книги / Сигналы и устройства ближней радиолокации. Автодины
.pdf’ <2 axctgU -j}, 4-S l rpj/ J 1 Q)при J <О;
<9 = <
|прн j}>Ot
ИЮ J), -
Для определения спектрального состава огибающей в режиме биений необходимо разложить функцию
cojji - cos(e-£*0) - |
cojQcos^y +sin 6 sin |
t |
|
(119) |
||||||
|
|
|
||||||||
в ряд Фурье. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдам ряда Фурье для функций cos в |
|
и sin 6 |
> которые |
|
||||||
можно представить в вида |
|
|
|
|
|
|
|
|||
cos 9 |
|
|
- i + Z |
/ у & Т Г ' |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
s in |
S |
5 / |
л . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
" < 9 * f |
|
|
|
|
|
|
|
||
Дяя функции |
COJ 9 |
ряд Фурье определяется выражением (100). |
|
|||||||
Учитывая (1 1 8 ), запишем выражение дяя |
s in 9 |
в форме |
|
|
||||||
Л а в - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где о£у » S L rp j J S 1 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Дооле преобраэошгой |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f - p - |
|
|
|
/ Г |
|
|
{ - « * |
|
1 |
|
l + CM-jfODSUost * - L .) |
" * , [ |
|
U ct4COS(tcoU±) |
J |
||||||
где |
" ° 0 , |
•*>* "J- mv ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично формулам (96) |
ж (97) |
запишем коэффициенты |
щ V / |
|||||||
Разложения функции |
sin О в рад фурье |
|
|
|
|
|
|
|||
a s = - |
|
> |
|
|
|
|
|
|
COS kJCol^C |
|
|
/ |
- |
4 |
/ |
/+Ы/ c o s ( x |
|
|
|
||||
к |
Si |
J |
ы, |
I1 |
+ 4 г) |
1 |
|
||||
|
|
s |
|
' |
|
|
|
|
|||
“ - • £ - ^ - c a s k - L - , |
|
|
|
|
|
||||||
6 S=F |
f |
i k |
f / " / |
J |
----- r |
"U * кх<1х~Эк ~ * s i n k J |
|||||
к |
Si J |
о({ |
[ |
/ |
|
C0W -*V -^-) |
| |
* * / |
^ |
||
5 _ >2<*JL
Тахтеtuuw ииувэунобразом,1|
Sint/l <9 = ■■" ■ у /, |
: |
V- £ 2 |
- Cf. ~ - |
~y- |
* (c O S к |
S - |
C O S & c O k i - |
|
/ |
AW |
|
|
|
|
|
-sCn/cS- s in |
a c j/c i] * |
■■ ^ 4 |
-1 - |
— |
1 5 2 |
S.COS(A03kt*k |
|
* |
|
J |
/•‘ /y'-oC ^ |
<* |
|
* |
|
шн, как в случае ряда (100) о точностьюдо начального момента
времени.
|
S in 6 |
|
|
|
/- < * Л |
|
-Л . C O S O C O k t |
(120) |
||
|
■---- .---- ------------77- - ^ 5 2 |
|
||||||||
|
|
t + s T ^ j |
|
* * = ' |
|
' |
|
|||
а выражение дня |
со; О |
жим* вид (100) |
щп замене ы. на |
: |
||||||
|
co j # |
|
у _ |
/ ^ |
оо |
|
|
|
|
|
|
------- ——*■ 52 |
3L s c n a c J k 6 |
( Ш ) |
|||||||
|
|
|
< * / |
к - 1 |
в (119), |
получаем яояомое ш раже- |
||||
Подставляя (120) |
к (121) |
|||||||||
вне для |
cos Л : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
садД |
- |
SLn —L-- |
— |
~ ~?mi |
5Z •£ (cos y> jSinocokt * |
|||||
|
/ * |
/ - * / |
|
* / |
|
* - / А |
' |
|
||
|
|
|
|
_ |
<*/ |
Jc/г |
Д / |
|
|
|
ул>г ^ .c o s tc o k i) - |
—- |
J<~n |
•*/ |
|
|
|
||||
|
^ |
о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
t ~ ^I |
5 2 |
Л J t > i |
(scokt |
.). |
|
|
|
||
<*/ Лг=/
Анализируя выражение (122), можно сделать следующий важ ный вывод: если активный элемент имеет нелинейную (или линей ную, но не постоянную) реактивную составляющую проводимости, то чем больше крутизна реактивной проводимости в рабочей точке
(чем больше коэффициент |
|
) # тем больше помеховый низкочастот |
||||||
ный сигнал, |
так |
|
функция |
cos X |
» входящая в правую часть |
си |
||
стемы (10 1) , |
имеет |
постоянную составляющую. |
|
|
||||
Решим систему ДУ (104) |
при фуп д а cosX , |
определяемой |
|
|||||
формулой (12 2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение первого приближения имеет вид (105). При |
|
|||||||
д с о » / / г |
получаем |
|
|
|
|
|
||
6U j |
|
Ы^£с/\^ £ |
|
■ П |
S in (ACJfli |
|
||
ov |
i+ft. |
t . -IZ |
п > |
|||||
|
4. |
' ' . |
у14*+(лсJnTj* |
' |
||||
Дк, = |
и° лое |
Ы4 sin. X / |
|
(123) |
||||
|
• |
|
|
|
|
|
||
гда |
|
|
|
|
£ 6t c* |
|
|
|
|
4 сл |
6Л с / |
|
|
||||
Таким образом, ухе в уравнении первого |
приближения имеет место |
|||||||||
2Юмвховый оигнал. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для постоянных составляющих решения уравнения второго |
|
|||||||||
приближения д и * |
и д е г |
справедлива система уравнений |
|
|||||||
|
О |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6Лаео |
|
|
|
- 6S (AUi * eAo > |
|
||||
Ci aui+ Сл а ео = " C3 (AUf o * C9<*ef o |
- Ъ < л “ *й ^ о . |
|
||||||||
гда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(аи |
|
|
|
|
|
|
|
, |
6 Л +<АЫп.Т} |
2 9 |
* О |
О \ J o u |
{ + V { |
|
2 |
о |
|
“ |
|||
/ ' |
|
|
\ a w f c д. ) |
|||||||
|
|
|
|
г*»/ |
|
|
|
|||
где |
Л = |
Scn |
Л i |
|
|
|
|
|
|
|
t+ J i - |
Ы. * |
|
|
|
|
|
||
|
Рассмотрим более подробно режим синхронизации. Вырагая |
||||||||
cos в и J t /г в |
через |
ig — |
sign. [ |
|
учитывая |
||||
формулу (119), ш-.-учим |
|
|
|
|
|
||||
|
Z \cosy{ *sin Лу sign rJ~<^0) С I J 2 .J |
(126) |
|||||||
cosA— cosX |
|
|
|
|
|
|
|
||
Анализируя выражение |
( I 2 6 \ |
видим, что |
в середине полосы синхро- |
||||||
низации (ори SZ. = 0) coj J\ |
|
cos 1 / } |
а на границах полосы |
||||||
синхронизации |
(ори |
|
|
-Q .^) cos^ |
e s in |
при - Г 0 ~& -гр* |
|||
и cos Л *= - sin. У{ |
при |
S L o - |
S7—rp y |
|
|||||
|
Таким образом, из системы алгебраических уравнений (115) |
||||||||
можно определить приращения амплитуды колебаний |
л U и постоян |
||||||||
ного напряжения а Е |
в |
режиме синхронизации: |
|
||||||
|
&U |
^б н |
00 |
|
|
с* |
|
|
|
|
<*с 'л - 4'4 е / |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
(127) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й £ = Е6н см Л |
4 с* |
~ 6 % |
|
|
||||
|
|
|
|
|
*v |
-г |
"4 с / |
|
|
где |
O >J J\ определяется по формуле (126). |
|
|||||||
|
Рассмотрим в первом приближении воздействие амшштудно— |
||||||||
модулированного сигнала на автодин. Предположим, что огибающую внешнего сигнала можно представить в виде
(128)
76н
где Ебн ~ постоянная составляющая амплитуда внешнего сигнала;
J tt) - |
модулирующая функция, такая, что m a x \j( i) | = / ; |
т - |
||
параметр, |
определяющий глубину модуляции. |
|
|
|
Таким образом, в ДУ (117) следует принять |
|
|
||
|
S 2 . f p j m |
r/0/C6) ~ —Q-rpO |
. |
при |
Осуществляя замену переменной |
в ду (117), |
|||
ходим к ДУ |
|
|
|
|
б - ~-J2 _0* -&-Г/У* (D stn 9 |
|
(129) |
||
Введем новую переменную /? |
& , тогда ДУ (129) |
будет иметь |
||
вид |
|
|
|
|
J L o |
(гDo |
- |
Z |
|
Я |
с |
|
|
|
Полученное уравнение является уравнением Риккати с переменными
коэффициентами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
Введем переменную z |
таким образом, |
что о • |
z / ( |
Я |
z ) |
|||||||
ЧШ11У |
|
|
|
|
|
|
|
с |
/ \ |
S , |
|||
получим Д5Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В свою очередь, |
при подстановке |
y * Z e x p \ j ; J ^ ~ r |
|
Г*° |
|||||||||
уравнение |
сводится к ДУ Хилла |
|
|
|
*■ |
г |
|
i |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- у Л ф Ш ^ . 0 . <“ »> |
|||||
Точное решение Д7 (130) представляет значительные трудности, |
|||||||||||||
поэтому рассмотрим частный случай функции |
|
|
|
|
|||||||||
|
Наложим следующие ограничения на функцию |
|
|
: |
|||||||||
|
Ij |
A ? , |
|
|
|
■a -rpo)\« l ^ |
r |
^ |
l ■ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
<131) |
|
US2 |
rpi |
Ш-4- & гоС£)Л J » \ « |
\ |
* |
|
I |
|
|||||
|
\Z |
|
Я |
фй |
гр{ |
I I |
|
|
I . |
|
|||
Смысл этих ограничений сводится к тому, что функцию- f i f - |
|
||||||||||||
О |
2 (I) + 2 -Я - |
(t) |
следует |
считать |
незначительно и мэд- |
||||||||
ленно |
меняющейся функцией около |
значения -J2 ^ - - f 2 |
f t) .Следо |
||||||||||
вательно, ДУ (130) можно записать |
в |
виде ДУ |
|
|
|
||||||||
которое при решении иохго рассматривать как ДУ о "заморожааными" коэффициентами.
х'акпм образом, при вшюлнении уоловий (131) в первом при ближении можно считать, что справедлива запись решения Д7 (129) в виде (118), где следует заменить -&-rpt ва и
55
на Следовательно, воздействие ашлитудно-модулирован ного сигнала на автодин вызовет появление на его выходе низко частотного сигнала, параметры которого можно приближенно опре делить по формулам (127) при расстройках, попадающих в полосу синхронизации, и (125) при расстройках, лежащих вне полосы синхронизации, о заменой Е$н на Е$н (6) . Эти формулы спра ведливы при выполнении условий (131). В первом случае низко частотный сигнал обусловлен явлением синхронизации автодина внешним модулированным сигналом, во втором - влиянием реактив ной составляющей и нелинейностью активной проводимооти полупро
водникового |
прибора. |
|
|
|
|
|
1 .4 . Работа автодина п ри воздействии собственного |
||||||
|
задержанного сигнала |
|
|
|||
В § I . I |
получены ДУ автодина при воздействии на него соб |
|||||
ственного задержанного |
сигнала (54). При выполнении ряда допу |
|||||
щений из системы ДУ (54) |
найдены приближенные ДУ (55), |
(56), |
||||
(58). Проанализируем ети оистемы ДУ подробнее. |
|
|
||||
Рассмотрим линейную модель автодина, соответствующую про |
||||||
стейшему олучдо системы ДУ (58) при |
E ) - d = / Учитывая, |
|||||
что л i/(6)= i/(6)-tf(6 -z}- |
медленно меняющаяся функция, |
запишем |
||||
приближенное равенство |
A t/(i)*t/(z) г , |
и & « / |
разложим нели |
|||
нейности 0Q(UtE)t в0 (Ц Е ) и I0 (Ut E) в |
ряды Тейлора в окрест |
|||||
ностях стационарного Ценима U= UQ, Е ■ Ес /см . |
5 1 .3 , |
уравне |
||||
ние (1X5)/ • |
|
|
|
|
|
|
Получим систему |
|
|
|
|
|
|
AU+SfAU* 6^ A E m& [/cas(cjT+ х у ); |
|
|
||||
|
|
|
Г . t< /)t |
|
(132) |
|
. 'к |
'к |
|
тк |
|
|
|
Т0йЕ+ ct aU + сл л Е |
|
» О, |
|
|
|
|
где вое обозначения соответствуют обозначениям в выражениях (115)-и (101), а фаза <f укорочена относительво частоты авто
колебаний |
со • со |
- PafUQi,^a) |
|
|
Предположим, |
к |
zV |
/ |
|
что выполняются условия |
” ~ CJ<< |
я |
||
О |
т .е . |
обЛижевяе о отражающим объектом проиоходп |
||
Ят~
сравнительно медленно. Сделаем следующее замечание: первое условие обычно выполняется* второе - может не выполняться.
В этом случае молено считать и в полученных формулах для вышеназванных условий принята с/ £сл = dz = ^ - 0 » что равносильно допущению лЕ =0 . Как будет показано ниже» это допу щение не выполняется только в случае достаточно большого отра женного сигнала, когда в спектре огибающей появляется постоян ная составляющая.
С учетом оделанных допущений можно пренебречь производны
ми л и и л Е |
по сравнению с остальными слагаемыми в |
(132)» |
|||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U+ |
= зе (Jcos(coz + z</)9 |
|
|
|||||
V |
^ - Ф а и - - ^ 2 a £ - ~ s i n ( u i V * V ^ ) t |
|
(133) |
||||||
|
|
тк |
|
Тк |
|
Тк |
|
|
|
С{ а U * Сд&Е = О. |
|
|
|
|
|||||
Система |
(133) |
является трансцендентным уравнением относительно |
|||||||
переменных A U, л Е |
и |
ф . |
|
|
|
||||
Учитывая» |
что |
|
|
|
|
|
|
||
U = |
j - ----------— |
a ? |
Ucos (сот + zu>) |
|
|
||||
&E = |
- - i - j d / = - |
|
|
aeUaos (c o t* z<f)t |
|||||
|
|
S? |
|
|
|
|
|
|
|
и полагая |
U ■ Uо » |
получаем уравнение для фазы в |
«ид* |
|
|||||
. |
А ^ |
LJ |
|
|
|
sin (co Z + zip ), |
(134) |
||
< /-- - + = — ° cosfcoZ + Z t f ) - ■— |
|||||||||
|
|
'к |
|
|
|
?k |
т |
' |
|
где А/ |
можно определить |
по уравнению ( I I 6) . |
|
|
|||||
Уравнение (134) удобно записать в мгд*> |
|
|
|||||||
|
|
Ф = - |
- у - к sin (CJ0T + тф + </Q)f |
|
(135) |
||||
к = У~й(kt u y
Jin<s = JL LH O
к
< ** Vo ** ///г
Введем новую переменную g = t i f + a> Z + |
, тогда уравнение |
(135) цримет вид |
|
2 |
|
где А - - у — к ; / = coZ + у>о |
|
Решение этого уравнения монет быть найдено в виде тригонометри
ческого ряда по |
переменной |
J [ 4 ]• |
|
|
||
Из уравнения |
(136) при |
& < { следует, что |
g является од |
|||
нозначной, дифференцируемой и нечетной функцией у • Функция |
||||||
sin 2 |
представляет собой периодическую функцию по переменной J |
|||||
о периодом 2% . Следовательно, функцию |
s i n g |
можно предста |
||||
вить в |
виде ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
n - J |
6n s i n n j |
|
|
где коэффициенты |
|
|
|
|||
Ьп веобходию определить. |
|
|||||
Запишем выранвние доя коэффициентов разложения функции |
||||||
sin о |
в ряд Фурье |
|
|
|
||
* |
|
|
уГа J sin 2 sLn п |
J |
|
|
|
4 |
г |
|
|||
Применим к этому интегралу формулу интегрирования по частям, подучим q-
{п ‘ |
J |
А |
I |
J i n n j d j - - |
J Sent |
cos п Т \* |
|
п |
|
||||||
|
|
|
|
ol{sin о ) |
|
-3i |
|
Ч й |
J |
са1п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
-Я |
|
|
|
|
|
|
Первое влагаемое обращаете* в нуль, тан как при j |
„ tji . |
||||||
|
Заменяя в подынтегральном выражении переменную ^ |
в» т , |
|||||
получаем' |
|
5 - |
|
|
* |
||
|
|
|
|
6 /t~ h . J eas* |
f case el? - |
|
|
|
|
|
|
- X |
|
|
|
Выражая переменную у из уравнения (136), запишем полученное
выражение в виде
. Я
=j=^- J c o s ( n 2 + а Л sin 2 )°°s g d -2 . =
|
л |
|
/ |
f |
37 |
= Z J m |
cos[(n+ /)2f П А Л / г 2 ]с/2 + |
|
|
-Я |
Я |
|
|
+J сы [(п -»2+ пА Зсл.
Воспользуемся выражением для функции Бесселя первого рода
т -го порядка |
|
|
я |
|
|
|
|
|
||
Ут |
( х ) = ( - {) т |
— |
J |
|
|
|
|
|
||
C0S(m j +Xscrt j) o ljt |
(137) |
|||||||||
тогда |
|
|
О |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Таким образом. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
о |
оо |
|
(-{) |
|
|
|
|
(138) |
|
5йг? - — 22 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
/7 = У |
|
|
|
|
|
||
|
Подставляя выражение (138) в (136), получаем выражение |
|||||||||
для |
2 » как функции переменной J : |
|
|
|
||||||
|
2 - J - Z I L |
|
^ 7 r \ ( n |
^ s £ |
n |
f . |
(Х39) |
|||
|
|
|
/7* / |
^ |
- ( ^ -сот - |
. |
“вкУ4®* |
|
||
Учитывая выражение |
|
|
||||||||
|
* |
/ ^ / |
Г-/)' |
|
jr-*r)Scna(cor^(/> o ) |
(140) |
||||
|
* |
|
|
|
|
Рааложин функцию |
сд е^ |
|||
|
Определим выражение для |
|
|
|||||||
в тригонометрический ряд вида |
|
|
|
|
||||||
|
|
0032 |
° ао + Ц |
а п cos? j |
|
|
||||
|
|
|
|
|
П - / |
а |
, /г |
* |
I» 2 , . . . f имеет ввд |
|
Выражение для коэффициентов |
||||||||||
|
У |
Я |
|
|
|
п |
|
J |
|
|
ап *ЗГ j BUt ea s j o t j - |
sinn^cos? \ - |