книги / Сигналы и устройства ближней радиолокации. Автодины
.pdfEt [“ (V>] |
u < ^ v |
В результате систему ДУ « я “ > ааяиоать в виде
d e f £ A ( * ) c t v - F / j ) I
cL8 ^EB(a)dr~ •$ Гf)>
Где
w r . r
JJ£\aoos(S*Q)t-sin (S<-8)]^en (3 /Q)d^(s)ds;
^^ xa/f Jzf -rh \a(XS(s*Q)-asui(s+Q)\cas(s*Q)cl^(s)ols,
£A(a)‘ ^^[^(acosy, - asenf)s<.ay>* |
sin"y]j - |
~~Z3 J \St(aa^<t ~в** Ф * Г* - jf - sen^df =<feP (a) \
£■6(a) =^r|- ^ |jf (acosty^ -asin (f,)cosif/~ |
sinZy |
|
|
|
-aJ |
. |
|
* ' 2.T1 |
J \Wa cos^/>' a SinV')casV * |
Jt/? |
£/ Га) |
л |
^ L |
|
^ |
ЗамэтнМр что усреднение в правых чаотях уравнений нефяукг- |
|||
туационадх членов в первом приближении проводится согласно |
|
||
правилам для детерминированной системы: при уореднении а |
и Э |
||
считаются постоянными параметрами. Таким образом, в нефяуктуа- т^иптпгу членах правых чаотей оиотеш ДУ остаются лишь медленно
меюшциэоя параметры.
Под решением полученной усредненной сиотемы ДУ подразуме вают решение следующей системы интегральных уравнений:
а *а0+£J A [a(S)]dsJF( Г f(s)U * i
o |
r |
o ' * |
* |
|
r |
|
6 *eo*t J'B[a(S)]dsJf,[f(s>]<xs,
причем д&шшв стохастические интегралы понимавтся в смысле Ито.
Вернемся к системе ДУ” в отандартвой форме, которой можно поставить в соответствие уравнение ФПК
тг ~е М А" \ ,1М |
вЛ |
^ { Ъ |
[cw] ' |
|||
|
з £ ё [ р” ) , -§е*- М |
} , |
|
|||
ГДв А = Ji<Qю з у , |
- a sin (fj)sinw ’ *■ |
sin о/ : |
||||
|
|
|
|
|
£<x |
T } |
6 |
a \ _ J / QCOSV, ' |
Q Sta v ) <x>stH - |
V J ; |
|||
C |
= sia % ' |
£ |
= -■£ J-*Sen p c o s y i |
|||
|
F |
= — |
t * |
COS |
2 |
|
|
у |
|
||||
|
|
a * S j |
|
|
|
|
Получетюе уравнение ФПК является параболическим и навивается также уравнением в стандартной форме.
Запишем уравнение ФПК в общем виде
~ Т б ~ - £ L ( X , £ ) £ ) W )
где |
L |
- дифференциальный оператор второго порядка параболи |
||
ческого |
типа. |
|
|
|
|
Для таких |
уравнений Хасьминский Р .З. установил принцип |
||
усреднения, согласно |
которому решение задачи Коши для этого |
|||
уравнения при |
<5 -~0 можно приближенно представить на отрезке |
|||
времени длиной |
О (е |
/ ) решением задачи Коши для аппроксимирув- |
||
щего уравнения |
|
|
||
|
|
|
Ж |
|
где |
L |
- дифференциальный оператор параболического1 типа, ко |
||
эффициенты которого являются средними по времени значениями ко
эффициентов оператора |
L . |
|
|
В таком случае получаем уравнение ФПК в виде |
|||
^ ~ eLl x ‘i |
> |
w |
i s И ] ' |
и , " Н & \ . e » \ J £ s s [ B w y
зда |
_ |
|
[J, |
|
|
|
|
v |
А |
J |
- a s £ n f ) s v i f A |
sea ц. ] 0 |
|||
|
|
t ° |
jjr |
|
|
1dr |
|
|
5 ~гяа |
J |
\Jt(acostr, :»^a0cosf- — J^Sen<?v- |
||||
|
|
|
О |
L |
|
< |
J |
|
^ * |
~ZJi |
J |
^ |
(ex cos ^ f - a S t a y / ) Scan ty d y > |
|
|
|
|
|
о |
* |
|
|
|
|
|
|
|
2Я |
|
|
|
|
6 |
- |
— |
J |
J * ( a cosyf - a s<.n ty) saxy cos у d y |
||
|
|
|
a |
о |
^ |
|
|
|
£ |
= |
|
J |
J ^ ( a c £ > S f t - a s i n 0 |
c o s '3у d |
у |
|
Ори анализе |
колебательных стохастических систем важную |
|||||
роль играет отационарная ПРВ амплитуды* Стационарные точки этой ШВ соответствуют устойчивым и неустойчивым состояниям походной системы в зависимости от того, достигается ли в этой точке максимум или минимум.
Рассмотрим два примера. Пуоть имеется стохастическое ДУ
второго порядка |
[13] |
|
|
|
|
||
d 2x |
|
|
|
|
|
|
(205) |
d t * |
|
|
|
[ '* £ / j / u ) * = |
|||
где |
- |
малый положительный параметр; S |
c j |
- постоянные ко |
|||
эффициенты; St >0 ж .S<< /, |
Sf «cO't |
j ( l ) |
- |
белый шум о еди |
|||
ничной ИВТвНОИВНООТЫ». |
|
* |
|
|
|||
Прежде чем получать стандартную форму ояотеш ДУ, введем |
|||||||
время |
т =c o t, |
тогда ДУ второго порядка будут иметь вид |
|||||
d Zsc |
сР[ |
d s c |
|
|
|
|
|
Ыг-г |
d c + I/ * € |
|
= Om |
||||
|
|
||||||
где £ |
= S |
, / c |
o « / ' J S P |
i ( T ) |
- белый шум с единичной |
||
интенсивностью. |
' |
’ |
|
|
|
||
Вводя фазовую плоскость (sct у |
= |
|
j M d z , |
ДУ можно записать |
в |
dl
d jc /d v ) и учитывая, что форме оиотемы ДУ
CIJC » у с / г ; |
(206) |
|
с/у - (jc+-2.Sg)clT-£(JC+£Sg)clj |
||
|
||
Введем переменные Ван-дер-Поля |
|
|
зс =acas<y; Lj--o.sLn.ij; ; i{J = Z + 8 f |
|
получим систему стохастических ДУ в стандартной форме (в форме Ито)
л-ср\% )-К^У/“‘Уг>
г и |
- у , |
Запишем эту систему ДУ в виде |
|
+ |
- L ( t* J * x * l< x * ) c lt ; |
^ |
Jr i ( Z l ^ |
x d a ') d t - |
|
|
После преобразований |
|
|
|
|
a'a |
a 3 ^ |
t |
~ ( £ y l Q- ) ( ^ £ g * c c ) c lf) |
|
dO=Z \S *y ja * 'J- |
|
+(£sc/cx*)(*.Su*x)c/ |
||
Учитывая подстановку Ван-дер-Поля, |
находим оистему ду в стй |
|||
дартной форма (в форме Ито) |
|
|
|
|
d-(X A ^ Z S a s in ^ y ; + -4 f£ * a (o o s *y ;- 8 s e a |
+ |
|||
|
+€ a ( j S < s i 2 f - Z S s t a ?< p ) d j( t) ■ |
|
||
d d = \-Ssin.2<// + ( £ fZ )(c o S if/-2 S s o -iy /) sen Z y j J d z /
>■<5(c o s * - S Sen Zyj)d j (z).
Отсюда можно получить систем^ ДУ в форме Стратоновича [12]. если пренебречь величиной t z в квадратных скобках.
Правая часть второго уравнения системы ДУ не зависит от а • поэтому его решение будет представлять одномерный марковский продеоо.
' Первое ДУ (относительно амплитуды) преобразуем* заменяя переменную и = =}(а)% тогда* полагая eta = Lfdz+Qd г ( r)f получим при “ =J(a)
d°- = [ J '(а)у+ ~ J"(a )Q * ~ \d z+ j- '(a )d o tf(z) =
- 2 S s u % q /f- (cos - S s in l y j f jjc /r + £ (dscaZy; - Z S s in \) d f(z).
После уореднения^^.
du = a ,d r+ j- J ^ sUiZ(s+6)-2Ssoz*(s+Q)dj(s) d j ,
TO a t u - S - £ ( S * - ± ) '
В результате приходим к уравнению ФПК о усредненными коэф
фициентами |
, „ |
|
|
|
dW |
dW |
6/ |
d^W |
|
~$Г а' Х Г ■' -a |
-J Z 1 ' |
|||
где « , ■ |
ь |
;■ 4 |
■ g |
( i > 31*). |
Решением этого ДУ при начальном условии W(GO) = S(&) является функция
Отсюда
Е(и)~ Е(£гсa ) - J и W (U '£ )d u =Q/ ( t
-ОО
£(“■*) = £ (&гла) = J и VI(uL)du - 6t+CL*t*
\ = f{[u-tfa)]*J7 66 |
125 |
|
|
Таким образом, амплитуда а |
|
будет |
сколь |
угодно большой |
||||||||||
при выполнении условия |
a f >О |
• |
Это неравенство является усло |
||||||||||||
вием неустойчивости режима в рассматриваемой сиотемэ, или |
|||||||||||||||
условием возбуждения колебаний под воздействием параметричес |
|||||||||||||||
ких случайных сил* При выполнении условия |
а ^ О |
амплитуда |
|||||||||||||
стремится к нулю, что соответствует устойчивости режима, дру |
|||||||||||||||
гими словами, |
|
отсутствию колебаний в рас |
латриваемой системе. |
||||||||||||
Условие |
а( < 0 |
выполняется при |
S > £ * |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Согласно уравнению для фазы уравнение ФПК о усредненными |
||||||||||||||
коэффициентами имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
d w |
~ |
d w |
|
|
I |
d * v J |
|
|
|
||
|
|
|
|
dt |
* |
0 8 |
|
£ |
|
д |
6 Л |
|
’ |
|
|
где |
a t |
= 3 ^ > 0 t |
= <5 г ( 3 ^ |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решением этого уравнения при начальном условии |
Vl(&0) = S(&) |
|||||||||||||
является функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
W(6>0 = |
I |
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M ) = Q t t |
, |
|
|
|
|
|
|
DQ = 6{t . |
|
|
|||||
Таким образом, в |
случае параметрического |
случайного |
воздейст |
||||||||||||
вия имеет место расплывание фазы в • |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
В качестве второго примера приведем отохаотичеоко* ДУ |
||||||||||||||
Ван-дер-Подя [ 1 2 ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ot^sxr |
+ х |
= £ ( i - x * ) |
d x |
|
- J 2 M , |
|
|
(207) |
||||||
|
oLt* |
cL t |
|
|
|
|
|||||||||
где |
£ |
- малин положительный параметр; о(£) |
- |
^елый 47** о еди |
|||||||||||
ничной интенсивность». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Зашлем № (207) |
в форме онотеш |
ДУ |
|
|
|
|
||||||||
dx =^fdt |
|
dij = |
^ |
х |
|
|
* |
+£t(p |
|
|
|||||
Используя правило Ито при |
а |
- |
|
dxM p*', |
lq *£>- ~у/х |
’ тлутам |
|||||||||
систему ДУ в |
стандартной форме |
|
” |
’ |
** |
|
|
|
|||||||
M l = £ [ -Ц- ( 1 - я * ) * ( d ? ,
Л£> |
а У [ Х'$( / ' ^ |
с |
/ |
р |
|
После замера переменных во методу Ван-дер-Поля находим
d a - t \ a . { { - a 2cos s t a g 'd ^ ,
^ 0 = £ [ z (i~b*coff)sin2<ft-£sux£<fty.t / |
cas(/'dp |
Усредненные коэффициенты уравнения ФПК принимает вид |
|
А = [ т r / - f > + к ] ; Е ^ > E = i > э = о ; |
? = £ |
Уравнение ФПК можно записать в форме |
|
W d a *
Стационарная ПРВ амплитуда W=Wfa) является решением задачи
|
|
d * W |
(209) |
|
• — J |
j |
d a * |
||
’ |
||||
TvJ(a)da - i |
-Cim WCa) = О |
&m d W (a )/d a =0 |
||
При гр&ичшх уоловиях |
||||
|
л -*oo |
* a |
■*,oo |
|
н условии нормировки получаем решение |
|
|||
WCa) -(& !& [^|У /егуГ £ е;| |
ае |
( 210) |
||
|
||||
1да а?=(2/6)^ ; e zj(x )=(2/dW)J |
e~u*du. |
|||
Наеденное решение достигает максимума при а - \z + 2 ( l+ e h ) ^ ] //V Иэ анализа детерминированного уравнения Ван-дер-Поля известно,
что |
стационарное значение амплитуда а ~ас =2 при £ |
^ |
|
В отохаотичеоном олучае при £ ~~ О |
|
|
а .* 2 + £ Ы б — 2 |
|
п |
7 |
|
Заметим, что при задании уравнения Ван-дер-Поля в вице |
|
|
dsc
+ х - е а - б * * ) ^ - - е . а )
имеем а с =хэ / / ^ и
а* £ / / € ) / б "
Попользуем метод, изложенный в приложении, для этого рас смотрим в качестве примера уравнение генератора Ван-дер-Поля. Пуоть стохастическое ДУ генератора задало в форме (207) .
Запишем ДУ в виде оистемы
|
|
d f |
- = p d t; |
|
|
|
|
(211) |
|
|
dP = |
|
a - ^ ) p ] d i */< T G0 d j ( l ) , |
||||||
|
|
|
|||||||
где |
<5o = У£ |
■ |
|
- нормированный винеровокий случайный |
|||||
процесо; |
f = x ; |
p = d x / d l |
|
|
|
|
|||
|
Функция Гамильтона Нср р ) |
имеет вид |
|
||||||
|
|
H (?tp ) |
|
|
> |
|
|
||
поэтому d d jd f |
= у t |
д яJ d p |
= р . |
|
|
|
|||
|
Сравнивая |
(211) |
и '(П .1 ), |
находим |
|
|
|||
J J ? ,P )= 0 ; |
|
|
= < ? ; |
a ' = < S J = b * =£, |
|||||
|
Траектория невозмущенного движения на фазовой плоскости |
||||||||
(у р ) представляет |
собой окружность |
с уравнением Е - |
|||||||
+ р * / Л . Причем при р = а р = 0 , |
отсюда а =2Е и |
|
|||||||
|
|
|
|
а = / 2 £ |
|
|
|
(2 12 ) |
|
|
Из ДУ (П.6) получаем |
|
|
|
|
||||
d E - е [ ( / - / ) р " / - f e f j d i * / £ G 0 p d f |
( г » ) |
||||||||
|
Перейдем к ДУ относительно новой переменной - амплитуда |
||||||||
а - Р г р , |
когда З а / Э Е - *f a > |
f d E z = - /f a 3 В результате, |
|||||||
используя правило Ито (П .4), |
получим ДУ |
|
|||||||
|
|
с/л = a ~ /d £ - ( f 6 g p ^ j P a J) d / |
|
||||||
Подставляя зшчение дифференциала d E |
из уравнения |
(213), |
|||||||
окончательно |
получаем |
|
|
|
|
||||
,’л |
(t/а ) [C'yJ)p U / ( / - p J/ a ) ! p]dt d / Г %pfo.)dj |
||||||||
К З
Сравним (214) со стохаотическим уравнением, найденный ранее на оонове замены переменных по методу Ван-дер-Поля
^ = a c o s i f j , р = - a j t n < / / ;
d a ~(£1а ^ 1-аооб1р)а*з<.п yj t Сf jf£) c o s \ ^ d 6 - <fл a y d j № t
Замечаем, что это ДЗГ полностью совпадает с ДУ (208). Найдем оператор L Q на оонове ДУ (215)
/2 Ра' D .
° * 1 - 4 ^ Ы |
м < |
|
|
|
|
|
|||
& - ~г |
DcL6 |
D = £<5^ р *1 а * |
|
|
|
||||
|
Гс |
|
|
|
|
|
|
причем |
|
Поэтому уравнение ФПК принимает вид (П .9), |
|
||||||||
Тс |
- ф |
|
=л2 f |
- / |
-? |
= * / |
- |
d l _____ ■ |
|
с |
У |
Р |
-а/ |
|
|
V |
/о7 - f |
> |
|
D = (£ S * la * * J)$ p |
ctt - (fe ^ jjia ^ )J p c l(^ =(<?£G^jj/a^)A |
||||||||
a |
' |
|
|
|
|
- a |
|
|
|
Р ^ ж У Р р ’ -У/ |
ф ( / - р Р < л |
|
|
|
|||||
|
|
- £ ( / |
|
- ff.z r fjX |
t \р Щ ■ |
||||
~J |
|
|
|
|
|
= |
|
о ^ ( /- о гр ) , |
|
t - - i t - P /p P гУ ( • j f fc - p P * ) ‘ |
|
||||||||
/2£a - ( - * - ж P ^ |
J P P ) ■ S - p j - h |
- |
|||||||
|
|
|
|
= J»g 3h a |
|
|
|
|
|
c /
Следовательно, уравнение ФПК принимает вид
d W ( o ) |
д f |
|
A ] t „ x\ |
£ * d * W (a ) |
||
- , Y - ‘ -e S i ^ a * > |
|
|
- g y |
|||
В стационарном случае |
при |
d W jd t =0 |
находим |
|||
а'о ц ^ |
\ |
-г ' 4 а |
J KVlw/J |
^ |
(217) |
|
Зто ДУ полностью совпадает |
о уравнением ФПК (210), |
|||||
другим способом. |
|
|
|
|
|
|
Уравнение для амплитуда, |
соответствующее уравнению ФПК |
|||||
(216), имеет |
вид |
|
|
|
|
|
°'а = f t i
Его такие можно получить из определяемого по (П.Ю) уравнения для энергии
d f i [а ' ( ^ |
т |
) |
' ^ |
о |
] |
^ |
, |
если воспользоваться |
правилом Ито. |
|
|
|
|
||
Наедем отационарное решение уравввння ФПК |
(217). При «том |
||||||
£ = 2 5 ; Х> =■а ,г ( -J—) |
~ ^ 0 Р |
; |
Ц , - е 0 |
|
|
||
= |
f p ° - ? s ^ o |
] ' '/a*-Q* 'Л 9 = s / e ^ - £ а ^ Л = 2 € Р 5 > |
|||
~ |
|
|
О |
* |
|
}{ ~ 6 (Р о г)р«'<2 - J a ^ ( / - o 3f r ) |
= 2 J> £ (/-£ /2 ). |
||||
В результате из уравнения |
(П.15) |
получаем |
|||
|
wo(£) = С,ех/>{у J B( h z U ) J i \ = |
||||
|
= |
|
|
° |
|
где |
C-j - |
постоянная, которую находят из условия нормировки. |
|||
|
При |
а - У рр |
e l f / d a |
и, следовательно, |
|
|
(о) . 4 а , |
|
f |
,, «, - ' К * > / 'е . |
|