книги / Материаловедение узкощелевых и слоистых полупроводников

( г - оператор

уп оряд очен и я),

т . е .

û

- {£

/ 7? т г ' <

а<**м >»

при

r = / V > *-

U r )

1$ 0 ~ 7 Г < а *

Кы

' >"

при

r ~ à ~ t / < û

- a d )

Xu

» Hû't - ал Н;

XM

* М ) - '7Л -* > ~ Ы Н

Учитывая ( 4 ) , получаем

- i e - ir£ * < e~ * r $ * * f яЫ ^ а $ > при

г > 0

,

QM U ~ f ) ^

при

c < 0

,

(5 )

ig~zr£<<<^e~! r $% (f * f a * a ^ y

гд е

% /

-

+

Вычисление функции Грина (5 ) может быть проведено лишь

при

определенных

упрощениях. Рассмотрим

систем у взаимодействующих э л е ­

ктр о н о в,

образующих оболочку в

атоме » П ренебрегая

тонким взаим одей ­

ствием

в

случае

б ез спинов ой зад ач и ,

имеем

/7 =

1 ,

/? '- / - # = 0

д л я з а ­

нятых

состояний

и П - 0 , п ' -

Î д л я

н езаняты х .

Т огда

е~ гТ%

( а ^ а + у

при

г > д

> > < ^ >

д а

г < 0 ,

(6 )

гд е

< n f y

З а д ач а

я в л я е т с я стационарной,

ч то

сл ед у ет

цз

общего

в и д а фун­

кции Грина ( 6 ) .

Корреляционная функция в

случае 7>, п 'ф О

может быть

зап и сан а в

виде

t u

-

= e -

i

c

„ ’ ) ,

( 7 )

ГД0

% * - * > / £

. a X

«

И

^ - к о м п л е к с н ы е

функции,

зависящ ие о т

взаи м о д ей стви я

•

Е сли

атом ная

оболочка не

полностью

з а п о л н е н а ,т о

п рои зведен и е

H j i i f ï O

.

В

это м

сл учае возможныхим ические р еак ц и и .

С п особн ость

атом а

в с т у п а т ь в хим ические р еак ц и и о п р е д ел я е тс я

степенью

о тк ло н е ­

ния

функция

Грина

от

вида

( 6 ) , т . е .

величиной

мнимой о о б -

о твен н о эн ер гети ч ео к о й

ч а о т и .

Она

о п р е д ел я е тс я

ком плексной

ф ункцией

•

Общий

ви д функции

Грина ( 6 )

о б ъ ясн яет р я д

и звестн ы х

ф ак то в:

I )

валентны е

атомные

электроны

явл яю тся

стационарны ми; то л ьк о

,

но в

этом сл у ч ае

о

;

2 )

атомы о

замкнутыми

оболочка­

ми

не

участвую т

в

хим ических р е а к ц и я х ;

3 )

при

сближ ении атом ов

о

незамкнутыми

оболочками

п роисходит

хи м и чеокая

р е а к ц и я

с о б р азо ван и ­

ем

зам кнуты х

оболочек

-

атомных или м олекулярны х.

УДК 5 3 8 .9 5 3

В . И.Л итвинов

НВОДЮРОдаЫЙ С1ШШДАЛЬНИЙ РАСШД

В СЕГНЕТОЭЛЕКТРШИЗКОМ ТВЕРДОМ РАСТВОРЕ

И зв естн о ,

ч то

п ростран ствен н ы е

ф луктуации

с о с т а в а

- кон ц ен тр ац и и

компоненты

т в е р д о го

р а с т в о р а -

п р и во д ят

к

возм ож ности

п о я вл ен и я

н е­

соразм ерной

полярной

ф азы .

Э та

возм ож ность

о б у сл о в л ен а в заи м о д ей ст ­

ви ем

п оляр и зац и и

с

гр ад и ен то м ко н ц ен трац и и

и впервы е

п р е д с к а з а н а

в

р а б о т е

B J . В

Д

/

п утем

у ср ед н ен и я

п о

ф луктуациям

к о н ц ен трац и и по­

л у ч ен

эффективный

гам и льтон и ан

д л я

п о л яр и зац и и , описывающий

с е г н е -

то эл ек тр и ч еск и й

ф азовый

п е р е х о д .

В

настоящ ей р а б о те

реш ен а

о б р а т - ч

н а я з а д а ч а

-

п о лучен

аффективный

гам и л ьто н и ан

д л я

ф луктуаций кон ­

ц ен тр ац и и

п утем

у с р ед н ен и я п олн ого

гам и л ьто н и ан а

по

ф луктуациям

по­

л я р и зац и и .

Таким

о б р азо м ,

и зу ч ен о

вли ян и е

с е г н е т о э л е к т р и ч е с я о г о

фа­

зо в о г о п е р е х о д а

н а

п р о ц есс

сп и н о д ал ьн о го

р а с п а д а

т в е р д о г о

р а с т в о р а .

Н айден

гам и л ьто н и ан

концентрационны х в о л н

Биполярной

ф а з е .П о к а з а н о ,

ч т о

цри понижении

тем пературы в н есо р азм ер н о й

с е гн ет о ф а э е

с н а ч а л а

в о зн и к а е т

неоднородное п о

ко н ц ен трац и и

с о с т о я н и е ,

к о т о р о е

х а р а к т е ­

р и з у е т с я век то р о м

Г

22

Гам ильтониан,

описывающий стати ч ески е ф луктуации концентрации

АС и поляризации

Pz в одноосном сегн ето эл ектр и ке им еет вид

гд е А -сА(Т-тк ),

Тк

- тем п ература

п ерехода

в

однородную

полярную фа-

зу»

-

радиуо экранирования;

г -

коэффициент

при градиентном

инварианте

ти п а Лифтица,

описывающем взаим одействие

флуктуаций по­

ляризации

и концентрации;

у - объем к р и стал л а .

Эффективный гам ильтониан

д л я флуктуаций концентраций

(2 )

Функциональный

и н тегр ал в

(2 )

я в л я е т с я гауссовы м ,

и

е г о

вычисление

о помощью соотношения

\ t w

' e v

f - j / t y

- p

*

/ ) - n

» )

=

ï *

. exp

(

' у

' )

д а е т

Н,ф - £ Е £

( Г

)

Uor

\ J ,

(3 )

гд е

(4 )

( ar =

I в

п араэлектри ческой

ф азе;

а е -

2

в

несоизмеримой

полярной

ф а з е ,

т . е .

цри

T < TQ, TQ -

тем п ература

п ерехода в несоизмеримую

полярную ф азу

вычислена в

Д 7 ) .

Рассмотрим наиболее

интересный

случай ,

к о г д а

Т0

выше темпе­

ратуры

однорЬдного

с и н о д а л ь н о г о

р а с п ад а

(

TÏ

=

0 ) .

При T0> T>TÂ ,

А Н )

£ ( Г ) = Y*

+ a k z2

+

b k z4 + ...

(5 )

гд е

8 r 2(J+ V X fy )

(6 )

Т г

'

При понижении

температуры

величины

А

ш

а

уменьш аю тся,и при а < 0

23

о б р азован и е н еодн ородн ого

по

конц ен трац и и

с о с то я н и я

п рои сходи т

при

тем п ер ату р е

Т{

, к о т о р а я

я в л я е т с я

реш ением у р авн ен и я

й2/ч ь

= тс "

Х арактерны й

р азм ер

неоднородности

о п р е д ел я е тс я

векто р о м

= - а / 2 à

При Т < Т К в

( 5 ) ,

(6 )

с л ед у ет

с д е л а ть

зам ен у

А -— 2 IA I .

Обычное

выражение

д л я

в

твердом

р а с тв о р е

с о с т а в а

â

( н а п р и м е р

, $ с те)

•

С

с

Тгг

(7 )

* â ( ? - с )

г д е

л

-

объем ная

ко н ц ен трац и я

атом ов т в е р д о го

р а с т в о р а ;

-

па­

р а м е т р ,

составленны й

из комбинации

эн ер ги й

взаи м о д ей стви я

компонент

Р Ь - Р Ь

и

Р д - Ç e

/ 2 / .

В

сл у чае

м алости

Л $ / ё г г« 7

выражение

д л я £

им еет п ростой

ви д

+

(8 )

П ервое

сл агаем о е

в

скобке

(8 )

о п р ед ел яет

превышение

Т'

н ад

тем пе­

р ату р о й однородного

р а с п а д а ,

который

имел

бы м еото

в

неполярной фа­

г е :

Т р ~ 2 е ( 7 - е ) & щ О тносительное

изм енение

(Т.

-

Т р ) Д р

s

(1> +

+

х а р а к те р и зу е т

степ ен ь

вли ян и я

н а р а с п а д

в заи м о д ей стви я

между ф луктуациями

с о с т а в а

и

п о л яри зац и и .

В ектор

неоднородности

по концентрации

? 0

при

Т + Г к

и

/ /

при

Т =ГК

. Однородный

р а о п а д

в

то ч ке

Г* Тл

рассм отри м

о тд ел ьн о . П ри -этом

(9 )

гд е

j

п

„

г

ч

3 t r Zr $ D

—

M r Ъ

(4 0 )

й

** Ç

При

<tf> 0

и

Г=ТХ

происходит однородный

спинодальны й

р а с п а д ,п р и ­

чем равн овесн ы е

кон ц ен трац и и

имеют ви д

** * (Û + fx rffr

Мерой вл и ян и я

ф луктуаций

п оляри зац и и

н а

ц роц есс

сп и н о д ал ьн о го

р а с ­

п а д а

мажет

служ ить

вел и ч и н а

(Г; -

Тр )/Т р .

Для

оценки

у ч т е м ,ч т о

цри

Т — 400

К

р авн о в есн о е

зн ач ен и е

с о с т а в а

в РЬг,е 0ес Те с =

0 ,0 3 5

/ 3 ,

4 / .

Из

у с л о в и я с

- &

)

найдем

& *

0 ,4 8

эВ . С ч и тая ,

ч то

м акси ­

мальный

гр а д и ен т

кон ц ен трац и и

индуцирует

поляризацию

ато м н о го

м а с -

2 4

е с л и примесной

атом размещ ен в начале о т с ч е т а ( т . е .

-

0 ) .К а к

п о казан о в / 2 / ,

эн ер ги я З р $ -э л е к т р о н а крем ния в точке

Г;5

им еет

в в д

гд е

индексом

3

об озн ачен о состоян и е

Зре

;

о п р е д ел я е тс я

из

ор­

тонормировки функций Б лоха

с ? - > / £ > *

-

(2 )

I j j

- и н те гр а л

перекры вания

/ 3 / ,

соответствую щ их

волновы х

функций

атом ов

в ц ен тре

яч ей к и и в точке

Xt

;

I°s

- э н е р ги я

З р - у р о в н я ;

ц

- п отен ц и ал

реш етки

(и н тегри рован и е

в е д е т о я

по о б л асти

a

PÛ ) .

Как

сл ед у ет из Д / ,

зави си м о сть

эн ер ги и

от

Т

о п р е д е л я е тс я

за в и ­

симостью и н тегр ал о в

перекры вания

от

Т

О граничимся

р ассм отрен и ем

ближайших

о о сед ей ,

учиты вая влияние

прим еси

н а

в то р о й и последую ­

щие

со сед и

ч е р е з их

смещ ение.

Для

2 ,

. . . л

с о с ед е й

(ат о м о в

S i )

в а ­

ри ац и я

М )

п о

X -

с и л а , действую щ ая н а

ато м .

Из

р а в н о в е с и я

эти х

сил

получим р еку р р ен тн о е

соотнош ение,позволяю щ ее

о п р ед ел и ть

смеще­

ние

àXn _j

ато м а

ч е р е з смещение п ер во го ато м а:

â R j - C n - î )

(3 )

или

âX „

-

âRj'

д л я

(4 )

Б приближении

ближайших

со сед ей

з а д а ч а с в о д и т с я

к

рассм отрению

к л а ­

с т е р а ,

которы й о б р азо ван

примесью

и

с о с то и т

из

равносм ещ енны х,

к р о ­

ме ближайшего

с о с е д а , но

не тож дественны х исходном у располож ению

атом ов

S i

,

окружающих

I n .

Р а с с м а тр и в а я гам и льтон и ан

Н

= И0 + а

(5 )

гд е

Н0 -

гам и льтон и ан

а то м о в ,

образующих

примесную

я ч е й к у ,р а з л о ­

жим функцию примесной я ч ей к и

по

атомным-функциям крем н и я и

ин ди я,

учиты вая лишь

в к л а д

вален тн ы х

э л е к т р о н о в , образующих

с в я з ь .

Т о гд а

э н е р ги я

прим есного ато м а

с у ч ето м

ближайших

с о сед ей

£ , -

с/

(

+ W

s

Г35

(6 )

г д е коэффициенты

оц ределяю тся

из

ортонорм ировки

со б ствен н о й

функ­

ции Д /

и имеют

ви д

26

£

( г -н><-133) у о + 1 „ )

С учетом

(7 )

(6 )

запишем

(

135

( 4 +uAs ,* ^ ’uA^ '

fIJ? )

(8 )

№ р авн о в еси я

атомов

примеси

и п ервого

атом а

Мг

à l

à fj

à l

(9 )

à l

àfi

à l

à fi

fi

=fi0

-r dfij + âfi2

определим

смещение п ер во го атом а,

а сл ед о в ател ьн о , со гл асн о

(4 )

и

остальны е,

отличные

от

н у л я,

смещения. Т ак, в данном

случае

jf i? -

= 0 ,2 5

А ;

ûfi2 -

0 ,1 5

А

;

Jfi3 =

0 ,0 8

А ,

. . . . Учитывая

в

(8 )

зн а ­

чение

fi

(полученное

нами

смещение

атом ов)

оцределяем

энергию

при­

м есного

уровн я .

Н есоответстви е

полученных данных с известными из

Д /

объясня­

е т с я

используемыми ограничениями,

таким и,

к а к рассм отрение

одноме­

рной

м одели,

у ч ет

лишь

ближайших со сед ей ,

ограничения

н а

п отенциал .

Н аук.

Электронный сп ектр

эл ем ен та -

ооновы nojmrooBommKOBoro м а -

3 . Баданов С .С .,

Звяги н а Р .А .

И нтегралы 'перекры вания

и проблема

эф­

фективных

за р я д о в .

- Новосибирск :

Н аука, 1 9 6 8 . - T . I .

-

386

с .

УДК 5 3 2 .5 1 6 :5 3 8 .4

В .В . Гордей

О ФОРМЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ’ СТАЦИОНАРНОГО КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ

ПРОВОДЯЩЕЙ ж идкости

Конвективные

п отоки

в

жидком р асп лаве

сущ ественно влияют

н а форму

ф ронта

и

ск о р о сть

кри сталли зац и и ,

а также

другие

характер и сти ки

ц роц есоа

выращивания м онокриоталлов. И нтенсивность конвекции в

свою

очередь

о ц р ед ел яется

величиной приложенного тем пературного

п оля;

наличием

в р асп л ав е

областей

(к л а с т е р о в ),

поглощающих или

излучаю ­

щих

теп л о ;

тем пературной

зависимостью

парам етров

в ещ еств а,н ах о д я ­

щ егося

в

р асп л ав е

Д 7 .

Зам етное стабилизирующее

влияние н а

кон век ­

тивное

движение р ас п л а в а

оказы вает

внешнее

магнитное

поле

/ 2

-

4 / ,

к о то р о е

с п о со б ству ет

подавлению

кон векц и и , уменьшению те п л о п о то к а,

устранению ф луктуаций

тем пературы . П оследнее в свою

о ч ер ед ь поло­

ж ительно

в л и я е т н а однородность

с о с т а в а к р и с т а л л а и

равном ерное

р асп р ед ел ен и е примеси

в

нем .

В настоящ ей р аб о те

исследуем влияние м агн и тн о го п о л я н а кон ­

векти вн о е движение проводящей ж идкости (р а с п л а в а ) ,

возникаю щ ее при

наличии

приложенного

гр а д и е н т а

тем пературы и вн у тр ен н и х источников

(с т о к о в )

т е п л а . П оведение

тако й

системы о п и сы вается

дифф еренциаль­

ными уравнениям и, которые

в приближении Б у с си н е с к а

имеют вид / 5 / :

Нгу

У

- О ,

d i у f t

= О

( I )

З д е сь

У - с к о р о с ть ;

р - кон векти вн ое

д а в л е н и е ,

отсчиты ваем ое

от

ги д р о с та ти ч е ск о го

при средн ей п л о тн о сти

/>

;

Т -

тем п е р ат у р а;

f t

и

f t - коэффициенты

теп л о во го

расш ирения

и тем п ературоп ровод ­

н о сти , предполагаем ы е

постоянными;

g -

у ско р ен и е

силы

тя ж ести ; с^ —

у д ел ьн ая

теп л о ем к о сть;

f t -

напряж енность

м агн и тн о го

п о л я;

f t -

единичный

в е к т о р ,

направленны й

в ер ти к ал ь н о

в в е р х ;

лн ~ е г/ г

д

е

эл ек тр о п р о во д н о сть

ж идкости,

ju -

м агн и тн ая

п р о н и ц аем о сть ,к о ­

то р а я д л я

жидких

м еталл о в

р а в н а ед и н и ц е,

е

-

с к о р о с т ь

с в е т а

и

С истем а

( I )

д о п у с к ае т

точные

реш ения

в

стац и он арн ом с л у ч а е ,е с ­

ли

в к а ч е с т в е

приближения

будем р а с с м а т р и в а т ь

верти кальн ы й

слой

ж идкости

полушириной

d ,

границы

к о т о р о г о

поддерж иваю тся

при

фик­

сированных тем п ер ату р ах

Г - ± Р

. Объемную

п л о тн о с ть

р а с п р ед е л ен и я

вн утрен н и х источн и ков

сч и таем

постоян н ой

и

р ав н о й

g .

Ф изический

м еханизм

теп ловы делен и я может

быть

различны м :

лучисты й

теп лообм ен ,

дж оулева

д и сси п ац и я,

поглощ ение

внеш него

и зл у ч ен и я

и

д р . Будем та к ­

же

р а с с м а т р и в а т ь

д в е ориентации

д о сто я н н о го

внеш него

м агн и тн о го поля:

п ерп ен ди кулярн о (>Ç

)

и

п ар ал л ел ьн о

{ Н „ .)

слою . П осле

п е р е х о д а в

(1 )

к безразм ерны м

переменным

/ 5 /

в за д а ч е

п ри сутствую т оп ределен ­

ные

обычным об р азо м

Q

и

ч е р е з мощ ность

вн у тр ен н и х

и сточн и ков т е ­

п л а

ч и с л а Г р ас го ф а ,

обычное

Pt

и

м агн и тн ое

Рт

ч и с л а

П ранд-

т л я , ч и сл о Г ар тм ан а

На

и

безразм ерны й

п ар ам етр

.

И споль­

з у я

м етоди ку

/ У

и

учи ты вая

граничны е у с л о в и я

7

получаем

стационарные расп р ед ел ен и я температуры

и ско р о сти ,

к о то ­

рые

д л я

различны х ориентаций м агнитного поля имеют вид

Г0 * # х

f - l - Xя ,

%

" = ^ 0 - х 2)(1 - 5 х г) + ^ х ( Г 'Х 2) к

ShHax

\

+ 1 -х

На ChНа

(

Ch н а /

VI

(3 )

Sh На

)

HaChHa-Shfia V

Ch На

} )

г

П оскольку

д л я

полупроводников

и м еталлов

значения

ч и сел

П ра-

н дтля

небольшие

(меньше

единицы)

Д _ /,

то

исследование влияния

м аг­

нитного поля на форму н еустойчивости кон векти вн ого течен и я

будем

проводить в гидродинамическом приближении.

Уравнение

линий то к а

возмущ енного движения

в

цроизволы ш й

фи­

ксированный

момент

врем ени

t 0

можно

зап и сать

% (* ) + * ф ( х , х , t0 ) * С

(4 )

гд е

ф0 ( х ) ~

функция

то ка

основного

течен и я

У0

;

ai

и

С - н екото ­

рые

константы ;

<Н(х,z,t0 ) ~

нормальные

возмущ ения,

которые

можно пред­

с та в и т ь

в

виде

<f>(x,%,t0 ) -

Ÿ (x )e x p (h td + lk% ) .

(5 )

З д есь

f ( x ) -

амплитуда

возмущений,

л

- комплексный

д екрем ен т,

/

-

волновое

ч и сл о . Е сли

9 ( х )

за д а т ь в

виде

степ ен н ого р я д а

/ 4 /

Г ( х )

(6 )

и при этом огран и чи ться

трем я вариационными

параметрами

(9 = 0 Д , 2 ) ,

а также

у ч е с т ь ,

ч то

множитель exp М 0

в л и я ет

только

н а

амплитуду

возмущений

/ 4 7 ,

то

выражение д л я

изолиний

функции

то к а Се

c o n s t

можно

п р ед стави ть в

виде

В е р ^ у0 (х

)

+

h - f s in kz)(t+BjX+B;X2y(sinh<-feo$J(z)(PjX+ С2 * * ) ] .

(7 )

З д е сь

Ск

и

-

некоторые коэффициенты,

определяемые и н тегр ал а ­

ми

от

Y0

и

f ( х ) -

Р езу л ьтаты

р а с ч е то в

представлены

н а

р и с . Ï ,

2 ,

гд е

зн ачен и я h

увеличены

в ТО3 р а з . Видно, ч т о , е сл и

конвективное течение в

слое

вы звано то л ько внутренним р а зо г р е в а л

{Л/ = 0 ) , то неустой чи вость р а ­

з в и в а е т с я

в вцде системы вихрей н а гран и ц ах

р а зд е л а встречны х

кон­

вективны х

п отоков . П оскольку существуют две

таки х границы (между

29

Р и с .1 . Изолинии функции

т о к а

к о н в ек ти вн о го движ ения д л я

/£ г=

0 ;

а - / = 2 , 2 , Q = 1 7 0 0 ; б -

/ = 1 , 6 ,

& = 4 1 0 , ^ = - 1

Р и о .2 . Изолинии функции

т о к а

к о н в ек ти в н о го движ ения

п ри налож ении

п о п ер ечн о го м агн и тн о го

п о л я

Hûx — 5 î

4 = 4 0 4 0 ,

- 1

а -

к = 2 , 3 ,

f = 7 3 7 0 ; б -

i « 1 , 5 ,

двум я нисходящими и

восходящ им

потоком

3 J ) »

т о с о о т в е т с т в е н н о

об­

р а зу ю т ся д в е цепочки

в и х р е й ,

располож енны х в

шахматном п о р яд ке

(р и с .

I ,

а ) . У величение

Af

(р о с т

г р а д и е н т а тем п ературы )

сущ ествен н о

изме­

н я е т положение

с и с т е ш

в и х р е й ,

ч т о

с в я за н о с

трансф орм ацией

профиля

с к о р о с ти о сн о вн о го

движ ения,

а

именно

с

п ереходом

от

т р е х

п о то к о в к

д вум . Т а к а я п е р е ст р о й к а

со п р о во ж д ается

расш ирением

о б л ас т и

р а с п р о ст ­

ранения* системы в и х р е й ,

ч т о

н агл яд н о о тр аж ает

потерю

у с то й ч и в о с ти

к о н в ек ти в н о го

те ч е н и я

с

р о сто м

N

(р и с .

1 , 6 ) .

Наложение

п о п ер еч н о го м агн и тн о го

п о л я , например

Н а ^ Ъ ,

оказы ­

в а е т торм озящ ее д е й ст в и е н а

р а зв и т и е н е у с то й ч и в о с ти

к о н в ек ти в н о го

движ ения (р и о .

2 , а , б ) .

Т а к ,

н аб лю д ается зам етн о е

уменьш ение

о б лас­

т и заним аем ой

си стем ой в и х р е й ,

смещ ения

их к

стен кам

к а н а л а .Д а л ь н ей ­

шее

у вел и ч ен и е

ч и с е л Г ар тм ан а

( Нал > 5 ,

к о г д а пограничны е

слои

уже

30