книги / Линейная алгебра

где положено L = S'-1 .

Для вычисления неизвестных элементов матриц L и U разложе­ ния (1.16) можно также провести умножение матриц в правой части этого разложения, сравнить элементы полученной матрицы с соот­ ветствующими элементами матрицы А и решить полученную систему относительно неизвестных элементов матриц LnU. Решение в общем виде дает формулы для вычисления нужных элементов (см. [6], [7]).

Проведя умножение матриц в правой части этого равенства, получим

Сравнивая соответствующие элементы этих матриц, придем стеме уравнении

Множество, которое не содержит ни одного элемента, будем на­ зывать пусты м м нож еством и обозначать символом 0

Пусть дано некоторое множество А, содержащее хотя бы один элемент. Будем говорить, что в множестве А определена алгебраиче­ ская операция, если указан закон, по которому любой паре элементов а и 6, взятых из этого множества в определенном порядке, ставится во взаимно однозначное соответствие некоторый элемент с, также принажлежащий этому множеству. Бели это операция сложения, то элемент с будем называть суммой элементов а и 6 и обозначать символом а + 6; если это операция умнож ения, то элемент с будем называть произведением элементов а и 6 и обозначать символом ab. В общем случае алгебраическую операцию будем обозначать символом *.

Алгебраическая операция * называется ком м утативной, если ре­ зультат ее применения не зависит от порядка выбора элементов, т.е. для любых элементов а и Ьиз рассматриваемого множества выполня­ ется равенство а*6 = Ь*а. Например, операции сложения и умножения чисел являются коммутативными операциями, а вычитание и деление - некоммутативными операциями.

Поскольку алгебраическая операция определена для пар элемен­ тов, то для трех элементов а, 6, с возможным будет рассмотрение либо элемента (а * Ь) * с, либо элемента а * (6 * с). В общем случае эти элементы могут оказаться различными.

Алгебраическую операцию * называют ассоциативной, если для любых трех элементов а, 6, с рассматриваемого множества выполня­ ется равенство (а*6)*с = а * (6*с). В этом случае результат операции *, примененный к элементам а, 6, с записывают в виде а*Ь*с. Ассоци­ ативная операция позволяет рассматривать выражения a i+аг*.. .*afc, содержащие любое конечное число элементов ai, аг, ..., а*. При этом для ассоциативной операции результат не зависит от расстановки скобок в таком выражении.

Если операция ассоциативна и коммутативна, то результат не за­ висит и от порядка расположения элементов в этом выражении.

Для алгебраической операции * часто приходится рассматривать наличие обратной операции, что равносильно решению уравнений

а* х = Ь, у* а = b

относительно элементов ж и у из А.

Решение этих уравнений приводит к правой и левой обратным операциям. В случае их существования будем говорить, что операция

* имеет обр атн ую операцию. Наличие обратной операции равно­ сильно существованию п равого и левого обратн ы х элем ентов в рассматриваемом множестве для любого элемента этого множества.

Если правый и левый обратные элементы для элемента а совпа­ дают, то этот совпадающий элемент называют обратны м элемен­ том к элементу а. В случае, когда алгебраическая операция является сложением, обратный элемент к элементу а называют п роти воп о­ лож ным элем ентом для элемента а и обозначают символом —а; в случае, когда алгебраическая операция является умножением, обрат­ ный элемент к элементу а обозначают символом а-1 .

Группой называют множество с одной ассоциативной и обраг тимой операцией. Если алгебраическая операция на группе явля­ ется сложением, то группу называют аддитивной; если алгебраиче­ ская операция на группе является умножением, то группу называют мультипликативной. Группу с коммутативной операцией назы­ вают абелевой; группу, состоящую из конечного числа элементов, называют конечной группой, а число элементов в группе - поряд­ ком группы .

Примерами групп являются:

1.Множество всех целых чисел относительно сложения.

2.Множество всех четных чисел относительно сложения.

3.Множество всех чисел, кратных данному числу п, относительно сложения.

4.Множества всех рациональных, действительных и комплексных чисел относительно сложения.

5.Множества всех рациональных, действительных и комплексных чисел, отличных от нуля, относительно умножения.

6.Множество всех корней n-й степени из единицы относительно умножения.

7.Множество всех невырожденных матриц n-го порядка относи­ тельно умножения.

8.Множества всех векторов-отрезков на прямой, на плоскости и в пространстве относительно сложения.

Если дана какая-либо группа G и подмножество Я, содержащееся в G, образует группу относительно алгебраической операции, задан­ ной в G, то группу Я называют подгруппой группы G. Например, аддитивная группа всех четных чисел является подгруппой аддитив­ ной группы всех целых чисел, которая сама является подгруппой ад­ дитивной группы всех действительных чисел.

Пусть в множестве К введены две операции - операция сложения и операция умножения. Говорят, что эти операции связаны законом дистрибутивности, если для любых элементов а, 6, с из К выпол­ няются соотношения

Множество К называют кольцом, если в нем определены ассоциаг тивные операции сложения и умножения, связанные законом дистри­ бутивности, причем операция сложения коммутативная и обладает обратной операцией вычитания.

Кольцо называют ком м утативны м , если в нем операция умно­ жения коммутативная, и неком м утативны м - в противном случае. Заметим, что любое кольцо является абелевой группой по сложению.

Ненулевые элементы кольца, произведение которых равно, нулю, называют делителями нуля. Например, делителями нуля в кольце матриц второго порядка относительно сложения и умножения матриц являются ненулевые матрицы

так как их произведение

является нулевым элементом этого кольца.

Коммутативное кольцо Р, в котором есть единичный элемент и каждый ненулевой элемент имеет себе обратный элемент, называют полем.

Примерами полей являются:

1.Множества всех рациональных, всех действительных, всех ком­ плексных чисел относительно сложения и умножения.

2.Множество всех чисел вида а + 6\/2, где а и Ь- рациональные числа, относительно сложения и умножения.

3.Множество, состоящее из двух элементов 0 и 1 относительно операций сложения и умножения, заданных равенствами

В любом поле отсутствуют делители нуля. Поэтому в любом поле из равенства аЬ = О следует, что либо а = 0, либо 6 = 0. Кроме того, во всяком поле сохраняются все правила действий над обык­ новенными числами. Это позволяет элементы любого поля называть числами, а само поле — числовым полем.

Из определения поля также следует, что в любом числовом поле выполняются следующие свойства его операций и элементов:

A.В поле Р определена операция сложения, которая каждой паре элементов а и 6 поля Р ставит во взаимно однозначное соот­

ветствие элемент а + 6 из Р, называемый суммой элементов а

и6. Причем:

1)Сложение коммутативно, т.е. а + 6 = 6 + а для любых эле­ ментов а и 6 из Р.

2)Сложение ассоциативно, т.е. а+ (6+ с) = (а + 6 )+ с для любых элементов а, 6, с из Р.

3)В множестве Р существует единственный нулевой элемент 0

такой, что а + 0 = а для любого элемента а из Р.

4)В множестве Р для любого элемента а из Р существует един­ ственный противоположный элемент —а такой, что а+ (—а) = 0. Это обеспечивает наличие в поле Р операции вычитания.

B.В поле Р определена операция умножения, которая каждой паре элементов а и 6 из Р ставит во взаимно однозначное соответ­ ствие элемент аб из Р, называемый произведением элементов а и 6. Причем:

1)Умножение коммутативно, т.е. аЬ= 6а для любых элементов

аи 6 из Р.

2)Умножение ассоциативно, т.е. а(6с) = (аЬ)с для любых эле­

ментов а, 6, с из Р.

3) В множестве Р существует единственный единичный эле­ мент 1 такой, что а 1 = 1 •а = а для любого элемента а из

Р.

4) В множестве Р для каждого ненулевого элемента а из Р существует единственный обратный элемент а” 1 такой, что а • а-1 = а” 1 •а = 1. Это обеспечивает наличие в поле Р операции деления на любой ненулевой элемент.

C.В множестве Р сложение и умножение связаны законом дистри­ бутивности, т.е. для любых элементов а, 6, с из Р выполняется соотношение (а + 6)с = ас + 6с.

1.8.Упражнения

1.Решить методом Гаусса системы уравнений:

Найти обратные матрицы к следующим матрицам:

8. Решить системы А Х = b из упражнения б по формуле X = А ХЪ:

9. Решить матричые уравнения:

2)

10.Для матриц из упражнения 7 построить L U -разложение А = L U и,