книги / Линейная алгебра

Сумма линейных операторов является линейным оператором. Ма­ трицей суммы линейных операторов в фиксированных базисах явля­ ется сумма матриц слагаемых операторов в тех же базисах. Опреде­ ление суммы линейных операторов распространяется на любое конеч­ ное число операторов. То же относится и к правилу конструирования матрицы такой суммы операторов.

П роизведением линейного оп ератора р на число А из Р называют оператор Ау>, при действии которого образы <рх векторов х из Х п умножаются на А, т.е. оператор Ар, действующий по правилу

(А<р)х = А •((рх) при любом х G Х п.

Произведение линейного оператора на число является линейным оператором. При умножении линейного оператора на число его ма­ трица умножается на то же число.

Множество всех операторов, действующих из Х п в Ут , с вве­ денными операциями сложения операторов и умножения их на чи­ сла, является линейным пространством, изоморфным линейному про­ странству ( т х п) - матриц с элементами из Р с операциями сложения матриц и умножения их на числа из поля Р.

Пусть даны линейные пространства Х П} Ym, Zp над полем Р и пусть р - линейный оператор, действующий из Х п в Уш, ф - линей­ ный оператор, действующий из Ym в Zp. Результат последователь­ ного выполнения операторов ( риф называют их произведением и обозначают через ф(р (оператор, действующий первым, пишется в произведении справа). Произведение фр операторов отображает Хп в Zp и является линейным оператором.

Пусть B X n)YmiZp выбраны соответственно базисы е, д, / . Обо­ значим матрицу оператора <р в базисах е й g через А , матрицу опе­ ратора ф в базисах g и / - через В. Тогда оператор фр в базисах е и / имеет матрицу ВА (матрица оператора, действующего первым, пишется в произведении справа). Из правила построения матрицы произведения операторов сразу вытекает, что ранг произведения опе­ раторов не превосходит рангов сомножителей.

Определение произведения линейных операторов распространяет­ ся на любое конечное число последовательно выполняемых линейных операторов. То же относится и к правилу конструирования матриц произведения операторов из матриц операторов сомножителей. При­ ведем пример на применение умножения операторов.

П ример. В пространстве Хъ с базисом е = (ei, ег) линейный опе­ ратор р переводит векторы а\ = (2, — 1)J, аг = (—1 , 1 )J соответ-

ственно в векторы &i = (1,2)J, Ъ2 = (3,3)J. Найти матрицу оператора р в базисе е.

Реш ение. Через ф обозначим оператор, переводящий ei, е2 соот­ ветственно в ai, а2. Его матрицей в базисе е будет

Далее, оператор (р переводит векторы а2, соответственно, в векторы 61, 62. Значит, произведение рф операторов ф и <рпереводит векторы ei, ег, в векторы Ь\, 62* Поэтому в базисе е произведение <рф операторов ф и <римеет матрицу

С другой стороны, если Ае - матрица оператора <р в базисе е, то матрица Гг произведения <рф операторов ф и (р равна произведению их матриц, т.е.

Т2 = А еТ1.

Отсюда получаем

Пусть дан линейный оператор <р, действующий из пространства Х п в пространство Ym. Линейный оператор у?"1, действующий из Ут в Х Пу называют обратны м к оп ератору р^ если р~1р = е и рр 1 = е, где е и е - тождественные операторы соответственно в Х п и Ym. Другими словами, линейный оператор <р~г называют обр а т ­ ным к оп ератору <р, если для каждого х из Х п выполняется условие р г х(рх = х и для каждого у из Ym - условие рр~1у = у. Очевидно, что операторы р и <р~х взаимно обратны один к другому.

Для произведения фр операторов р и ф обратным является опера­ тор р~1ф~1.

3.6.Х арактери сти чески й и минимальный многочлены

Характери сти ческой матрицей квадратной м атрицы А по­ рядка п называют матрицу А — АЕ с переменной А, принимающей

любые числовые значения.

Определитель |А— \Е\ матрицы А — АЕ является многочленом п- й степени от А. Этот многочлен называют характеристическим многочленом матрицы А , а его корни Ai, А2, . . А„ - характе­ ристическим и корнями или характеристическим и числами, матрицы А.

Характеристические многочлены подобных матриц одинаковы. Характеристический многочлен матрицы А имеет вид

где pk - сумма главных миноров fc-ro порядка матрицы А } в частно­ сти, pi - сумма элементов главной диагонали матрицы А } называемая следом матрицы А и обозначаемая через SpA, рп - определитель матрицы А .

По формулам Виета коэффициенты р,- выражаются через корни Ai, А2, ..., Ап следующим образом:

Отсюда, в частности, получаются часто применяемые соотношения

П ример 1 . Вычислить характеристический многочлен матрицы

Реш ение. По определению характеристического многочлена полу­ чаем

Бели воспользоваться формулой (3.14), то сначала находим

вместо А подставить квадратную матрицу А порядка п, то матрицу Р(А) = ao-An + aiAn~l + + an_iAi + апЕ называют значением многочлена Р (А) при А = А.

Бели Р(А) = 0, то А называют матричным корнем много­ члена Р (А), а Р(А) - многочленом, аннулируемым матрицей

А.

Всякая квадратная матрица А служит корнем некоторого ненуле­ вого многочлена. Имеет место также следующая

Теорема Гамильтона-Кели: Всякая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена.

Многочлен 9>(А) наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным единице, аннулируемый матрицей А, называют минималь­ ным многочленом этой матрицы. Всякий многочлен Р (А), аннули­ руемый матрицей А , нацело делится на минимальный многочлен у?(А) этой матрицы.

Характеристический многочлен |А — ХЕ\ матрицы -А и ее мини­ мальный многочлен ^(А) связаны соотношением

где Dn_i - наибольший общий делитель всех миноров (п — 1)-го по­ рядка матрицы А — ХЕ.

Корнями минимального многочлена у>(А) являются все различные корни характеристического многочлена \А— ХЕ\, причем, если

Формула (3.17) позволяет находить минимальный многочлен ма­ трицы. О другом способе построения минимального многочлена ма­ трицы см. п.4.5.

П ример 3 . Найти минимальный многочлен матрицы

Реш ение. В предыдущих примерах для матрицы А найден харак­ теристический многочлен |А— ХЕ\ = —А3 + 2А2 + А — 2. Общий наи­ больший делитель Di всех миноров второго порядка матрицы

П ример 4. Найти характеристические и минимальные многочлены матриц

Реш ение. Для матрицы А\ непосредственным вычислением опре­ делителя находим характеристический многочлен

Выпишем все миноры второго порядка матрицы Ai —АЕ:

Общий наибольший делитель £>2 всех этих миноров есть (А — 4). Поэтому минимальный многочлен матрицы А\

Заметим, что D2 можно найти иначе. Действительно, если в ма­ трицу А\ — \Е подставить А = 4, то получим матрицу

ранга г = 1 . Следовательно, все миноры второго порядка этой ма­ трицы равны нулю. Это означает, что все миноры второго порядка матрицы А\ — АЕ делятся на (А — 4), причем все эти миноры не могут делиться на большую степень двучлена (А — 4), так как , например, минор

матрицу А . Ненулевой вектор х из Х п называют собствен н ы м век­ тор ом оп ератора у?, если этим оператором он переводится в вектор Ах, т.е. если

где А - некоторое число из поля Р, называемое собствен н ы м зна­ чением оператора (р. При этом говорят, что собственный вектор

хпринадлежит собственному значению А.

Вматричной форме равенство (3.20) принимает вид АХ = XX. Отсюда получается следующая матричная запись

системы линейных уравнений относительно столбца X координат собственного вектора х, принадлежащего собственному значению А, которая подробно записывается в виде

С другой стороны, однородная система (3.21) с квадратной ма­ трицей А —АЕ имеет ненулевые решения X с координатами из поля Р лишь тогда, когда определитель |А — ХЕ\ матрицы этой системы равен нулю и А принадлежит полю Р. Но это означает, что А явля­ ется корнем характеристического многочлена\А—ХЕ\ и принадлежит полю Р.

Таким образом, характеристические числа линейного оператора, принадлежащие основному полю Р, и только они, являются собствен­ ными значениями этого оператора. Поэтому в конечномерном ком­ плексном линейном пространстве все характеристические корни ли­ нейного оператора, и только они, являются собственными значениями этого оператора; в конечномерном действительном пространстве все действительные характеристические корни линейного оператора, и только они, являются собственными значениями этого оператора.

Множество всех собственных значений линейного оператора (ка­ ждое собственное значение берется столько раз, какова его кратность