книги / Линейная алгебра
..pdfматрице
/<*11 |
<*12 |
<*1п |
<*21 <*22 |
<*2п |
|
\<*п1 |
<*п2 |
<*пп |
называется алгебраическая сумма п! членов вида atUl .. .alnj n. При чем членами определителя служат всевозможные произведения по п элементов матрицы А увзятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы. Эти произведения берутся со знаком (—1)*, где t — число инверсий (беспорядков) в верхнем и нижнем рядах подстановки
( *1 |
*2 |
in |
\ |
V Зг |
Я |
Зп |
) |
составленной из индексов элементов матрицы, входящих в произве дение. В частности, при п = 2 и п = 3 соответственно получается
|
|
ац |
<*12 |
= аПа22 ~ <*12021, |
(1.7) |
|
|
|
|
<*21 |
<*22 |
|
|||
<*11 |
<*12 |
<*13 |
<*11022033 + 012023031 + 013021032“ |
( |
|
||
<*21 |
<*22 |
<*23 |
|
||||
~ 01з0220з1 — 012021033 - 011023032 |
' |
^ |
|||||
<*31 |
<*32 |
<*33 |
|||||
|
|
|
|
||||
Основные свойства определителей:
1.Определитель не меняется при транспонировании.
2.Если одна из строк (один из столбцов) определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
3.От перестановки двух строк (столбцов) определитель меняет знак.
4.Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.
5.Если все элементы некоторой строки (столбца) умножить на чи сло, то определитель умножится на это число. Общий множи тель элементов строки (столбца) определителя можно выносит], за знак определителя. Если все элементы определителя умно жить на число а, то определитель умножится на ап.
6.Определитель, содержащий две пропорциональных строки (столбца), равен нулю.
7.Если одна из строк (один из столбцов) определителя есть линей ная комбинация других его строк (столбцов), то определитель равен нулю.
8.Определитель не меняется, если к элементам одной его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой его строки (столбца), умноженные на одно и то же число. Опреде литель не меняется, если к одной его строке (столбцу) прибавить линейную комбинацию других его строк (столбцов).
9.Если все элементы i-й строки (j-ro столбца) определителя пред ставлены в виде суммы двух слагаемых, то и весь определитель представляется в виде суммы двух определителей, у которых все строки (столбцы), за исключением i-й (j-ro), такие же, как в исходном определителе, а г-я строка (j-й столбец) в первом определителе состоит из первых слагаемых и во втором - из вторых. Например,
ац ai2 bi + ci Ь2 + с2
<*31 <*32
<*13 |
|
|
|
|
|
|
|
Ьз + |
сз |
|
|
|
|
|
|
< *з з |
|
|
|
|
|
|
|
= |
а ц |
012 |
013 |
|
<*11 |
<*12 |
<*13 |
h |
ь2 |
Ъз |
+ |
Cl |
С2 |
сз |
|
|
аз1 |
аз2 |
Озз |
|
<*31 |
<*32 |
<*33 |
<*11 + |
*>1 |
Oi2 |
013 |
— |
«11 |
012 |
013 |
|
6 l |
012 |
013 |
<*21 + |
Ь2 |
022 |
023 |
021 |
022 |
023 |
+ |
Ьг |
022 |
023 |
|
<*31 + |
Ьз |
032 |
Озз |
|
аз1 |
032 |
Озз |
|
Ьз |
032 |
Озз |
Выделим в ( т х п)-матрице А к строк и к столбцов. Элементы, стоящие на пересечениях этих строк и столбцов, составляют матрицу порядка к. Определитель этой матрицы называют м инором jfe-ro порядка матрицы А.
Среди всех миноров порядка к (т х п)-матрицы А минор fc-ro
порядка, построенный на ее строках с номерами i'i < i2 |
< |
< |
|
< h < m и столбцах с номерами j\ < i 2 < |
< j k < п, называют |
||
главным, если ii = л , i2 = j 2, ..., ik = j k. |
Например, |
главными |
|
минорами первого порядка матрицы |
|
|
|
<*11 <*12 <*13
<*21 <*22 <*23
<*31 <*32 <*33
являются ее диагональные элементы ац, 022, <*зз', главными минорами второго порядка - миноры
а ц |
<*12 |
<*11 |
<*13 |
<*22 |
<*23 |
<*21 |
> |
<*31 |
<*33 |
) |
<*33 |
<*22 |
<*32 |
Среди всех главных миноров квадратной матрицы обычно выде ляют ее последовательные угловые главные диагональные миноры. В рассмотренной матрице это
а ц |
ai2 |
<*11 |
<*12 |
<*13 |
|
<*21 |
<*22 |
<*23 |
|||
<*21 |
022 |
||||
<*31 |
<*32 |
<*33 |
|||
|
|
Если дан определитель \А\, то миноры его матрицы А также на зывают минорами определителя \А\.
Пусть в определителе \А\п-го порядка взят минор М к-го порядка. Если вычеркнуть строки и столбцы матрицы А, на пересечении кото рых стоит этот минор, то оставшиеся элементы матрицы А составят минор М' (п — к)-го порядка, который называют дополнительным
минором к минору М .
Алгебраическим дополнением минора М называют его до полнительный минор М‘ , взятый со знаком (—1)5(м ), где 5(М ) - сумма номеров строк и столбцов, на которых располагается минор
М.В частности, алгебраическое дополнение элемента a,j определи
теля \А\ есть Aij = (—1),+JM ', где М ' — дополнительный минор к элементу а .
Определитель \А\, соответствующий матрице А, равен сумме произведений элементов произвольной его строки (столбца) на их
алгебраические дополненил} т.е. |
|
||
\А\ |
= |
ацАц + ai2Ai2 + ... + |
(1.9) |
\А\ |
= |
aijAij + a2jA2j + ... + QnjAnj . |
(1.10) |
В частности, если в какой-либо строке (столбце) определителя все элементы, кроме одного, нули, то определитель равен произведению этого неравного нулю элемента на его алгебраическое дополнение.
Обобщением формул (1.9) и (1.10) является следующая
Теорем а Лапласа. Пусть в определителе \А\ п-го порядка про извольно выбраны к строк (или к столбцов), 1 < к < п—1. Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, расположенных в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополне ния равна определителю \А\.
Полезным является также следующее утверждение.
Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителл на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю, т.е.
(HiAji + a>i2Aj2 -f ... + ainAjn |
= |
О, |
i ф j, |
(1.11) |
<*uA1j + a2iA2j + ... + aniAnj |
= |
0, |
i ф j. |
(1.12) |
По формуле (1.9) или (1.10) вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению определителей (п — 1)-го порядка. При приме нении этих формул на практике сначала, опираясь на свойства опре делителей, не меняя значения определителя, целесообразно в какойлибо его строке (столбце) получить по возможности больше нулей.
Поясним это на примере. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. |
Вычислить определитель |
|||||||
|
|
- 3 |
- 5 |
|
|
4 |
|
7 |
|
И1 = |
9 |
|
8 |
- |
5 |
- |
8 |
|
3 |
|
2 |
|
- 3 |
|
- 4 • |
|
|
|
6 |
|
7 |
- |
2 |
- |
5 |
Решение. |
Первую строку определителя, умноженную на 3, |
|||||||
прибавим ко второй его строке; первую строку прибавим к третьей; удвоенную первую строку прибавим к четвертой. Затем применим формулу (1.10). В результате получим
|
- 3 |
- 5 |
4 |
7 |
- 7 |
7 |
13 |
|
|
0 |
- 7 |
7 |
13 |
||||
И1 = |
- 3 |
1 |
3 |
|||||
0 |
- 3 |
1 |
—3 •( —1 )1+1 |
|||||
|
3 |
- 3 |
6 |
9 |
||||
|
0 |
- 3 |
6 |
9 |
||||
|
|
|
|
В полученном определителе вынесем общий множитель 3 из послед ней строки, (—1) - из первого столбца и определитель, оставшийся в результате, вычислим по формуле (1.8). Тогда получим
\М = —3 •(—1) •3 |
13 |
= 9-(7 1-3 + 7 - 3 - 1 |
+ |
3 |
|||
|
3 |
|
|
+ 1 3 - 3 - 2 - 1 3 - 1 |
1 - 7 •3 •3 - 7 •3 •2) = 9 •2 = |
18. |
|
При вычислениях иногда целесообразно привести определитель к треугольному виду, опираясь на свойства определителей, или пред ставить его в виде суммы определителей. Бывает удобно опираться
и на теорему Лапласа. При этом предварительно в некоторых стро ках (столбцах) имеет смысл получить по возможности больше нулей. Поясним это на примере.
П ример 2. Вычислить определитель
Реш ение. Сначала удвоенную первую строку вычтем из второй, а удвоенную четвертую строку прибавим к третьей. В результате получим
2 |
- 1 |
3 |
4 |
- 5 |
0 |
0 |
1 |
0 |
3 |
0 |
0 |
- 1 |
0 |
- 1 |
3 |
- 2 |
4 |
1 |
- 2 |
- 2 |
6 |
5 |
4 |
- 3 |
В этом определителе выделим вторую и третью строку и разложим определитель по теореме Лапласа применительно к этим строкам. Тогда получим
|
1 |
3 |
, (_1)(2+ 3)+ (3+ 5) |
. |
2 - |
1 |
4 |
|
3 |
- 2 |
1 |
||||
\ Л \ = |
- 1 |
- 1 |
|||||
|
|
- 2 |
6 |
4 |
|||
|
|
|
|
||||
= - ( - 1 |
+ 3) •(-1 6 + 2 + 72 - |
16 + |
12 - |
12) = -84 . |
|||
Теорема Лапласа позволяет произведение двух определителей лю бого порядка представить в виде одного определителя.
Например,
|
|
|
|
|
aii |
<*12 |
0 |
0 |
0 |
|
а ц |
а12 |
« и |
«12 |
<*13 |
а21 |
<*22 |
0 |
0 |
0 |
|
0121 |
«22 |
«23 |
**31 |
**32 |
<*11 |
«12 |
(*13 |
|||
021 |
<*22 |
|||||||||
0-31 |
<*32 |
«33 |
**41 |
U42 |
«21 |
«22 |
«23 |
|||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
**51 |
**52 |
«31 |
«32 |
«33 |
При Любых U { j .
С помощью теоремы Лапласа доказывается также, что произве дение определителей двух матриц n-г о порядка равно оп ре делителю произведения эти х матриц, т.е.
\А-В\ = \А\-\В\.
1.4.К рам еровские си стем ы линейных уравнений
Систему из п уравнений с п неизвестными, т.е. систему
' ацЯ1 + <*12^2 + |
+ |
0,\пХп = 6i, |
|
i ^21^1 + Я22Я2 + |
+ |
Cl2n X n |
= 62, |
kап\Х\ + ап2Я2 + |
+ |
^ п п Х п |
= Ьп . |
называют крамеровской, если определитель А матрицы А этой си стемы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, и оно находится по формулам Крамера
Xj = "д“, j = 1,2,..., п, |
(1.13) |
где определитель Aj получается из определителя А заменой j-ro стол бца столбцом свободных членов системы.
Пример. Решить по формулам Крамера систему
{ х\ |
+ |
2x2 |
+ |
Зя3 |
= |
5, |
2Я1 |
- |
Х2 |
— |
я3 |
= |
1, |
|
х\ |
+ |
Зя2 |
+ |
4я3 = |
б. |
|
|
Решение. Здесь определители |
|
5 |
2 |
|||||
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|||
д = 2 -1 -1 = 2 # 0, Дг = 1 |
- 1 |
|||||||
1 |
3 |
4 |
|
|
|
6 |
3 |
|
1 |
5 |
3 |
II |
JO |
ОЭ> II |
1 |
|
2 |
д2= 2 1 -1 |
2 |
- 1 |
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
б |
4 |
|
\ |
|
1 |
|
3 |
с
-]
А
5
1
6
Поэтому
1.5.Обратная матрица
Для квадратной матрицы А порядка п обратной называют ма трицу А- 1 этого же порядка, удовлетворяющую условию
АЛ' 1 = А- 1А = Е,
где Е - единичная матрица.
Для т о г о ч т о б ы матрица А имела обр атн ую м атрицу А-1 необходим о и достаточ н о, ч т об ы матрица А была невы ро ж денной, т.е. ч т о б ы определитель матрицы А был отличен
о т нуля. При этом матрица А~ 1 |
такж е невырож денная и |
|||||||
|
|
|
|
/А п |
^21 |
Ап1 ^ |
|
|
|
|
|
|
А -1 = т4т • |
A I2 |
А22 |
АП2 |
(1.14) |
|
|
|
|
|А| |
|
|
|
|
|
|
|
|
\А 1п |
А2п |
Ann ' |
|
|
где |
Aij |
- |
алгебраическое |
дополнение элемента a,j |
матрицы А; |
|||
iyj = |
1, |
2, |
. г.; п. |
|
|
|
|
|
П ример 1. |
Для матрицы |
|
|
|
||||
найти матрицу А 1 по формуле (1.14). |
|
|
|
|
||||||||
Реш ение. |
Сначала находим |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
- |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|А| = |
-2 |
- |
1 |
1 |
= 5 ^ 0 , |
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
А п = |
(~ 1)1+1 |
1 |
|
1 |
= |
5, |
|
А21 = |
( - 1 )2+1 |
- 1 |
|
= 4, |
|
|
- 1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
Аз1 = |
( - 1 )3+1 |
- 1 |
|
0 |
= -i, |
A12 = ( - I)1+2 |
- 2 |
1 |
= 10, |
|||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
А22 = ( - 1 )2+2 |
3 |
0 |
= |
12, |
|
А32 = |
( - 1 )3+2 |
3 |
0 |
= -з , |
||
2 |
4 |
|
-2 |
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
А13 = ( - 1 )1+3 |
- 2 |
|
1 |
|
= |
0, |
а 23 = |
( - 1 )2+3 |
3 |
- 1 |
= 1, |
|
2 |
|
- 1 |
|
2 |
- 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Азз = |
( - 1 )3+3 |
3 |
|
- 1 |
|
= |
1. |
|
|
|
|
|
- 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(А п |
A21 |
-АзгХ |
1 |
/ |
5 |
4 |
—1 |
А - 1 |
= т4т • |
\Ai3 |
А22 |
^32 |
= 7 * |
\ |
10 |
12 |
- 3 |
|
|Л| |
л 23 |
А33) |
Ь |
о |
|
11 |
На практике целесообразно при вычислении обратной матрицы А~г к матрице
ап |
а>\п |
|
А = |
|
|
ani |
апп |
|
составить систему АХ = У, т.е. систему |
|
|
^11^1 + •••+ CLlnXn |
УЬ |
|
flnliCl + . . . + |
0>nnXf\ |
Уп- |
/
и разрешить ее относительно ®i, Я2, ... , хп. Тогда получим систему
*1 = Ьщ/1 + ■■■ + ЬтУп,
хп = bnlyi + ... + ЬппУп-
Матрица
В =
этой системы и будет обратной матрицей А 1. Поясним это на при мере.
Пример 2. Для матрицы
■С!)
найти обратную матрицу.
Решение. |
Составим систему АХ = У, т.е. систему |
|
Г 3 l l + 2 x 2 = Ух, |
\ 4 x i+ 3х2 = У2-
Решим ее, например, методом Гаусса относительно х\ и Х2. Тогда получим
Г ®i |
= |
3у1- 2у3, |
\ |
= |
~4yi + 3у2. |
Следовательно,
Эти рассуждения равносильны следующим. Выпишем составную матрицу (А\Е) и матрицу А в ней приведем элементарными преобра зованиями над строками по схеме метода Гаусса к единичной матрице Е. Тогда единичная матрица Е при тех же преобразованиях перейдет в матрицу А " 1. Так, для матрицы А из второго примера имеем
( А \ Е ) =
При вычислении обратной матрицы можно также опираться на ее определение. При этом матрицу А~г выписывают с неизвестными элементами и составляют равенство АА” 1 = Е. Проведя умноже ние в левой части этого равенства и сравнив соответствующие эле менты матриц левой и правой частей равенства, придем к системе п2 уравнений относительно неизвестных элементов матрицы А " 1. Эта система распадается на п подсистем относительно неизвестных эле ментов столбцов Xj = (xij, . . . , x ni)T матрицы А” 1. Можно сразу рассматривать системы AXj = E j, где Ej - j -й столбец единичной матрицы порядка п, j = 1,2, .. .,п. Используя этот метод, найдем обратную матрицу к матрице
Для этого составим системы АХ\ = Е\ и АХ2 —i?2, т.е. системы
Г Зжц + 2x21 = 1) |
Г Зхп + 2х21 = О, |
\ 4хц + 3х21 = 0 |
\ 4хц + 3х21 = 1. |
Решая их, найдем
Х\ = (*и> * 2i)T = (3; - 4 ) т , Хъ = (а?12, ®22)т = (-2 ; 3)т
Поэтому
л - = № , а д = ( * “ : " ) = ( j |
1 ) |
Обратная матрица обладает следующими свойствами:
1) |
(А -1 )-1 = А, |
4) |
(У М г Г 1 = А, 1А ; 1, |
2) |
(Ат )-1 = (А -1 )т , |
5) |
|А-1 |= |А|-1 . |
3)(А*)-1 = (А-1 )*,
Взаключение заметим, что наличие обратной матрицы А -1 к
матрице А крамеровекой системы АХ = Ъпозволяет решение этой системы записать в матричной форме в виде
X = А -Ч . |
(1.15) |
|
Для системы |
|
|
Г 3a?i + 2a?2 |
= |
1, |
\ 4х\ + 3x2 |
= |
2 |
по формуле (1.15) получаем
'-О ■С:Г (О- ■ (-!-.)(!)■('!)
Обобщением обратной матрицы является псевдообратная матрица.
Опсевдообразной матрице см. п. 6.13.
1.6.Разложение квадратной матрицы на треугольные множители
Любую квадратную матрицу А, все последовательные главные диа гональные миноры которой отличны от нуля, можно представить в виде произведения