книги / Строительная механика стержневых систем. Ч. 2
.pdfR1P 2,5 4,583 9 21,333, |
R2P 21,333 5,583 3, |
|
R1P 10,25, |
|
R2P 12,75. |
Получим систему канонических уравнений |
||
1,5Z1 0,5Z2 10,25 0, |
||
0,5Z1 3Z2 12,75 0. |
|
|
|
||
Решением системы будут Z1 8,735 и |
Z2 5,706. |
Построим исправленные эпюры моментов (рис. 11.23)
М1 М1Z1 и М2 М2 Z2 .
Рис. 11.23
Просуммируем только опорные моменты исправленных эпюр и грузовой эпюры моментов по формуле М М1 М2 МР
ипостроимэпюру опорных моментов (рис. 11.24)
М0 5 кНм;
101
М1лев 4,367 9 4,583 2,5 15,45;
M1прав 8,735 2,853 21,333 15,45;
M1лев М1прав 15,45 кНм.
Это означает, что узел 1 находится в равновесии.
M2лев 4,367 5,706 21,333 19,99;
M2прав 11,412 5,583 3 19,99.
Опорный момент M2 19,99 кНм.
M3 5,706 1,083 3 7,62 кНм.
Эпюру опорных моментов Моп покажем относительно за-
данной неразрезной балки (см. рис. 11.24). Эпюра опорных моментов, полученная методом перемещений, совпадает с такой же эпюрой, но построенной по уравнению трех моментов.
Рис. 11.24
Дальнейший расчет неразрезной балки показан в под-
разд. 11.2.6.
11.4. Расчет неразрезной балки методом моментных фокусных отношений
Метод моментных фокусных отношений позволяет избежать совместного решения системы канонических уравнений
102
при нагрузке только в одном пролете или только на консоли неразрезной балки.
11.4.1. Понятие моментных фокусных отношений
Рассмотрим неразрезную балку с нагрузкой разного вида в одном пролете. Очертание эпюры моментов приведено на рис. 11.25, а, б. Эпюра моментов в каждом пролете слева и справа от загруженного есть прямая, пересекающая ось балки.
Опорные моменты загруженного пролета неразрезной балки уменьшаются (гаснут) по мере удаление влево и вправо от него.
Рис. 11.25
Точки пересечения эпюры моментов с осью балки в пролетах слева и справа от нагрузки называются моментными фокусами. Моментные фокусы в пролетах слева от нагрузки называются левыми моментными фокусами и обозначаются Fn . Индекс
n указывает на номер пролета. Моментные фокусы справа от загруженного пролета называются правыми моментными фокусам и обозначаются Fn . Положение моментных фокусов
в одной и той же балке не зависит от вида и величины нагрузки
(см. рис. 11.25, а, б).
103
Выделим эпюру моментов n-го пролета, находящегося слева от загруженного пролета (рис. 11.26).
Моментный фокус (точка Fn ) находится на расстоянии сn от левой опоры и dn от правой. Составим отношение большего
отрезка к меньшему, т.е. |
dn . |
|
|
|
|
||
|
сп |
|
|
|
|
||
Из подобия треугольников |
|
|
|
||||
|
|
dn |
|
|
Мп |
. |
|
|
|
с |
|
||||
|
|
|
М |
п 1 |
|||
|
|
п |
|
|
Отношение правого опорного момента n-го пролета к левому опорному моменту обозначается Kn и называется левым моментным фокусным отношением.
K |
n |
|
Мп |
. |
(11.15) |
|
|||||
|
|
Мп 1 |
|
Аналогично рассмотрим эпюру моментов n-го пролета, находящегося справа от нагруженного пролета (рис. 11.27).
Рис. 11.26 |
Рис. 11.27 |
Правый моментный фокус Fn |
находится на расстоянии сп |
от левой опоры и на dn от правой опоры.
104
сn |
Найдем отношение большего отрезка к меньшему: |
||
|
Мп 1 . |
||
dп |
|||
|
Мп |
Отношение левого опорного момента n-го пролета к правому опорному обозначается Kn и называется правым моментным фокусным отношением.
K Мп 1 . |
(11.16) |
n |
Мп |
|
Определим левое моментное фокусное отношение первого пролета неразрезной балки, когда крайняя левая опора шарнирная, и правое моментное фокусное отношение последнего пролета при крайней правой шарнирной опоре (рис. 11.28).
Рис. 11.28
Пользуясь формулами (11.14) и (11.15), получим
K1 М1 и Ki Мi 1 .
М0 Мi
M0 0 , тогда K1 М01 ,
Mi 0 , тогда Ki М0i 1 .
Таким образом, для неразрезной балки с левой крайней шарнирной опорой левое фокусное отношение 1-го пролета
равно ∞, т.е. K1 , и если правая крайняя опора шарнирная, то
правое моментное фокусное отношение последнего пролета равно ∞, т.е. Ki .
105
11.4.2.Формулы зависимостей левых фокусных отношений
иправых фокусных отношений
Выделим из неразрезной балки два смежных пролета слева от загруженного пролета (рис. 11.29, а) и соответствующую часть основной системы метода сил (рис. 11.29, б).
Рис. 11.29
Запишем уравнение трех моментов, учитывая, что пролеты неразрезной балки и основной системы без нагрузки и фиктивные реакции равны нулю (см. подразд. 11.2.2).
Мn 1 ln 2Mn ln ln 1 Mn 1 ln 1 0.
Разделим обе части уравнения на Mn : |
|
|||||||
Мn 1 ln 2 ln ln 1 |
Мn 1 ln 1 0, |
|
||||||
Mn |
|
|
|
|
Mn |
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
Мn 1 |
1 |
; |
Мn 1 Kп 1. |
|
||||
|
|
|||||||
Mn |
Kп |
Mn |
|
|
|
|
||
После некоторых преобразований получим формулу зави- |
||||||||
симости левых моментных фокусных отношений: |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Kп 1 2 |
ln |
2 |
|
. |
(11.17) |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
ln 1 |
|
Kn |
|
106
Аналогично, рассматривая два смежных пролета неразрезной балки справа от загруженного пролета, получим формулу зависимости правых моментных фокусных отношений:
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Kп 2 |
ln |
1 |
|
2 |
|
. |
(11.18) |
||
K |
|||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
п 1 |
|
По формуле (11.16) получим левое моментное фокусное отношение первого пролета, когда крайняя левая опора неразрезной балки неподвижная заделка.
Заменим заделку пролетомнулевой длины и получим нулевой пролет скрайней шарнирнойлевойопорой(рис. 11.30, а).
|
Рис. 11.30 |
|
|
|||
По формуле (11.16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
K1 |
2 l0 |
2 |
|
. |
||
K0 |
||||||
|
l1 |
|
|
|
Так как K0 , а l0 0, то K1 2.
По формуле (11.17) получим правое моментное фокусное отношение последнего пролета, когда крайняя правая опора – неподвижная заделка (рис. 11.30, б).
По формуле (11.17)
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Ki 2 li 1 |
|
2 |
|
|
|
, |
||
K |
||||||||
l |
|
|
|
|
|
|||
i |
|
|
i |
1 |
|
107
Так как Ki 1 и li 1 0, то Ki 2.
Таким образом, можно указать моментные левые и правые фокусные отношения для каждого пролета неразрезной балки. Левые моментные фокусные отношения находят слева направо.
Зная K1, по формуле (11.16) находим левые моментные фокус-
ные отношения всех остальных пролетов.
Правые моментные фокусные отношения находят справа налево, начиная с последнего пролета. Зная Ki последнего про-
лета, по формуле (11.17) определим правые моментные фокусные отношения для всех остальных пролетов.
11.4.3.Формулы опорных моментов загруженного пролета
Выделим из неразрезной балки и ее основной системы три смежных пролета с нагрузкой в среднем (рис. 11.31, а) и запишем канонические уравнения, используя уравнение трех момен-
тов (11.6).
Рис. 11.31
108
Первое каноническое уравнение запишем, принимая за промежуточную опору n–1, а для второго уравнения трех моментов опору n (рис. 11.31, б).
|
|
ln 1 ln Mnln 6Anф |
J |
0 |
|
|
||
Мп 2ln 1 2Mn 1 |
|
|
, |
|||||
Jn |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
J0 |
|
|
||
Мп 1ln |
2Mn ln |
ln 1 Mn 1ln 1 6Bnф |
|
. |
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
Jn |
|
|||
|
|
|
|
|
Выразим Мп 2 и Mn 1 через опорные моменты соответственно Mn 1 и Mn , применим формулы (11.16), (11.17). После преобразований, решив систему уравнений с неизвестными Mn 1 и Mn , получимформулыопорных моментовзагруженного пролета
Мп 1 |
|
6 АпфKп Впф |
|
, |
(11.19) |
|||
|
ln Kn Kп 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Мп |
|
6 |
Вфп Kп Апф |
|
, |
|
(11.20) |
|
|
ln Kn Kп 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
где Апф, Вфп – фиктивные реакции опор в простой балке основной системы n-го пролета (находим по прил. 3); ln – длина загруженного пролета; Kп,Kп – моментные фокусные отношения
(левое и правое) n-го пролета.
При нагрузке в первом пролете неразрезной балки с край-
ней левой |
шарнирной опорой формула (11.19) |
преобразуется |
||
в формулу |
|
|
|
|
|
Мn |
6Вф |
, |
|
|
1 |
(11.21) |
||
|
l1K1 |
|||
|
|
|
|
где В1ф – фиктивная реакция правой опоры простой балки, соответствующей первому пролету; l1 – длина первого пролета; K1 – правое моментное фокусное отношение первого пролета.
109
Аналогично, раскрывая неопределенность при опреде-
лении предпоследнего опорного момента при загруженном последнем i-м полете неразрезной балки с крайней правой шарнирной опорой, получим
|
|
Мi 1 |
6Aф |
|
||
|
|
|
i |
, |
(11.22) |
|
|
|
li |
|
|||
|
|
|
Ki |
|
||
где |
Aф |
– фиктивная реакция левой опоры простой балки, соот- |
||||
|
i |
|
|
|
|
|
ветствующей последнему загруженному пролету; li |
– длина i-го |
пролета; Ki – левое моментное фокусное отношение последнего i-го пролета неразрезной балки.
11.4.4.Порядок расчета неразрезной балки
снагрузкой в одном пролете
Рассмотрим, например, неразрезнуюбалку (см. рис. 11.25, а).
1. Определить приведенные длины пролетов.
|
EJ0 |
EJ0 |
EJ0 |
EJ0 |
EJ0 |
|
l1 l1 |
|
; l2 l2 EJ2 |
; l3 l3 EJ3 |
; l4 l4 EJ4 |
; l5 l5 EJ5 |
, |
EJ1 |
где EJ0 – жесткость какого-либо пролета или любое постоянное
число.
2. Найти моментные фокусные отношения для каждого пролета.
Левые моментные фокусные отношения:
K1 ,
110