книги / Линейная алгебра

по инвариантному множителю ез(А) матрицы А - АЕ , полученным в примере 1.

4.6. Упражнения

2 . Пользуясь правилами 1 и 2 из п. 4.3, для каждой матрицы А из упр.1 найти ее жорданову матрицу J и трансформирующую матрицу Т.

3.Пользуясь правилами 1 и 2 из п. 4.4, для каждой матрицы А из упр.1 найти ее жорданову матрицу J и трансформирующую матрицу Т.

4.Пользуясь правилом из п. 4.5, для каждой матрицы А из упр.1 найти ее минимальный многочлен.

Глава 5

Функции от матриц

5.1.И нтерполяционный многочлен Л агранж а-С ильвестра

Пусть даны различные значения Ai, А2, . . А, аргумента А и знаг чения

функции /(А ) и ее производных до (m* — 1)—го порядка включительно при этих значениях аргумента А. Будем искать многочлен Р (А) сте­ пени п —1 при n = mi + m2 Н-... + т8, удовлетворяющий условиям

Такой многочлен называют интерполяционным многочленом Л агранж а-С ильвестра для функции /(А ) при интерполяционных условиях (5.1). Для его построения составляют определяющий мно­ гочлен

и выписывают искомый многочлен

Решение. По формуле (5.2) составляем определяющий многочлен

"0(A) = (А — 1)2(А — 2)(А — 3)

и по формулам (5.3) - многочлены

Поэтому формула (5.5) дает

Р( А) = [ап + а 12( А - 1 )](А - 2 )(А - 3 ) +

+<*2i(A — 1)2(А — 3) + Q'3i(A — 1)2(А — 2),

находятся по формулам (5.4). Окончательно имеем

— минимальный многочлен матрицы А. Говорят, что функция /(А ) определена на сп ектре матрицы А> если существуют значения

терполяционного многочлена Лагранжа-Сильвестра Р(А) при А =: А, построенного для функции /(А ) при определяющем многочлене ф(Х) = ^>(А) и интерполяционных условиях (5.7) с т * = п*, т.е. по­ лагают f(A) = Р(А). Определяющий многочлен ф(Х) можно брать с показателями га* > п*. При этом степень многочлена Р(А) соот­ ветственно увеличится. Значение же f(A) = Р(А) не изменится. Еще раз подчеркнем, что интерполяционный многочлен Р(А) для функции /(А ) получается наименьшей степени при ф(Х) = у>(А).

П ример. Найти /(А ) = sin |-А при

А = А =

Решение. Характеристический многочлен матрицы А

имеет корни Ai = Аг = 1, Аз = 2. Общий наибольший делитель Х>2 миноров второго порядка матрицы А — ХЕ равен единице, так как ее миноры

взаимно простые. Поэтому минимальный многочлен матрицы А

(Л - 1 )! (Л -2 ).

За определяющий многочлен ф(Х) интерполяционного много­ члена Р (А) примем

V’(A) = у>(А) = (А — 1)2(А — 2).

Бели бы за определяющий многочлен интерполяционного многое члена взяли, например,

V-(A) = ( А - 1 )2 (А -2 )2,

то по формуле (5.5) из п. 5.1 для функции /(А ) = sin £-А получили бы

=[1 + 2(А — 1)](А — 2)2 — ^(А — 2)(А — I)2 =

=(2А — 1)(А — 2)2 — ^(А — 2)(А — I)2,

так как по формулам (5.4) из п.5.1 в этом случае получаем

Естественно, что для sin j A получим тот же результат, хотя его вы­ числение несколько усложнится:

Заметим, что Р(А) получается как остаток от деления многочлена Pi (А) на минимальный многочлен у>(А) матрицы А.

5.3.Спектральное разложение м атрицы f(A)

Пусть для функции /(А ), определенной на спектре матрицы А, построен интерполяционный многочлен

8

Р(А) = + ак2(Х - А*) + ... + a*nfc(A - А*)П*_1]^*(А) *=i

наименьшей степени, т.е. при ф(Х) = у?(А). Если в формулу /(А ) = = Р(А) вместо коэффициентов akj подставить их выражения из фор­ мул (5.4) п. 5.1 в развернутой форме, раскрыть скобки, объединить

Разложение (5.8) называют спектральным разложением матрицы /(Л ), а матрицы Zkj - компонентами матрицы А.

Разложение (5.8) особенно удобно, если требуется вычислить не­ сколько функций от одной и той же матрицы. Если при построении спектрального разложения берется интерполяционный многочлен не наименьшей степени, то в разложении (5.8) появятся дополнительные компоненты Z kj, но все они окажутся нулевыми матрицами. На прак­ тике компоненты Zkj матрицы А проще находить не по формулам (5.9), а из системы, которая получится в результате последователь­ ной подстановки в (5.8) вместо /(А ) простейших линейно независи­ мых многочленов столько раз, сколько содержится в (5.8) компонент Zkj. Поясним этот способ на примере.

Пример. Найти компоненты матрицы

и вычислить значения функцийsinfA, cos |А, tg7rA, ел*, .А*1, л/А, А100 при А= А.

Решение. В предыдущем примере для матрицы А найден мини­ мальный многочлен

<р(А) = (А — 1)2(А — 2).

Полезным может оказаться следующее компактное выражение ком­ понент матрицы с помощью криволинейных интегралов:

А\ П1 ,п 2,...,п в - соответственно кратности корней Ai, А2, ..., А# в минимальном многочлене матрицы A; L* - окружность с центром в точке А = Ajk, не содержащая других характеристических корней матрицы А внутри и на L*.

Криволинейные интегралы применяют и для представления ма­ трицы f(A ):

если квадратная матрица А порядка п имеет различные харак­ теристические числа Ai, А2, A,, L - замкнутый контур} ограничивающий область, содержащую внутри точки Ai, А2,

..., А, и /(А )-функция, определенная на спектре матрицы А, непрерывная на контуре L и аналитическая внутри области, ограниченной контуром L, то

(5.12)

L

Примечание. В формулах (5.11) и (5.12) под интегралом от ма­ трицы понимается матрица, элементами которой являются интегралы от соответствующих элементов подинтегральной матрицы.

При применении формул (5.11) и (5.12) вычисление криволинейных интегралов удобно проводить, опираясь на теорему о вычетах, по которой для функции у?(А), непрерывной на замкнутом контуре L и аналитической внутри области, ограниченной контуром L, кроме конечного числа изолированных особых точек Ai, А2, ..., А,, имеет место равенство

5.4.П редставление функции о т м атриц рядами

Пусть дана квадратная матрица А порядка п с минимальным мно­ гочленом

^(А) = (А -Л 1Г . . . ( А - А , ) п‘ .

р=0

матрице f(A), т.е. чтобы

М= f > p(A),

р=0

матрицы А к функции /(А ). Отсюда вытекают, например, следующие разложения:

5.5. Н екоторы е приложения функции о т матриц

а) Для вычисления m-й степени матрицы А при любом действитель­ ном т следует рассмотреть функцию /(А ) = Ат и вычислить ее зна­ чение при А = А. Пример см. в п. 5.3.