, в котором действует оператор у?, т.е. порядок матрицы А , г\ - ранг оператора р — Хе или, что то же самое, ранг матрицы А —ХЕ. Эту размерность называют геом етри ческой к р а тн остью собствен ­ н ого значения А. Другими словами, геометрической кратностью собственного значения А называют максимальное число линейно не­ зависимых собственных векторов оператора р, принадлежащих соб­ ственному значению А. Геометрическая кратность собственного зна­ чения не превосходит его алгебраической кратности, т.е. кратности, с которой А входит корнем в характеристический многочлен \А —\Е\.

Собственные векторы линейного оператора р , принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы. Их линей­ ные комбинации, вообще говоря, не являются собственными векто­ рами линейного оператора (р.

Если отождествлять оператор с его матрицей, то естественно го­ ворить о собственных значениях и собственных векторах матрицы. На практике так обычно и поступают. Квадратную матрицу назы­ вают п ростой , если для каждого собственного значения матрицы его геометрическая кратность совпадает с алгебраической кратностью. В противном случае матрицу называют деф ектной .

Собственный вектор х, определенный условием Ах = Ах, еще на­ зывают правым собственны м век тор ом м атрицы А , принадле­ жащим собственному значению А. Рассматривают и левые собствен­ ные векторы матрицы. Ненулевой вектор у называют левым со б ­ ственны м вектор ом м атрицы А , принадлежащим собственному

значению А, если

у'А = Ау*

Напомним, что здесь звездочка означает транспонирование и ком­ плексное сопряжение. Если это равенство подвергнуть транспони­ рованию, то придем к равенству Ату = Ау. Если провести еще и комплексное сопряжение, то получим А*у = Ху. Это означает, что левый собственный вектор у матрицы А, принадлежащий собствен­ ному значению А, является правым собственным вектором матрицы А* по А, а вектор у - правым собственным вектором матрицы Атпо

А. В дальнейшем, говоря о собственных векторах, без указаний ” пра­ вый” , ” левый” , будем понимать, что речь идет о правых собственных векторах.

3.8.Линейные операторы п р остои стр у к ту р ы

Линейный оператор, действующий в линейном пространстве Х п, называют оп ератором п р остои структуры , если в пространстве Х п существует базис, состоящий из собственных векторов этого опе­ ратора. В силу п. 3.2 в базисе из собственных векторов матрица оператора простой структуры имеет вид

Ап /

где Ai, А2, ..., Ап - собственные значения оператора.

Если в исходном базисе е оператор простой структуры имеет ма­

где Т - матрица перехода от базиса е к базису е' Она состоит из столбцов координат векторов базиса е! в базисе е , Л - матрица вида (3.22). На матричном языке соотношение (3.23) означает, что ма­ трица А приводится матрицей Т к диагональному виду.

Разрешив соотношение (3.23) относительно матрицы А, придем к соотношению

которое называют каноническим разложением матрицы А.

П р и п о с т р о е н и и м а т р и ц ы Т д л я с о о т н о ш е н и й (3 .2 3 ) и (3 .2 4 ) н у ж н о н а й т и в се с о б с т в е н н ы е з н а ч е н и я м а т р и ц ы А и п р и к а ж д о м с о б с т в е н н о м з н а ч е н и и А* п о с т р о и т ь Ф С Р о д н о р о д н о й с и с т е м ы у р а в н е н и й ( А - Х [Е )Х = 0; и з р е ш е н и й в с е х п о с т р о е н н ы х Ф С Р , к а к и з с т о л б ц о в , с о с т а в и т ь м а т р и ц у Т . П р и ч е м в м а т р и ц е Т ст о л б ц а м и з а п и с ы в а ю т с я р е ш е н и я п о к а ж д о м у А* в п о р я д к е н у м е р а ц и и с о б с т ­ в е н н ы х з н а ч е н и й А], Аг, ., Ап ( о д и н а к о в ы е Ai с ч и т а ю т с я с т о л ь к о

раз, каковы их крайности; все А,- можно занумеровать так, что будет Xi, Х2, ..., Аг ф 0, \r+i = = Лп = 0). Если матрица Т окажется квадратной, то она будет удовлетворять соотноше­ ниям (3.28) и (3.24)- Если же матрица Т окажется неквадратной, то соотношения (8.28) и (8.24) <?лл матрицы А будут невозможны, т.е. матрица А не приводится к диагональному виду и, следова­ тельно, не имеет канонического разложения. Этот способ равноси­ лен нахождению невырожденной матрицы Г из матричного уравне­ ния АТ = ТА. Из правила построения матрицы Т видно, что она будет квадратной лишь в случае, когда каждое характеристическое число А,- матрицы А является ее собственным значением и для каждого А,- совпадает его алгебраическая кратность с геометрической кратностью, т.е. с максимальным числом линейно независимых соб­ ственных векторов матрицы А по А,-, равным /,• = п — г,-, где г,- - ранг матрицы А — А{Е. Лишь в таком случае оператор с матрицей А является оператором простой структуры, а матрица А приводится к диагональному виду.

Операторами простой структуры, в частности, являются опе­ раторы простого спектра, т.е. операторы, имеющие п различных собственных значений, и симметрические операторы (см. п. 6.7), а также нормальные операторы (см. п. 6.8).

П ример 1 . Привести, если возможно, действительные матрицы

к диагональному виду и построить для них канонические разложения.

Реш ение. а) Корнями характеристического многочлена

матрицы А\ являются числа Ai = 2, Aj = 1 соответственно крат­ ности ki = 2, &2 = 1. Все они действительные и потому являются собственными значениями матрицы А\. Причем при А* = 2 матрица

имеет ранг г\ = 1 и потому /i = п — г\ = 3 — 1 = 2 = Jbi.

имеет ранг т*2 = 2 и потому /2 = п — гг = 3 — 2 = 1 = &2*

Таким образом, у матриць! Ai геометрическая кратность каждого А,- совпадает с его алгебраической кратностью. Поэтому матрица А\ приводится к диагональному виду

2 0 0

А = 0 2 0

0 0 1

В этом можно убедиться и непосредственным конструированием ма^ трицы Т, удовлетворяющей соотношению Т~1А\Т = А. Действи­ тельно, при А = 2 система (А\ —АЕ)Х = 0, т.е. система

(/1 = &i) свободных неизвестных.

Поэтому возьмем, например, определитель

Полагая в общем решении сначала xi = 1 , хг = 0, затем xi = 0,

=2, соответственно получим частные решения Х\ = (1 , 0, 3)т ,

Х2 = (0, 1, 3)т , которые составляют ФСР рассматриваемой системы уравнений.

При А = 1 система (А\ — АЕ)Х = 0, т.е. система

свободное неизвестное. Поэтому ФСР этой системы состоит из од­ ного решения, например, из решения Х 3 = (1, 1, 1)т Из решений Х\%

А», получим единственный корень m-й степени из матрицы А, у которого все характеристические числа положительные. О всех кор­ нях из матрицы см.[7, гл. VIII].

Решение системы АХ = Ьлинейных уравнений также значительно упрощается, если известно каноническое разложение А = ТА Г -*1. В этом случае от системы ТАТ~гХ = Ъпереходят к системе АТ~гХ = Т _16. Затем вводят обозначение Z = Т~1Х и решают систему AZ = Т~1Ъ. Причем, неизвестным zr+i, ..., zn, при которых множителями стоят Ar+i, ..., А„, придают соответственно произвольные значения Си Cbi •••>Сп-г- В результате получают

Z — (z j, Z2y •••, Z f , Си С2j •••j Cfi—r)

По найденному Z находят

=(z\Xi + + zrXr) + (C iX r+i + ... + Сп-гХп) = х° + Х 0<?н

(сравни с формулами (2.16) и (2.18) из п.2.6).

П ример 2. Решить систему АХ = (12, 12, —8)т , если известно каноническое разложение:

или, в подробной записи,

3.9.Упражнения

1.Оператор <р переводит вектор х = (xi, хг, хз) в вектор <р(х). В каких

случаях оператор (р является линейным ?

Вслучае линейности оператора указать его матрицу в том же базисе,

вкаком заданы координаты векторов х и <р(х).

2. Линейный оператор (р переводит векторы ai, a2, аз соответственно в векторы bi, Ь2, Ьз. Найти матрицу оператора в том же базисе, в каком заданы координатами все векторы:

3. Линейный оператор (р в базисе ei, е2, ез имеет матрицу А. Найти матрицу этого оператора в базисе еi, e£, е'3, если:

4. Линейный оператор (рпереводит вектор х = (zi, х2, хз)т в вектор (рх. Найти образ вектора а и прообраз вектора у, если