книги / Строительная механика стержневых систем. Ч. 2

Задача 8.1

Задача 8.2

8.3. Расчет один раз статически неопределимой фермы

Рассмотрим ферму на рис. 8.8.

Рис. 8.8

11

Пусть для каждого i-k-го стержня фермы задана своя жесткость EFi-k.

Ферма один раз статически неопределимая, nст = 1, причем неопределимость внутренняя. Примем основную систему (рис. 8.9). Усилие в стержне 11–12 принимаем растягивающим (Х1 показано от узла). Легко доказать, что основная система геометрически неизменяемая.

Рис. 8.9

Для определения усилий в стержнях заданной фермы необходимо найти неизвестное усилие Х1 из канонического уравнения метода сил:

щение точек приложения Х по направлению Х от действия на

основную систему внешней нагрузки. Формулы перемещений для фермы

s Ni-k Ni-k dx;

0 EFi-k

12

где Ni-k – усилие в i-k-м стержне основной системы от загружения Х 1; Nip-k – усилие в i-k-м стержне основной системы от загружения внешней нагрузкой; S – длина стержня.

Усилия Ni-k и Nip-k , жесткость EFi-k определенного стерж-

ня – величины постоянные, их можно вынести за знак определенного интеграла по длине каждого стержня. Получим

где F0 – площадь поперечного сечения какого-либо одного стержня или любое постоянное число; Si-k – длина стержня i-k.

Принято для каждого стержня фермы Е = const. Тогда из уравнения (8.2) получим

N i-k 2 F0 Si-k Fi-k

Покажем для фермы основной системы (см. рис. 8.9) определение усилий Ni-k и NiР-k .

13

Для определения перемещения 11 рассмотрим сначала

единичное состояние основной системы (рис. 8.10) и найдем усилия во всех стержнях

Рис. 8.10

Реакции опор нулевые.

Из равновесия узла 11 найдем N1 11 и N3 11 :

∑Х = 0, отсюда N1 11 sin1a ;

∑У = 0, отсюда N3 11 ctg dа .

Найдем усилие N1 2 . Для этого рассмотрим равновесие левой части фермы (см. рис. 8.10), образованной сечением I–I, как

M3лев 0 и получимN1 2 da .

Сечение I–I можно использовать для определения усилия N1 3 через уравнение M11лев 0 .

14

Для определения усилий N 2 3 и N 2 4 разделим ферму (см. рис. 8.10) на две части сечением II–II и рассмотрим Y лев.II II 0

Усилие в стойке N5 6 0 из равновесия узла 6.

Учитывая, что ферма (см. рис. 8.10) симметричная и нагрузка симметричная, усилия во всех стержнях фермы единичного состояния найдены (усилия в стержне 11–12 единичного

состояния Х 1).

Для определения усилий NiР-k рассмотрим грузовое состояние основной системы (рис. 8.11), принимая теперь Х1 0 .

Рис. 8.11

15

Из равновесия узла 11 найдем, что N3Р11 Р, а N1Р11 0 . Далее можно рассмотреть простейшую ферму (рис. 8.12),

передав усилия отброшенных стержней.

Рис. 8.12

Используя методы определения усилий в статически определимой ферме, найдем

Определив Х1 , найдем усилие в любом i-k стержне заданной статически неопределимой фермы по формуле метода сил

Проверка правильности найденных усилий основана на отрицании взаимных перемещений любого сечения стержня вдоль этого стержня. В случае когда лишней связью считаем опорный стержень – на отрицании перемещения опорного сечения по направлению этого стержня. Значит,

16

PNRPU

17

ГЛАВА 9. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ АРКИ

9.1. Понятие и расчет двухшарнирной арки

9.1.1. Понятие двухшарнирной арки

Двухшарнирной аркой называется криволинейный стержень, соединенный с массивом при помощи шарнирно неподвижных опор (рис. 9.1)

Будем рассматривать симметричные двухшарнирные арки.

Рис. 9.1

Высота арки называется стрелой подъема и обозначается f. Двухшарнирная арка один раз статически неопределима, т.е. пст = 1. Основные системы метода сил показаны на (рис. 9.2).

1-й вариант основной системы есть трехшарнирная арка. 2-й вариант основной системы – криволинейная балка.

18

Расчет криволинейной балки проще, поэтому за основу принимаем 2-й вариант основной системы.

Чтобы раскрыть статическую неопределимость, необходимо найти Х1 из канонического уравнения метода сил:

11 Х1 1Р 0,

где 11 – перемещение точки приложения Х1 основной системы по направлению Х1 от действия силы Х1 1; 1Р – перемещение точки приложения Х1 по направлению Х1 от действия на

основную систему внешней нагрузки.

Формулыперемещений для случаякриволинейныхстержней:

где ds – дифференциал дуги; EJ – жесткость при изгибе (Е – модуль упругости; J – момент инерции сечения); EF – жесткость при продольном сдвиге (F – площадь поперечного сечения); GF – жесткость при поперечном сдвиге (G – модуль сдвига);

М1, N1, Q1 – единичные эпюры, соответственно изгибающих моментов, продольных и поперечных сил, построенные относительно основной системы от силы Х1 1; MP , NP , QP – грузо-

вые эпюры соответственно изгибающих моментов, продольных и поперечных сил, построенные относительно основной системы от действия внешней нагрузки; µ – безразмерный коэффициент, зависящий от формы сечения.

В зависимости от соотношения стрелы подъема и пролета арки различают арки подъемистые при lf 15 и пологие –

при lf 15 .

19

9.1.2. Расчет подъемистой двухшарнирной арки

Рассмотрим двухшарнирную арку (рис. 9.3)

Рис. 9.3

Примем основную систему, как на рис. 9.2, второй вариант. При расчете подъемистой арки в формулах (9.1) и (9.2) перемещениями от внутренних продольных и поперечных усилий пренебрегают ввиду их малости по сравнению с перемещениями от внутренних изгибающих моментов.

Поэтому

От криволинейных интегралов перейдем к определенным интегралам по пролету, поэтому единичные эпюры М1, N1, Q1 и грузовые эпюры MP , NP , QP построим относительно горизонтальной проекции оси арки (рис. 9.4 и 9.5).

Эпюра Q1 построена для случая, когда арка круговая или параболическая. Для стрельчатой арки в ключе на эпюре Q1 будет скачок: QСлев sin C , QСправ sin C .

Выделим в арке элементарный участок диной ds и найдем его горизонтальную проекцию (покажем рисунок в увеличенном масштабе).

20