книги / Линейная алгебра

В системе (1.2) следует вычеркнуть уравнения вида 0 •a?i + 0 •®2 +

... + 0 •хп = 0, если такие появились. На этом первый шаг метода Гаусса заканчивается. Элемент ац называют ведущ им элем ентом этого шага.

Следующие шаги прямого хода метода Гаусса осуществляются ана­ логично. Так, на втором шаге при а'22 Ф 0 последовательно умножают второе уравнение на a ^ /a ^ , о,\21 о!2^ •••, am2 /a22 и>соответственно, вычитаем его из 3, 4, m-го уравнений. В результате исключа­ ется неизвестное ®2 из всех уравнений, кроме 1-го и 2-го. На третьем шаге исключается неизвестное хз из всех уравнений, кроме первых трех, и т.д.

Возможно, что на некотором шаге прямого хода метода Гаусса

Тогда рассматриваемая система несовместна, и дальнейшее ее реше­ ние прекращается. Бели же при выполнении прямого хода метода Гаусса не встретятся уравнения вида (1.3), то рассматриваемая си­ стема не более чем через т шагов прямого хода преобразуется в эквивалентную систему вида

Для упрощения записи в системе (1.4) штрихи над коэффициен­ тами опущены. В ней не более т уравнений, т.е. г < т , так как некоторые уравнения, возможно, были приведены к виду 0 = 0 и вы­ черкнуты.

При г = п система (1.4) имеет треугольный вид

Qnnxn — bn,

1.2.Начальные сведения о матрицах. Д ействия с матрицами

Прямоугольной или ( т х п)-матрицей называется система чи­ сел, расположенных в виде таблицы

/ 0,11 Oi2

021022

\ат1 dm2

Кратко матрицу А записывают в виде А = (а1;), i = 1, 2, . . m; j = 1, 2, .. .,п. Числа ciij, составляющие данную матрицу, называют ее элементами. Первый индекс у элемента указывает номер строки, а второй — номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент.

Матрицу называют комплексной, если хотя бы один ее элемент является комплексным числом, и действительной (вещ ественной), если все ее элементы — действительные (вещественные) числа.

Две матрицы одинакового размера т хп считают равными, если попарно равны их соответствующие элементы, т.е. элементы, стоя­ щие на одинаковых местах в этих матрицах.

Матрицу, состоящую из одной строки или одного столбца, назы­ вают соответственно век тор -стр ок ой или вектор -стол бц ом . Эле­ менты векторов называют их компонентами. Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом.

Матрица, состоящая из нулей, называется нулевой и обознача­ ется через 0.

Если число т строк матрицы равно числу п ее столбцов, то ма­ трицу называют квадратной порядка п. Диагональ квадратной матрицы, соединяющая левый верхний угол с правым нижним, назы­ вают главной. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называют диагональными.

Диагональная матрица, у которой все элементы по главной диаго­ нали одинаковые, называется скалярной. Частным случаем скаляр­ ных матриц является единичная матрица

\

Матрицу, полученную из данной матрицы А заменой в ней строк соответствующими столбцами, называют транспонированной к А и обозначают через А! или Ат Если А — ( т х п)-матрица, то Ат

— (п х т)-матрица. В частности, если А — вектор-строка, то Ат— вектор-столбец, и наоборот.

Матрицу А называют сим метрической, если А = Ат ; матрицу А - комплексно сопряж енной к матрице А, если она получена из

А заменой в ней элементов на комплексно сопряженные; матрицу А*

-эрм итово-сопряж енной, или сопряж енной к матрице А, если она получена из А заменой элементов на комплексно-сопряженные и транспонированием, т.е. если А* = Ат Для действительной ма­ трицы А всегда А* = Ат

Квадратная матрица А называется эрмитовой, если А* = А.

Суммой матриц А = (aij) и В = (6,; ) одинакового размера m xn называется матрица С = (cXJ) того же размера, элементы которой равны суммам aXJ- + 6XJсоответствующих элементов слагаемых ма­ триц. Таким образом,

П роизведением матрицы A — (ai;) на число а называют ма­ трицу а А, все элементы которой равны произведениям соответ­ ствующих элементов исходной матрицы на это число:

Вчастности, матрицу (—1) -А называют противоположной к матрице

Аи обозначают через —А.

Линейной комбинацией в ек тор ов -стр ок (столбцов) А \, AQ,

..., Ak называют вектор-строку (столбец)

а\А\ + OL^AI + ... + ajb-Afc.

2-1307

1.Умножение любой г-й строки матрицы на любое число а.

2.Прибавление к любой г-й строке матрицы любой ее j -и строки, умноженной на число а.

3.Умножение любого j -го столбца матрицы на любое число а.

4.Прибавление к любому г-му столбцу матрицы любого ее ;-го столбца, умноженного на число а.

5.Перестановку строк (столбцов) матрицы.

Первое и второе преобразования над матрицей равносильны умно­ жению ее слева соответственно на элементарные матрицы

Третье и четвертое преобразования над матрицей равносильны умножению ее справа соответственно на эти элементарные матрицы. Перестановка строк в матрице равносильна умножению этой матрицы слева на матрицу Р, получаемую из единичной матрицы той же пе­ рестановкой строк. Перестановка столбцов в матрице равносильна умножению этой матрицы справа на матрицу Q, получаемую из еди­ ничной матрицы той же перестановкой столбцов. Матрицы Р и Q называют матрицами перестановок.

Применение элементарных преобразований над матрицами мы уже встречали в методе Гаусса. Применение элементарных матриц про­ иллюстрируем ниже (см. п. 1.6.) в примере на разложение матрицы на треугольные множители.

1.3.Определители

Определителем |Л|п-го порядка, соответствующим квадратной