книги / Строительная механика стержневых систем. Ч. 2
.pdf
|
Рис. 10.10 |
|
|
|
|||
Опорный момент |
M A |
3i |
, где |
i |
EJ |
– погонная жест- |
|
l |
l |
||||||
|
|
|
|
|
|||
кость балки.
Поперечная сила в любом сечении балки постоянная
Q tg , т.е. Q l32i .
10.8.Определение коэффициентов
исвободных членов системы канонических уравнений
Пусть задана рама на рис. 10.11
Рис. 10.11
Определим число неизвестных перемещений по форму-
ле (10.1):
nкин 1 2 3.
Основная система на рис. 10.12. Неизвестные перемещения Z1, Z2, Z3 найдем из системы канонических уравнений
51
r11Z1 r12 Z2 r13Z3 R1 p 0,
r21Z1 r22 Z2 r23Z3 R2 p 0,
r31Z1 r32 Z2 r33Z3 R3 p 0.
Рис. 10.12
Выразим погонные жесткости по формуле (10.4):
i |
EJ1 |
, |
i |
EJ1 |
, |
i |
EJ1 |
, |
i |
EJ2 |
, |
i |
EJ2 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
h1 |
|
2 |
h2 |
|
3 |
h2 |
|
4 |
l2 |
|
5 |
l3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В том случае, когда жесткости стержней заданы через EJ , удобно принять EJ 1.
Коэффициенты при Z1 системы канонических уравнений находятся по первому единичному состоянию основной системы, т.е. от поворота первой дополнительной связи на угол Z1 1
. При этом остальные связи находятся в покое. Деформируются только те балки (стержни), которые сходятся в этом узле. Схему
деформаций и эпюру моментов берем из прил. 1 и 2. При Z1 1
единичное состояние (схема деформаций) и единичная эпюра моментов представлены на рис. 10.13. От того, что узел 1 пово-
рачивается на угол Z1 1, во всех опорных связях этого состоя-
ния возникают реакции. Нас интересуют только реактивные усилия в дополнительных связях. Реактивные усилия принимают положительными, т.е. совпадающими с направлением перемещений, принятых в основной системе соответствующих дополнительных связей.
52
Рис. 10.13
Реактивный момент r11 , возникающий в первой дополни-
тельной связи, находим по единичной эпюре моментов M1 (см. рис. 10.13) из равновесия узла 1.
M 0,
r11 3i2 3i4 4i3.
Для определения реактивных сил, возникающих в дополнительных опорных стержнях 2 и 3 первого единичного состояния, вырезаем часть рамы основной системы, при этом рационально рассекать балки, перпендикулярные дополнительной связи. Так,
для определения реактивной силы ( r21 ) во второй дополнительной связи вырежем ригель первого пролета, а для определения реакции ( r31 ) в третьей дополнительной связи вырежем узел 3, как показано на рис. 10.13 и 10.14.
Рис. 10.14
В сечениях вместо отброшенных частей рамы достаточно показать поперечные силы, которые найдем по правилам
53
в п. 10.7. Продольные усилия в сечениях проекций на выбранные оси не дают.
Составимуравненияравновесия х 0 и y 0 , получим
r 3i2 |
, |
r 3i4 . |
||
21 |
h2 |
|
31 |
l2 |
|
|
|
||
Аналогично по второму единичному состоянию основной системы и второй единичной эпюре моментов найдем коэффи-
циенты при Z2 системы уравнений.
Принимаем линейное смещение второй дополнительной связи на Z2 1. Схемы деформаций балок и эпюры изгибающих
моментов берем из прил. 1 и 2. Эпюра моментов второго единичного состояния, схемы деформаций и реактивные усилия в дополнительных связях показаны на рис. 10.15.
Рис. 10.15
Определение реактивных усилий:
M 0, |
|
Х 0, |
|
y 0. |
||||
r |
3i2 |
, |
r |
3i1 |
|
3i2 |
, |
r 0. |
12 |
h |
|
22 |
h2 |
|
h2 |
|
32 |
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
54
Коэффициенты при Z3 найдем из рассмотрения третьего
единичного состояния основной системы и по единичной эпюре моментов, построенной от линейного смещения третьей дополнительной связи на Z3 1 (рис. 10.16). Остальные связи в покое,
поэтому деформируются только балки, схемы деформаций которых показаны на рис. 10.16 штриховой линией и взяты из прил. 2.
Рис. 10.16
Определение реактивных усилий:
М 0, |
|
|
|
|
Х 0, |
|
|
|
y 0. |
|
|
||||||
r |
3i4 |
, |
|
|
|
|
r 0, |
|
|
|
r |
3i4 |
|
3i5 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
|
|||||||||
13 |
l |
2 |
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
33 |
|
l2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
Проверим, выполняется ли равенство |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
r r |
: |
r |
r |
|
3i2 ; r |
r |
3i4 ; |
r |
r |
0. |
|
|
|
|||
|
ik |
ki |
|
21 |
12 |
|
31 |
13 |
l2 |
32 |
23 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Существуют и другие способы проверки коэффициентов системы уравнений. В данном пособии они не рассматриваются.
55
Для определения свободных членов системы канонических уравнений надо рассмотреть грузовое состояние основной системы и построить грузовую эпюру изгибающих моментов (рис. 10.17), используя эпюры моментов прил. 1 и 2 каждой балки в отдельности на местную нагрузку.
Рис. 10.17
Покажем эпюру моментов и эпюру поперечных сил (рис. 10.18–10.22) для каждой балки основной системы. Из прил. 1 и 2 берем эпюры моментов и реакции опор.
Балка А-2.
Рис. 10.18
56
Балка В-1.
|
Рис. 10.19 |
Балка 2-Ш. |
|
Балка простая. |
Балка 1-3. |
Рис. 10.20 |
Рис. 10.21 |
Балка 3-С. Эпюру моментов строим как сумму эпюр M3a-C
и M3б-C (рис. 10.22).
Эпюра моментов и эпюра поперечных сил от силы Р, приложенной в узле Ш грузового состояния, нулевые (см. 10.17).
57
Рис. 10.22
Реактивный момент, R1Р, возникающий в первой дополни-
тельной связи от внешней нагрузки, находим из равновесия узла 1 грузовой эпюры моментов (см. рис. 10.17)
M 0,
R1Р ph82 q38l22 .
Реактивную силу R2Р , возникающую во второй дополни-
тельной связи от внешней нагрузки, найдем из равновесия части рамы основной системы грузового состояния (рис. 10.23), образованной сечением. Рационально рассекать балки (стержни), перпендикулярные дополнительной связи (или реактивной силе), максимально близко к опорам. В вырезанной части необходимо показать, кроме реактивной силы, внешнюю нагрузку и в сечениях – поперечные силы. Так, вырезаем ригель 2-Ш первого пролета рамы, отсекая его от стоек А-2 и Ш-1 максимально близко к опорам 2 и Ш. Показываем внешнюю нагрузку, попе-
речные силы в сечениях балок, взятые с эпюры QA-2 (см.
58
рис. 10.18) и нулевой эпюры поперечных сил балки Ш-1. Выбираем ось х, совпадающую с направлением второго опорного дополнительного стержня (см. рис. 10.23).
Рис. 10.23
Из уравнения равновесия x 0 получаем R2Р P 83 q1h1 .
Реактивную силу R3Р , возникающую в третьей дополни-
тельной связи от внешней нагрузки, найдем из равновесия узла 3, т.е. отсекаем узел 3 (часть рамы) от балок слева и справа, перпендикулярных дополнительной третьей связи, бесконечно близко к опоре (см. рис. 10.17 и рис. 10.24).
Рис. 10.24
Из уравнения y 0 получаем R3Р 83 q3l2 83 q3l3 165 Р. Поперечные силы, возникающие в сечениях рассеченных балок, взяли с эпюры поперечных сил балки 1-3 (см. рис. 10.21)
и балки 3-С (см. рис. 10.22).
Покажем, что при определении реактивной силы можно рассекать балки, перпендикулярные дополнительной связи, в любом месте, но при этом, рассматривая равновесие вырезанной части рамы, должны получить то же самое значение реак-
59
тивной силы. Например, при определении реактивной силы R3Р
рассечем балки 1-3 и 3-С по опорам, удаленным от дополнительной связи (рис. 10.25)
Рис. 10.25
Учтем нагрузку, поперечные силы в сечениях балок по рис. 10.21 и 10.22.
Из уравнения
y 0 |
получаем R3Р P q3 l2 |
l3 |
|
5 |
q3l2 |
|
5 |
q3l3 |
|
11 |
|
8 |
|
8 |
16 |
Р . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполним преобразование и получим
R3Р 83 q3l2 83 q3l3 165 Р.
Теперь рассечем те же балки 1-3 и 3-С на расстоянии 0,5l2 и 0,5l3 справа от силы Р. Сечение на рис. 10.17 показано штриховой линией.
Рис. 10.26
Поперечная сила в сечении балки 1-3 на расстоянии 0,5l2 от опор равна 85 q3l2 q3 0,5l2 18 q3l2 (см. эп. Q1 3 на рис. 10.21).
60