книги / Линейная алгебра

11.Решить систему АХ = 6, если известны каноническое разложение

А = ТЛТ” 1 матрицы А и столбец свободных членов Ь.

Глава 4

Каноническая жорданова форма матриц

4.1.П редварительные замечания

Было доказано, что матрица оператора простой структуры при­ водится к диагональному виду. Оказывается, что в общем случае комплексная квадратная матрица приводится к квазидиагональной, так называемой ж ордановой форме. Ниже мы выясним, как прак­ тически получается такая форма матриц.

Пусть дана квадратная матрица А порядка п и пусть

/(А ) = \А - ХЕ\ = (-1 )"(А - Ai)m‘ (A - Ы 3 •••(А - А,)т * (4.1)

- характеристический многочлен матрицы А . Будем считать, что ма­ трица А в фиксированном базисе n-мерного комплексного простран­ ства X определяет линейный оператор А . Напомним, что множество образов всех векторов из X , которые получаются при действии опе­ ратора A f составляет область значений этого оператора. Ее будем обозначать через А(Х) или JmA. Область значений оператора А со­ впадает с пространством Ь{А) столбцов матрицы А. Я д р о опера­ тор а А - это множество всех векторов из Х укоторые оператор А пе­ реводит в нулевой вектор. Ядро оператора А также является подпро­ странством в X . Его мы будем обозначать через КетА, Размерность области значений оператора называют его рангом, а размерность ядра оператора - его деф ектом . Характеристический многочлен (4.1) матрицы А называют также характеристическим многочленом оператора А .

К орневы м п одп ростран ством по А* оп ератора А называют подпространство

где А,- - корень характеристического многочлена (4.1), т,- - крат­ ность этого корня в характеристическом многочлене (4.1).

Известно, что размерность корневого подпространства К{ равна гщ. Каждое корневое подпространство К\, . . К 8 инвариантно отно­ сительно оператора А и пространство X разлагается в прямую сумму корневых подпространств

Пусть Ki - одно из корневых подпространств и В{ - оператор, индуцируемый на нем оператором А — А,£. Найдутся векторы е^2\

..., eW корневого подпространства К{, удовлетворяющие условиям

eW называют соответственно первы м, втор ы м и т .д . присоеди ­ ненными к е^1) векторам и . Говорят также, что векторы е^1), е ^ ,

..., образуют в К{ ж орданову цепочку длины h с началом в eW.

п одп ростран стве К{.

Подпространство, порожденное векторами

X, BiX, В{Х, В,*-1®,

называют циклическим п одп ростран ством , порож денны м век­ тор ом х. Его размерность равна Л. Каждое циклическое подпро­

подпространство распадается в прямую сумму циклических подпро­ странств, порождаемых жордановыми цепочками векторов.

Векторы всех жордановых цепочек, образующих базис такой пря­ мой суммы, составляют базис в К,-. Этот базис называют корневы м или ж ордановы м базисом в К Чтобы построить жорданов баг

что то же самое, является началом жордановой цепочки наибольшей из возможных для него длин Л, тогда и только тогда, когда

где Д(А,) - подпространство собственных векторов по А,- оператора

А.

Для подпространств До, R\) ..., Д*, где к - наибольшая длина жордановых цепочек в Д,*, выполняются соотношения (см.[3, с. 67])

Наибольшая длина А,- жордановых цепочек в К{ совпадает с крат­ ностью корня А,- в минимальном многочлене матрицы А или, что то же самое, с наименьшим числом m = 1,2 ,..., при котором выполня­ ется соотношение

где г(А — А{Е)т - ранг матрицы (А — А»Е)т\п - порядок матрица А; гп{ - кратность корня А,- в характеристическом многочлене матрицы

А.

Для удобства в дальнейшем там, где это не будет вносить пута­ ницы, мы будем опускать индекс г числа

Если k = 1, то корневое подпространство Д,- совпадает с собствен­ ным подпространством Д(А,) и в Д,- существует базис, состоящий из собственных векторов оператора А . Это будет жорданов базис в К{ в рассматриваемом случае. Матрица оператора, индуцируемого в Д,-, в этом базисе будет диагональной матрицей порядка гщ с А,- по главной диагонали.

Если же k > 1, то для построения жорданова базиса в Д,- недо­ статочно собственных векторов оператора А. В этом случае сначала в пространстве Д(А,) = KerBi собственных векторов по А,- строят базис, связанный с системой подпространств (4.6). Для этого выби­

рают какой-либо базис е ^ , ..., в подпространстве Rk-i- Это бу­ дут собственные векторы, с которых начинаются жордановы цепочки наибольшей Длины к в Д,-. Затем эти векторы дополняют какимилибо векторами е£^+1, ..., е $ до базиса в Як-2- Векторы е^ +1,

ера^ будут собственными векторами, с которых начинаются жордановы цепочки длины Аг — 1. Такой процесс продолжают до тех пор, пока не получится базис в Д(А,) = KerBi.

длины к—1 и т.д. Векторы всех таких жордановых цепочек образуют жорданов базис в К{. Выпишем его в виде следующей таблицы:

е(1)

еРк

Мы предполагаем, что в жордановом базисе пространства if,- век­ торы располагаются так, что в табл. (4.8) их следует нумеровать, начиная с первой строки слева направо, затем продолжать нумераг цию во второй строке слева направо и т.д. В первом столбце табл. (4.8) располагаются собственные векторы базиса в i?(A,-), связанного с системой подпространств (4.6). В строках этой таблицы располо­ жены векторы соответствующих жордановых цепочек базиса в if,-. В первых pi строках записаны р\ жордановых цепочек базиса наиболь­ шей в if,- длины к, затем идут рг — Pi жордановых цепочек длины к — 1 и т.д. Причем, выполняются соотношения

оператора с матрицей (А—\{Е)Р\го = п, гр - ранг матрицы (А—А,\£?)р;

к- наибольшая длина жордановых цепочек в if,-.

Вобщем случае может оказаться, что в табл. (4.8) отсутствуют некоторые жордановы цепочки меньших длин.

Заметим, что в каждой /-й строке табл. (4.8) только один вектор

является собственным вектором по А,- оператора А , а остальные векторы каждой /-й строки табл. (4.8) являются присоединенными

векторами к е\1\ Векторы, стоящие в правом столбце табл. (4.8), имеют высоту к} векторы второго справа столбца - высоту Аг — 1 и т.д. Векторы первого слева столбца табл. (4.8) имеют высоту 1. Если для любого / < к обозначим через Hi множество векторов из

К{, высоты которых не превосходят /, то окажется, что Hi является подпространством в Ki и порождается векторами табл. (4.8), распо­ ложенными в / ее первых слева столбцах. Для подпространств Но,

# 1, # 2, ..., Hk выполняются соотношения

Этими соотношениями можно также пользоваться при построе­

к} принадлежащие Hk, но не лежащие в Hk-i и порождающие вме­ сте с Hk- 1 подпространство if,-. Для каждого из этих векторов е^к\

= (А — А,-#)*” 2^-*” 1^. Далее так же поступают с подпространствами Hk-2 и Hk-3 и т.д. В результате приходят к системе векторов, обра­ зующих жорданов базис в Я,-, т.е. к системе векторов табл. (4.8).

Итак, исходя из системы подпространств (4.6), мы строили век­ торы табл. (4.8), начиная с ее векторов, располагающихся в левом верхнем углу. Если же векторы табл. (4.8) строить, исходя из си­ стемы подпространств (4.10), то нужно начинать с векторов табл. (4.8), располагающихся в ее правом верхнем углу.

На наш взгляд, практически легче строить векторы табл. (4.8), используя систему подпространств (4.6).

Каждая строка табл. (4.8), т.е. каждая жорданова цепочка век­ торов этой таблицы, определяет циклическое инвариантное относи­ тельно оператора А — А,*£ и, следовательно, оператора А, подпро­ странство. Первые pi циклических подпространств имеют размер­ ность куследующие рг — pi циклических подпространств имеют раз­ мерность к — 1 и т.д. _

Укажем матрицу оператора, индуцируемого, например, в первом циклическом подпространстве. Предположим, что в этом подпрост­ ранстве в качестве базисных взяты векторы е ^ , е ^ , ..., е ^ . По

3 , состоящей из жордановых клеток по главной диагонали. Первыми располагаются жордановы клетки по Ai, затем жордановы клетки по Аг и т.д. При этом жордановы клетки располагаются в матрице 3 по главной диагонали в том же порядке, в каком расположены в жордановом базисе соответствующие им жордановы цепочки.

Таким образом, матрица 3 имеет вид

1

0 Ах

3 =

Вжордановой матрице 3 по каждому А,* жордановы клетки рас­ полагаются по убыванию их порядков. Некоторые из жордановых клеток могут повторяться, а некоторые из жордановых клеток низ­ ших порядков могут отсутствовать. Частным случаем жордановой матрицы является диагональная матрица.

Заметим, что если в построенном жордановом базисе изменить нумерацию жордановых цепочек, то в жордановой матрице на глав­ ной диагонали соответственно изменится положения соответствую­ щие жордановы клетки.

Всилу соотношения (3.13) из п. 3.4 между матрицей А и ее жор­ дановой матрицей 3 выполняется соотношение

где Т - матрица перехода от исходного базиса пространства X к его жорданову базису.

Матрица Т состоит из столбцов координат векторов жорданова базиса в исходном базисе. Причем, эти столбцы располагаются в ма­ трице Т в том же порядке, в каком располагаются им соответству­ ющие векторы в жордановом базисе пространства X. Матрицу Т

называют трансф орм ирую щ ей, или приводящ ей, м атрицу А к

ееж ордановой ф орм е J.

Частным случаем формулы (4.12) является формула (3.23) из п. 3.8,

т.е. формула приведения матрицы к диагональному виду.

4.2. П остроен ие ж орданова базиса, ж ордановой и трансф орм ирую щ ей м атриц

Для практического построения жорданова базиса, жордановой и трансформирующей матриц применимо следующее

Правило. При построении жорданова базиса оператора А с ма­ трицей А в исходном базисе и при построении жордановой формы J матрицы А и трансформирующей матрицы Т для каждого характе­ ристического корня А,- матрицы А , имеющего кратность т*, необхо­ димы практические действия в следующей последовательности.

1 . Составить матрицу А — А,-# и возводить ее последовательно в степени m = 1 , 2, ... до тех пор, пока не получится равенство

где г(А —AiE)m - ранг матрицы (А — AiE)m; п - порядок матрицы А\ га,- - кратность характеристического корня А,- матрицы А.

Наименьшее натуральное число га, при котором выполняется ра­ венство (4.13), даст максимальную длину Аг,- жордановых цепочек в корневом подпространстве К{.

2 . Построить подпространство -Е(А,-) собственных векторов по А,- оператора А . Для этого найти какую-либо фундаментальную систему