книги / Строительная механика стержневых систем. Ч. 2

Состояние Х (система, эквивалентная заданной): основная система неразрезной балки загружена неизвестными усилиями

Х1, Х2 , Х3 , Х4 и внешней нагрузкой.

Система состояния Х будет деформироваться так же, как заданная неразрезная балка, когда углы поворота опорных сечений станут равными нулю, т.е.

Система состояния Х есть совокупность простых балок, поэтому на угол поворота (см. рис. 11.4) опорного сечения nX влияют

усилия Хi ивнешняянагрузкатолькосмежныхопореппролетов. Канонические уравнения (11.2) принимают вид

В каждое из уравнений (11.3) входит не более 3 неизвестных усилий. Запишем одно из уравнений (11.3) в общем случае, когда

nX 0. Выделим из произвольной неразрезной балки фрагмент

из двух смежных опоре n пролетов с нагрузкой (рис. 11.5, а) и соответствующий фрагмент системы состояния Х (рис. 11.5, б).

Для определения перемещений построим относительно основной системы неразрезной балки единичные эпюры моментов

и грузовую эпюру моментов МР М0 . Легко убедиться, что

для определения перемещений уравнения (11.4) достаточно построить эпюры моментов (рис. 11.6) только в пределах фрагмента основной системы.

81

Грузовая эпюра моментов МР построена относительно

простых балок, поэтому ее можно обозначать как М0 (эпюра моментов относительно простых балок).

По формуле перемещений (интеграла Мора) с использованием правила Верещагина определим коэффициенты и свободный член уравнения (11.4).

расстояние от центра тяжести грузовой эпюры (n+1)-го пролета

83

Это уравнение носит название уравнения трех моментов, где ln , ln 1 – приведенные длины соответственно n-го и (n+1)-го

пролетов; Bпф – фиктивная реакция правой опоры простой балки n-го пролета основной системы; Апф 1 – фиктивная реакция левой опоры простой балки (n+1)-го пролета основной системы; EJ0 –

жесткость при изгибе какого-либо одного пролета неразрезной балки или любое постоянное число.

Для балки постоянной жесткости

Мп 1ln 2Mп ln ln 1 Mn 1ln 1 6 Bпф Апф 1 (11.7)

Фиктивные реакции есть реакции опор простой балки от загружения грузовой эпюрой моментов (рис. 11.7)

Рис. 11.7

84

В индексе фиктивных реакций указывается номер пролета. Для наиболее распространенных случаев загружения простой балки фиктивные реакции опор приведены в прил. 3. Для удобства пользования таблицей балка загружена действительной нагрузкой, а не грузовой эпюрой моментов.

Например, найдем Апф 1 и Bпф 1 (см. рис. 11.7). Заменим нагрузку, распределенную по сегменту в пролете (n+1), равнодей-

ql3

ствующей силой, которая равна площади сегмента, т.е. 12n 1 ,

и приложена в центре тяжести сегмента. Так как нагрузка симметричная, то центр тяжести находится посредине пролета (см. рис. 11.7) и реакции опор соответственно

Такие фиктивные реакции опор и приведены в прил. 3 (см. первую строку).

11.2.3. Построение окончательной эпюры моментов и ее проверка

По уравнению трех моментов (11.6) составим систему канонических уравнений. Количество уравнений равно числу лишних связей (степени статической неопределимости) неразрезной балки. Решив систему уравнений, найдем неизвестные опорные моменты. Окончательную эпюру моментов получим по формуле метода сил

так как эпюра МР – есть грузовая эпюра моментов, построенная от внешней нагрузки относительно основной системы как совокупности простых балок, то обозначать ее будем M 0 .

85

где Моп – эпюра опорных моментов, которая строится следую-

щим образом: в соответствующих опорных сечениях неразрезной балки (можно и относительно основной системы) отложить с учетом знаков известные (из задания) и найденные опорные моменты, затем концы ординат в каждом пролете соединить прямыми.

Эпюраопорных моментов Моп ограниченаломаной линией. Суммирование эпюр Моп и М0 по сечениям в пролетах

производится по формуле

где Мk0 – изгибающий момент в сечении k простой балки n-го пролета основной системы, находящейся под той же нагрузкой, что и неразрезная балка; Мп,Мп 1 – опорные моменты соответственно опор n и n–1; ln – длина n-го пролета; х – расстояние от сечения k до левой опоры.

Моменты Мk0 , Мп, Мп 1 брать со своими знаками.

Окончательная эпюра моментов М строится относительно заданной неразрезной балки.

На консолях неразрезной балки эпюру моментов построить по определению.

Проверка эпюры моментов основана на отрицании углов поворота опорных сечений неразрезной балки. Эта проверка носит название деформационной проверки.

где M S – суммарная эпюра изгибающих моментов, построенная относительно основной системы метода сил, от действия неизвестных опорных моментов, равных единице; EJ – жесткость балки на изгиб в соответствующем пролете.

86

11.2.4.Построение эпюры поперечных сил

иопределение реакций опор

Эпюру поперечных сил строим по эпюре моментов по формуле

где Qk0 – поперечная сила в сечении k простой балки основной системы метода сил, соответствующей n пролету и находящейся под той же нагрузкой, что и неразрезная балка; Mn , Mn 1 – опор-

ные моменты n-го пролета неразрезной балки; Qk0 , Mn , Mn 1 –

берутся со своими знаками.

В том случае, когда эпюра моментов в пролете или на участке прямолинейная, поперечная сила постоянная и может быть определена по формуле

где угол α – угол наклона эпюры моментов к оси.

Поперечная сила положительная, если ось балки поворачивается (по наименьшему углу) до совмещения с эпюрой моментов по часовой стрелке. В противном случае поперечная сила отрицательная. После построения эпюры поперечных сил можно найти реакции опор из равновесия опорных узлов неразрезной балки. При этом если на опоре приложена сосредоточенная сила, то ее надо учитывать. В сечениях показываем поперечные силы с эпюры поперечных сил с учетом знаков.

Реакцию опоры надо принять положительной (направленной вверх). Например, равновесие опорного узла n (на

рис.11.8) рассматриваем как у 0 .

Отсюда Rn P Qn,n 1 Qn,n 1.

Рис. 11.8

87

Индекс в обозначении реакции опоры указывает на номер (обозначение) опоры неразрезной балки.

11.2.5. Статическая проверка эпюр и реакций опор

Статическая проверка заключается в составлении уравнений равновесия неразрезной балки с нагрузкой и реакциями

с учетом знаков, нагрузку, реакции опор и проверить выполнение условий у 0 и Мk 0.

11.2.6Пример расчета неразрезной балки уравнением трех моментов

Построить опоры М и Q неразрезной балки (рис. 11.9). Найти реакции опор. Показать проверки.

Рис. 11.9

Размерыданы в метрах. Примеммодульупругости Е= const. Консоль удобно заменить моментом и поперечной силой

(рис. 11.10).

Рис. 11.10

Момент М0 принимаем за опорный момент, тогда его не будем учитывать во внешней нагрузке.

88

1. Степень статической неопределимости nст 6 3 3 по формуле (11.1). Основная система – на рис. 11.11.

Рис. 11.11

2. Составим канонические уравнения по уравнению (11.6) Принимаем за промежуточную опору.

Опора 1

где М0 = –5. Пусть момент инерции J0 J , а по заданию

J1 J; J2 2J.

Опора 2

где момент инерции J2 2J, J3 4J.

89

Опора 3

где момент инерции J3 4J.

l1 l1 JJ 6 м;

l3 l3 4JJ 8 14 2 м; l2 l2 2JJ 8 12 4 м.

Определим фиктивные реакции опор (см. прил. 3). Рассмотрим простую балку 1-го пролета основной системы.

90