книги / Линейная алгебра

Глава 3

Линейные операторы в линейных пространствах

3.1.Определение и примеры линейных оп ераторов

Пусть даны линейные пространства Х п и Ym над одним и тем же полем Р. Говорят, что из пространства Х п в пространство Ym дей­ ствует оператор р или, что то же самое, отображение р, преобра­ зование (р, функция ру если каждому вектору а из Х п по какому-либо правилу ставится в соответствие определенный вектор а' = <р(а) = ра из Ym. Вектор а' называют образом вектор а а, вектор а - п р о ­ образом век тор а а! при отображении р.

Если пространства Х п и Ym совпадают, то говорят, что оператор р действует в пространстве Х п.

Наиболее простыми являются линейные операторы. Оператор р , действующий из Х п в Ут , называют линейным, если он сумму лю­ бых векторов а и 6 из Х п переводит в сумму их образов а' и 6', a произведение любого вектора а из Х п на любое число а из Р - в произведение образа а' вектора а на то же число а , т.е. если

р(а + b) = pa + рЪ = а' + 6',

р{аа) = ара = ао!

Два линейных оператора р и фу действующих из Х п в Ym, назы­ вают равными, если для любого а из Х п ра = фа.

Примеры:

1. Оператор £, переводящий любой вектор а линейного простран­ ства Х п в тот же вектор а Е Х п, является линейным операто­ ром. Такой оператор назывют тож дественны м .

2. Оператор ы, переводящий любой вектор а линейного простран­ ства Х п в нулевой вектор пространства Ym, является линейным оператором. Такой оператор называют нулевым.

3. Растяжение (сжатие) векторов пространства Х п в одно и то же число а раз является линейным оператором, действующим

в пространстве Х п. Такой оператор называют оп ератором подобия.

4. Пусть Хз - трехмерное пространство векторов-отрезков, вы­ ходящих из начала системы координат 0xyzf Y - одномерное пространство векторов на оси Оу. Проектирование из Хз на Y\ является линейным оператором, действующим из Хз в Y\. Этот оператор можно рассматривать также как оператор, действую­ щий в пространстве Хз.

5.Пусть в трехмерном пространстве Хз с базисом е = (ei, .е2, ез) оператор р переводит вектор х = (a?i, я2, £з) 1 в вектор

<рх = (xi + Х2, Х2 + Хз, Хз + Xl)J

Непосредственной проверкой легко убедиться в выполнимости условий (р(х + у) = <рх + (ру и <р(ах) = оар{х). Поэтому оператор

(р линейный.

Пусть из пространства Х п в пространство Ym действует линейный оператор <р.

Множество образов всех векторов из Х п при действии оператора <р называют областью значения. Область значений оператора явля­ ется подпространством в Ym. Размерность этого подпространства называют рангом оп ератора (р.

Множество всех векторов пространства Х п, которые переводятся линейным оператором р в нулевой вектор, называют ядром этого оператора. Ядро оператора р является подпространством в Х п. Раз­ мерность ядра оператора р называют деф ектом этого оператора.

Сумма ранга и дефекта оператора р равна размерности простран­ ства Хп. Оператор с ненулевым дефектом называют вы рож ден ­ ным, с нулевым дефектом - невырож денным.

3.2.М атрица линейного оператора

Линейный оператор р , действующий из линейного пространства Хп в линейное пространство Ym, определяется заданием образов реi,

оператором и матрицей такого оператора в базисе е будет матрица перехода от первого базиса ко второму.

Найдем матрицы некоторых линейных операторов, указанных в предыдущих примерах.

Столбцы координат векторов eei, ее2, ..., ееп в базисе е простран­ ства Х п, т.е. строки коэффициентов из правых частей равенств (3.5), составляют матрицу

оператора е в базисе е.

2 . Оператор <р подобия растягивает (сжимает) каждый вектор пространства Х п в а раз. В частности, то же происходит с каждым вектором е,- фиксированного базиса е пространства Х п:

Столбцы координат векторов (реi, (ре2, ..., (реп в базисе е, т.е. строки коэффициентов из правых частей равенств (3.6), составляют матрицу

оператора (р в базисе е.

3. Пусть в пространстве Хз векторов-отрезков, выходящих из начала системы координат 0xyz с координатными векторами г, j, к,

Столбцы координат векторов реi, у>б2, ^>ез в базисе g пространства Yu т.е. строки коэффициентов из правых частей равенств (3.7), со­ ставляют матрицу

Aqe = (0 10)

оператора ip в паре базисов е й q.

Если оператор р рассматривать как оператор, действующий в про­

столбцами которой служат столбцы координат векторов реи ^ 2, <рез в базисе е, т.е. строки коэффициентов из правых частей равенств (3.8),

4. Пусть в трехмерном пространстве Хз с базисом ei, 62, ез опе­ ратор <рпереводит вектор х = (xi, хг, хз)^ в вектор

Решение. Столбец координат образа векора х в базисе q находим непосредственно по формуле (3.10):

Для отыскания прообраза вектора у = (3, 2, l)J по той же фор­ муле (3.10) имеем

/xi

Х2

Хз

\ Х4

или, что то же самое,

Отсюда находим все прообразы х = (0, х4у 1 — 2^4, х4)^ вектора

- матрица оператора у? в базисе е. Тогда из условий <ра\ = 61, фа.2 = Ьг

подробной записи,

Отсюда получаем ц = Х2 = 1, yi = 2,У2 = —1. Следовательно,

О других подходах к решению таких задач см. примеры в п.3.4 и п.3.5.

3.4.Связь м еж ду матрицами линейного оп ератора в разных базисах

Пусть из пространства Хп в пространство Ym действует линей­ ный оператор <р и пусть он имеет матрицу Aqe в паре базисов е й q пространств Хп и Ym и матрицу A!qiet - в паре базисов е' и q7 про­ странств Х п и Ут . Тогда матрицы Aqe и A!q/ei оператора (р связаны соотношением

где Т — матрица перехода от базиса е к базису е' пространства Х п, Q — матрица перехода от базиса q к базису qf пространства Ym.

В частности, если пространства Х п и Ym совпадают, то базисы е

Матрицы Afqiet и Aqt) связанные соотношением (3.12), называют эквивалентными, а матрицы А* и Ае, связанные соотношением (3.13), подобны ми, причем говорят, что матрица Afe получается из матрицы Ае трансформированием матрицей Т.

П ример. В пространстве Хъ с базисом е = (ei, ег) линейный опе­ ратор (рпереводит векторы а\ = (3,4) J и ач = (4,5)7 соответственно в векторы 6i = (1,2)7 и 62 = (3,3)7 Найти матрицу оператора <р в базисе е.

Реш ение. Примем систему векторов а\, а2 за базис е! Тогда ма­ трицей перехода от базиса е к базису е; будет