книги / Материаловедение узкощелевых и слоистых полупроводников

кции

эл ек тр о н а

в поле

упругой деформации, создаваем ой в ак ан си ей ,

имеет

вид

'

дг

Ц

д2

à

âA

Х/Х.

+ 1 т Е

(1 3 )

ёХ{0Х;

+ 1 Т

àx.dX-

х*

~Щ

Xs

‘

1 àx<âXj

Члены,пропорциональные

fi ,

описывают

возмущ ение,

имеющее

непотен ­

циальный

х а р а к те р .

Связанные

с ним поправки м огут

быть найдены с т а ­

ндартными методами

теории возмущ ений. Рассм отрим ,

например, линей­

ную по

возмущению поправку к эн ерги и

эл ек тр о н а (реальны й

с д в и г ) .

Р а с ч е т

д а е т

*тах

16*

7

а

J

■iï/it»

’

(1 4 )

л 'а *

••

гд е

N -

концентрация

вакан си й ;

а

-

парам етр

реш етки;

обрезание

логариф м ического и н тегр ал а

н а

верхнем

ц р ед ел е,

который

1 .

K gerep

Ф. Химия

несовершенных

кр и стал л о в . - М .: Мир, Ï9 6 9 .

-

2 .

Товстюк

К .Д . Полупроводниковое

м атери аловед ен и е. - Киев

Н аук,

дум ка,

1 9 8 4 . -

264 с .

3 .

Бир Г . Л . ,

Пикус

Г .Е . Симметрия и

деформационные эф ф екты 'в п о л у -

4 .

' проводниках.

-

М .: Н аука, 1 9 7 2 .

- 584

с .

Современная

гео м ет­

Дубровин Б .А ., Новиков

С .П ., Фоменко

А .Т .

5 .

р и я . -

М.

:

Н аука, 1 9 8

6 . - 760

с .

кр и стал л о в .

-

Киев

К осевич

А.М.

Ф изическая

м еханика

реальны х

6 .

Н аук.дум ка,

1 9 8

1 . - 328

с .

у п р у го сти .

- М .: Н аука,

1 9 6 5 . -

Л андау

Л .Д .,

Лифгаиц Б.М . Теория

204 с .

Цель

настоящ ей работы

- р ао ч ет

электрон н ого' сп ек тр а

носи телей сло ­

истых

кри сталлов во

внешнем магнитном п о л е . Вычисления

п р о во д ятся

методом эфф ективного

гам и льтон и ан а,

соглаон о котором у

э н е р гет и ч е с ­

кие уровни

носи телей

в

магнитном поле н ах о д ятся к а к

собственны е

зн ачен и я оп ератора

- j T

( r ) )

- векторный потенциал

м агнитного

п о л я ).

Закон

дисперсии

носителей

сло и сто го к р и стал л а

в о тсу тстви е

м агнитного

поля зап и сы вается в

виде

Д 7 :

Ш

)

s Ê f

f

гд е

кх * ^ r > ку )> т *~

эф ф ективная

м асо а,

к о т о р а я

п р е д п о л а га е т с я и зо ­

тропной в

п л о ско сти

с л о е в ;

j i

- и н те гр а л

м еж слойного

перемеш ива­

н и я ;

dx

-

п о сто я н н ая реш етка

вдоль

<?-оси

-

нормали

к

слоям .

При

вклю чении

м агн и тн о го

поля

М

£ ( Т )

с та н о в и т с я

дифференци­

альным

о п ератором ,

ви д к о т о р о го за в и с и т

от

н ап р авл ен и я

такого - п оля .

К огда

Н ~ \\[0 D J ] , т . е .

н ап р авл ен о

вд о л ь

<?-оси,

собственны е зн а ч е ­

ния

э т о г о

о п е р а то р а

н а х о д я тс я

л е г к о

по

формуле

Еп = ( т , + 1 ) а ) н + р ( ?

)

(2 )

К огд а м агнитное

поле

н ац равлен о

вд о л ь

с л о е в , т . е . ,

наприм ер,

Т ( г ’) ~ ~ ÏÏ(0 ,0 ,y ),

то

уравнение н а

собственны е

зн ач ен и я

может быть

ц ри веден о

к кан он и ческой форме

уравн ен и я М атье,

решение

к о т о р о го

н е л ь з я п р е д с т а в и ть

в

аналитическом

в и д е .

Это

за т р у д н я е т

ан али з

п о ­

лученны х р е з у л ь т а т о в .

П оэтом у,

чтобы

п олучи ть

реш ение

за д а ч и н а

собственны е

зн ач ен и я

в ан али ти ческом ,

удобном

д л я а н а л и з а ,в и д е .в о с ­

п о л ьзу ем ся

тео р и ей

возмущ ений.

П редставим X

в

виде

я

• *

,

+ X ,

Г

(3 )

* •

2 т х

2 т 1 ?У

+

7

Ы

У г ) * ;

(4 )

* , - * [ >

* i r ) ] s

;

( Ч

* 4 г )

(5 )

З а д ач а

н а

собственны е

зн ач ен и я

с

с о в п а д а е т

с

за д а ч е й

Л ан -

д а у

и

приводит

к эн ер гети ч еск о м у

сп ек тр у 6

(6 )

с волновыми функциями

с

с

%

(7 )

К ак

и з в е с т н о ,

при налож ении

м агн и тн о го

п оля

э н е р гет и ч е с к и е

со ­

сто ян и я являю тся вырожденными. Для

наш его

с л у ч а я

им еет

м есто вырож­

дение

по

кх

. С огласн о тео р и и

возмущ ений

д л я

вы рож денного сл у ч ая в

первую

о ч ер ед ь

необходим о

о п р ед ел и ть

функции

н у л ев о го

приближения

Из формул ( И )

можно

с д е л а ть

вы вод

о

н еэк в о д и стан тн о сти у р о в ­

ней с л о и с т о го

к р и с та л л а в

м агнитном

п о л е .

Кроме т о г о ,

положение

у ровн ей

и р а с ст о я н и е

между ними

сущ ественно

з а в и с я т

от

отношения

п остоян н ой реш етки вд о л ь

^ - о с и

к

м агнитной

д л и н е.

Критерий

применимости теори и

возмущений

т р е б у е т

вы полнения

н е р а в е н с т в а

|Е ° -

\ т >

д л я

любого

,

гд е

£ „в

д а ­

ю тся формулой

( 6 ) , а

собственны е

волновые функции

!? />

-

форму­

лой ( 7 ) .

И спользование в к а ч е с т в е

|tf >

функций по

формуле

(8 )

цриводит

к

то м у , ч то

< ^n \X j\?n > = 0 . Чтобы

получить критерий

приме­

ним ости

тео р и и

возмущ ений,

учитывающий

соотнош ение

между вели чи ­

ной м агн и тн о го

поля

и парам етрам и

к р и с та л л а ,

необходимо

реш ать

з а ­

д а ч у н а

нахождение

( г

) .

1 . Л укиянец

Б .А ., В овки вская

Г .В .

Спектр

эл ек тр о н о в

сл о и сто го

к р и с ­

т а л л а в о

внешнем

магнитном

п о л е,

не

совпадающем

о

е г о к р и с та л л о ­

граф ической

осью .

- К иев,

Î 9 8 7 .

-

Î 8

с . -

(П репр .

/

АН УССР.Ин-т

2 . B a ssa n i

F . ,

P a r r a v i c i n i Р . Band

s t r u c t u r e and

o p t i c a l

p r o p e r t i e s

g r a p h ite

and

o f

l a y e r

compound

GaS and GaSe / /

Nuovo

Oim .B. -

196 7

. -

50 ,

N 1 .

- P .

9 5 -1 2 8 .

УДК 5 3 8

.9 5 3

Н и зкотем п ературн ая

теп л о ем к о сть

-

одна

и з

мощных коли чествен н ы х ме­

тодик эксп ер и м ен тал ьн о го

и ссл ед о ван и я

тв е р д о го

т е л а .

Возмож ность

при ни зки х

тем п ер ату р ах о тд ел и ть

фононную

составляющую теп л о ем ко с ­

ти

о т электрон н ой

делаю т

и зм ерения

тако й

теп л о ем ко сти

особенно цен ­

ными. У стан о вл ен о ,

ч то в

изотропн ой

м одели

к р и с т а л л а

н и зкотем п ера­

ту р н ая эл ек тр о н н а я

теп л о ем к о сть

ли н ей н а ш

тем п ер ату р е, т о г д а

как фо­

нонная составляющая оп и сы вается

законом

Д е б а я ,т .е .к у б и ч е о к о й

зависимо­

стью от

тем п ературы . В слоисты х

к р и с та л л а х

(СК)

си ту ац и я

сущ ествен ­

но

и н ая:

в

о б л асти

п р ед ел ьн о

н и зки х

тем п ератур

$

возм ож на

за в и с и ­

м о сть

в *

, эксп ер и м ен тал ьн о

п одтверж ден н ая д л я

р я д а

СК. Сущ еству­

ют

альтерн ати вн ы е

о б ъясн ен и я так о й

зави си м о сти

-

изгибны е

к о л е б а ­

ния

реш етки

или

ниэкодисперсионны е

фононные

в е т в и . И т о

и

д р у го е -

характерн ы е

о со б ен н о сти слоисты х

и л и ,

б о л ее

общо,

н изкоразм ерны х

к р и стал л и ч еск и х

с т р у к т у р .

П оскольку

отм ечен н ая

выше л и н ей н ая

зави си м о сть ,п о

в

н и зк о ­

тем п ературн ой эл ек тр о н н о й

теп л о ем к о сти

Cv

содерж ит

коэффициент

п роп орц и он альн ости

с

м нож ителем,

равным

п л о тн о сти

со сто ян и й

н а у р о ­

вн е

Ферми при

В -

О К ,

то э т о

д е л а е т

и зм ерение

Cv

актуальны м в

1 4

CK с

учетом

особенностей

(и н о гд а

дискусионных) эл ектрон н ого

зонно­

г о

сп ек тр а в

них . Суть

таки х особенностей

в

следующем:

I .

Закон

дисперсии

СК может

быть

п р ед ставл ен в

ви д е

( Î )

с т а ­

тьи

Г .В .В овкивской

(см .

настоящий

с б . ,

с . -12 ) .

Ему

с о о тв ет с тв у е т

п лотн ость

состояний

Д 7 :

d. = J ü L

ДЛЯ

£ » 2 jS

,

г

xfict.Z

D2

arceo s I /

- £ - J

• ДЛЯ

,

(1 )

Я

т . е . непрерывная

функция

с разрывной

первой

производной

в

точке

£ - 2 /} ,

являющейся

точкой

перехода

от

замкнутой

к

открытой

и зо э н е р -

гети ч еск о й п оверхн ости .

2 .

И з -за

различной

симметрии

подслоя

и

симметрии СК

(элем ен ­

тар н ая

яч ей к а

содерж ит,

к ак прави ло,

несколько

п о д с л о е в ),

а

также

слаб о го мэжслойного перемешивания получим набор

близкорасполож ен­

ных

электронных

зон

-

ан ало г Давыдовских

уровн ей . П одчеркнем,

ч то

такой вывод

вы текает

и з

общих соображений

теории

гр у п п ,

с

одной

стороны,

и

слабости

межслойного

перемеш ивания -

с д р у го й .

Рассмотрим

электронную подсистем у

СК, описываемую гам ильтони ­

аном

(2 )

гд е

а£д

-

оператор

рождения эл ектр о н а

из

зоны

<2

(< < -

i , o )

с к в а ­

зиимпульсом

/

;

£0 (*0 )~SjU:0 ) -

А - Д авы довская

щель

( Âg - то ч ка

экстрем ум а

з о н ) .

В

общем виде

уд ельн ая теплоем кость

Су

о п р ед ел яется

к а к

Су _

дО

(3 )

д в

гд е вн утрен н яя

эн ер ги я

-

усредненный

гам ильтониан си стем ы ,а

именно:

U

= U0 + Uj

=

\ £/>0 ( £ ) f ( € ) d £

+ \S/>; ( s ) / ( c f ) d £

(4 )

о

-л

( / ( £ )

-

функция расп ределен и я

Ферми -

Д и р ака).

В

(4 )

и сп о л ьзо ван

переход от

суммирования

по

А

к

и н тегр и р о ва ­

нию с плотностью состояний типа

( 1 ) .

Начало

о тс ч е та

н а

эн е р гет и ч е ­

ской

шкале

выбрано

н а

дне верхней

зоны .

Рассмотрим

случай

сильного

вырождения, \â0~ jv \Z 5 d (âQ-

дно

в е р х ­

ней

зоны,

jo

-

химический п о тен ц и ал ).

Для р а с ч е т а

Су

восп ользуем ­

с я

формулой

[ 2 ] \

0О

*/

\ r ( £ ) f ( e ) d £ » \ f ( e ) t e

о

о

гд е

Ÿ ( £ ) -

н е к а я

непреры вная повторно

дифференцируемая

в

то ч ке

£ - f t

,

д о с та то ч н о

м едленно

меняющаяся

в

и н тер вал е

\£-ju\<B

ф ункция.

И з - з а р а зл и ч н о го

а н ал и ти ч еск о го

п р ед ставл ен и я

п л о тн о сти

с о с ­

тояний

н а э н е р гет и ч е с к о й

шкале возможны

тр и

различны х

с л у ч а я .

Случай

f i > 2 f i .

И спользуя

( 4 ) , ( Ï )

и

т о ,

ч т о

с

точностью

д о

высших

п орядков

м алости

по

т е м п е р ат у р е , f i

» j»0

(

-

зн ач ен и е хи­

м и ческого

п о тен ц и ал а

при

В =

О ,К ),

получаем

Cy = 2 x 2J>£ 8 / 3 ,

Сравним

полученную

теп лоем кость

с

ан алоги чн ой

д л я

эл ек тр о н о в

в изотроп н ой

м одели

Д 7 .

Отличие

на

множитель

2

с в я за н о

о

п р и су т ­

стви ем

в р ассм атри ваем ой

модели

двух

з о н . Множителю

4

( jv )

в

и з о ­

тропном

ол у чае

с о о т в е т с т в у е т

к о н с та н т а

(о м .

( I ) )

в нашем.С од­

ной

стороны ,

та к о е

отличие

может

п р о я в и ться

в

том ,

ч то

ск о р о с ть р о ­

с т а

теп лоем кости кваэидвухм ерной

системы

при

у казан н ом

зап олн ен и и

е е

зоны

(з о н )

с

тем п ературой

зн ач и тельн о

выше, чем в изотропн ом

к р и с т а л л е . Это

с в я за н о

о

тем ,

ч то

4

Шше

4

(300

К)

Д / . С

дру ­

го й

стороны ,

в

нашем

олучае

так о й

коэффициент

-

к о н с т а н т а ,

т о г д а

к а к

в

трехм ерном он

м ен яется

о тем п ер ату р о й .

Случай

jubÇQ,2j6]

при

0 .

Вы числяя внутреннюю энергию и

уч и ты вая,

ч т о

химический

п отен ц и ал

в

используем ы х

приближ ениях j v =

в

линейном

по

в

приближении

S

3

(6 )

з

г ? *

д л я

н е к а я бескон ечн о

м алая

в е л и ч и н а ),г д е

луч ­

ше

в с е г о у д о в л е тв о р я е т с я

услови е м едлен н ого

и зм енения

/> ( £ ) в

( 5 ) .

Таким об разом ,

при

зе > 0

( т . е .

к о г д а

ju0

выше

^

- сер ед и ­

ны

зоны)

Су

тем

больш е, чем

больше

вы раж ена

сл о и о то сть

к р и с т а л л а ,

т . е . чем меньше

j i

.

Т акой

в ы в о д .с л е д у е т

и

при

з е ^ О ,

е с л и у ч е с т ь

соотнош ение

между

*

и

/

.

Н етрудно

у б е д и т ь с я ,

ч т о

К

в

случае

х > 0

в с е г д а

больше

К

при

æ < 0 .

Отметим

такж е,

ч т о

в

р ассм атр и ­

ваем ом

сл у ч ае

выводы

д л я

Су

не

з а в и с я т

о т

положения

нижней

зоны .

Случай

jue.EQ$ -A + 2 j3 J. Вы числяя

внутреннюю

энергию

и

у ч и ты вая,

ч то

хим потенциал в

рассм атри ваем ом

сл у ч ае

ju ~ В^ д р и

fit* А

и Ч^в<*г

<*с/

о

точностью

д о

линейных

ч лен о в

п о тако м у

малому

п ар ам етр у , п о ­

л у ч аем

Су

линейно

от

тем пературы

с

коэффициентом пропорциональ­

н о сти

т . е . X

уменьш ается с ростом

щели â .

В

случае невырожденного

заполнения зо н

( т . е . в противополож ­

ном рассм отренном у выше) вк л ад в

Су будет

оп ред еляться

в первую

очередь

носителями в окр естн о сти

экстрем умов

зо н , гд е с

высокой

степенью точности п лотн ость состояний

, х ар ак тер н ая

д л я и зо ­

тропных

м оделей . С ледовательн о,

особенности

электронного

сп ек тр а

СК при

этом не будут особенно

п р о я в л я ться .

1 .

P iv a s

R .O .,

Schmid P h .E .

T ra n s p o rt

p r o p e r t i e s o f

la y e r e d semi*-

c o n d u c to rs

/ /

O p tic a l

and

e l e c t r i c a l

p r o p e r t i e s .

— D o rd re c h t;

2 .

R e id e l

P u b l.

Co, 1976 .

-

P . 3 4 3 -3 8 4 .

- 452 с .

Кубо P

. С тати сти ч еск ая

м еханика. - M .: Мир, 1 9 6 7 .

(1 )

З д есь

(2 )

J -

к о н стан та

обменного взаи м од ей стви я;

/У- ш гн и тн о е

п о л е; к -

чи сло

ближайших

соседей?каж дого

у з л а ;

М -

число у зл о в

реш етки;

à es

-

матричные

элементы

матрицы

смежности

реш етки разм ерн ости

х /2

,

т . е .

2>e s =

1 , есл и

узлы

s

и s

являю тся ближайшими с о се ­

дям и,

и

Сез

=

0

в противном с л у ч а е .

Средние

обозначаю тся

т а к :

и т . д .

Не

трудно

в и д е т ь ,

ч то

уравн ен и я

д л я

функций

Грина

теп ер ь

л е г ­

ко р а з р е ш и т .

Введем

обозначения

2Л

- г и

чх

и

J

l

Н

(1 2 )

х = е 9 *' t 9 ~ е

* * ~ Т Г > ^ т И Г

Уравнение (9 ) после три виального определения

спектральн ой

плотнос­

ти и вы числения ср едн его

д а е т соотношение

между двумя

корреляторам и

$ = Г ( т + х )

(1 3 )

П одставляя

э то

выражение

в

( 9 ) ,

получаем

f _

1

Г + х

(1 4 )

2х

<0-С

Теперь

(1 0 )

и (1 4 )

дают возмож ность

вы рази ть

Г^е

ч е р е з

Г

я

известны е величины:

rf e - r ( i + Z x + x * j / bfe)

.

(1 5 )

С оответственно

п о л у ч ается

выражение

д л я функции Грина

х

t

2.. bf e

x + x - g

d e )

^ ‘ h

r ( i r - û

(Ü-C

- )

В это й

формуле

также

н еи звестн о й

величиной

я в л я е т с я только

Г . Под­

с та в л я я

O f

в

( I I )

и выполняя

необходимые

пре образ о ван и я, получаем

rf e s = r ^ + 3X+Xl ( y bfe

+ y ifs+ y b e Sy t y

/ e +>/ s + h s j

( î ? )

Прямое

вычисление

следующих

средних

быстро

стан о ви тся

гром озд­

ким . Однако есл и

в о сп о л ьзо в аться - симметрией

Г #

,

Гf e s

, rf e s r

и

т . д . относительно

и н декоов, то

обнаруж ивается простой

алгоритм

вы­

ч и слен и я эти х

величин,

В

последнюю

о ч ер ед ь .в ы ч и сл яется

Г

из

у сл о ­

в и я ^ J . . . /К = *•

В ведем

матрицу

А

с

матричными

элем ентам и

О

е

> s

(1 8 )

ae s

=

e

s s

Qe s

Т о гд а д л я величины

Г

с

помощью соображений

симметрии получим

Г ’- 1 + L x % .

(1 0 )

i= j

*

Ццесь

Qj'

е с т ь

с у ш а эк сп о н ен т по

в с е м подм атрицам

матрицы

Âk —

г о п о р я д к а,

г д е

в

п о к а за т е л е каждой

экспоненты

с то и т

сумма

в с е х

ма­

тричных

элем ен тов

данной подматрицы , умнож енная

н а 4 #

« „ • » p ( * X g a t s ) ,

0 „ _ г - 2 г * , ( м Е ' Г а „ )

*

tx p (

М Zj

ügs

)

(2 0 )

Р<р

W W

/

и т . д .

Л егко

п о к а з а т ь , ч то с та т и с т и ч е с к а я

сумма

м одели

Z с в я з а н а

о

/

(2 1 )

Предложенный

м етод

нахож дения функций

Г рина

и с та ти с т и ч е с к о й

суш ы

может быть применен

д л я реш ения

за д ач и

с вакан си ям и

или прим есям и.

1 .

Фишер М. П рирода

к р и ти ч еск о го с о с то я н и я .

- М .: Мир, 1 9 6 8 .-2 2 1 с .

2 .

Федянин В .К . Применение функций Грина и

корреляционны х функций

к изучению м одели

И зи н га

/ /

С т а ти с ти ч е ск ая Ф изика

и к в а н т о в а я

тео р и я п о л я .

-

М .:

Н аука,

1 9 7 3 . -

С . 2 4 1 -2 6 1 .

3 .

Тябликов

С .В .,

Федянин В .К .

Метод

корреляционны х

функций в

моде­

л и И зинга

/ /

Ф изика м еталл о в

и м етал л о в ед ен и е . -

1 9 6 7 . -

2 3 . -

Л 2 . - С. 1 9 3 -1 9 8 .

—

УДК 5 3 .0 1 .0 4 3

М .Ф .Омелян,

Т .Д . К рупелъницкая

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА МЕТОДОМ КОММУТАТОРОВ

Рассмотрим полную функцию Г рина д л я

гам и л ьто н и ан а

" " ?

* £ / « * • * ' V *

(1 )

г д е

/ - совокуп н ость квантовы х

ч и сел

характеризую щ их

симметрию

за д а ч и .

П олная функция

Грина д л я ( I )

им еет

ви д *

гд е

* С м .:

Товстю к К .Д . П олупроводниковое м ат е р и ал о в ед е н и е .

- Киев

Н аук,

д у м ка, 1 9 8 4 . -

264 с .