книги / Твёрдотельная фотоэлектроника. Физические основы-1

разбросом по длине волны. Электрон перемещается в том же направлении, что и соответствующий ему волновой пакет, с так называемой групповой скоростью

du dk

2.1.3. Дипольные моменты и квантовые переходы [47]. Для оценки ин­ тенсивности и спектрального состава излучаемого и поглощаемого атомами электромагнитного излучения в квантовой электродинамике используется по­ нятие электрического дипольного момента. Дипольный момент одинаковых по абсолютной величине, но разноименных зарядов (например, валентного элек­ трона и атомного остова) составляет величину D = qL, где L — расстояние между зарядами, и направлен от отрицательного заряда к положительному. Если дипольный момент гармонически меняется с частотой шр, то, согласно классической электродинамике, мощность Р его излучения, усредненная за период колебания, составляет

где £о — диэлектрическая проницаемость вакуума, Dp — амплитуда колебаний дипольного момента. Из уравнений Максвелла следует, что мощность, излуча­ емая ускоренно движущимся зарядом q, пропорциональна квадрату ускорения

бтгеос3

Уравнение (2.1.16) является следствием этого соотношения.

Влиянием мультипольных моментов атома высших порядков (квадрупольного и др.) в оптическом диапазоне обычно можно пренебречь.

Для стационарного состояния электрона в атоме величина его дипольного момента определяется очевидным соотношением

D пп —qJrp*{r,t)rxpn (r,t) dV,

V

где ipn (r,t) — нормированная волновая функция, г — радиус-вектор электрона. Так как

^n(r.i) = фп(r)exp

то распределение плотности заряда электрона, находящегося в стационарном состоянии в атоме, и его дипольный момент, пропорциональные V'n'^n. не ме­ няются со временем. Очевидно, что такая квантовая система не излучает!

Таким образом, квантовая электродинамика преодолевает ограниченность классической физики, предсказывающей непрерывное излучение электрона, ускоренно двигающегося в атоме по замкнутым орбитам.

При переходе атома из одного состояния в другое, например из состоя­ ния т в состояние п, распределение заряда электрона в нем, по крайней мере за время волнового цуга, определяется стационарными волновыми функциями начального и конечного состояний электрона •0т (г) и ij)n (г)- Однако принцип Гейзенберга (2.1.15) допускает возможность определения энергии системы (а, следовательно, и состояния, в котором она находится) только с неопределен­ ностью во времени 6 t ^ h / |<gm —<gn|. Поэтому нельзя предсказать изменение со временем волновой функции для отдельной квантовой системы. Удается рассчитать только временные зависимости волновой функции и вероятности квантового перехода, усредненные для большого числа систем, находящихся в одинаковых условиях (это и будет далее проиллюстрировано).

Однако для определения частоты излучения, возникающего при переходе электрона с уровня т непосредственно на уровень п, достаточно рассмотреть соответствующий дипольный момент

v

V

= |£m —&n\/h- Количественные соотношения при этом совпадают с формулами классической электродинамики для осциллирующего электрического диполя, если в качестве Do в формулу (2.1.16) подставить амплитуду колебаний D mn и учесть населенность энергетических уровней.

Совокупность матричных дипольных моментов D mn для всех переходов в квантовой системе принято записывать в виде двумерной матрицы, недиаго­ нальные элементы (т Ф п) которой соответствуют испусканию или поглоще­ нию излучения на частотах, определяемых правилом Бора.

Вынужденные переходы электронов между уровнями (определяющие по­ глощение или стимулированное излучение) вызываются, например, взаимодей­ ствием между электрическим полем электромагнитной волны и электрическим дипольным моментом атома. При этом энергия возмущения представляется в виде

Здесь Е(г,£) — вектор напряженности электрического поля электромагнитной волны. Длина волны оптического излучения обычно много больше размеров атома и так называемые матричные элементы возмущения для переходов т —►п выражаются соотношением

Wmn = q JV*m (r)E(r,t)r<pn(r) dV -

v

= E ( 0 ,t) q j ip*m (r)rq>n (r)dV = E (0,t)D mn. (2.1.19) v

Теперь может быть оценена вероятность квантовых переходов при воздей­ ствии на систему внешних электромагнитных полей.

Обычно возмущение, под воздействием которого происходит квантовый пе­ реход, мало по сравнению с внутренней энергией системы Wmn <С |<§т —<§п| и поставленная задача решается с помощью теории возмущений.

При возникновении возмущения W в уравнении Шредингера (2.1.7) вместо следует записать &„ + W — к невозмущенному гамильтониану добавляется энергия взаимодействия с внешним полем. Волновая функция нового уравнения Шредингера ищется в виде ряда, составленного из невозмущенных стационар­

Очевидно, что квадраты модулей зависящих от времени коэффициентов

коэффициентов |С к (t) |2 = 1.

Проведя обычные для теории возмущений преобразования и применив для нахождения зависящих от времени коэффициентов Ск (t) метод последователь­ ных приближений (с промежуточными выкладками читатель может ознако­ миться в учебниках по квантовой электродинамике), получают следующее вы­ ражение для полной вероятности перехода за единицу времени из начального состояния т в конечное п через все доступные благодаря возмущению проме­ жуточные состояния пь щ :

Соотношение (2.1.21) справедливо при достаточно больших временах по сравнению с периодом колебаний. Здесь S — дельта-функция Дирака, равная нулю при всех энергиях, не равных ё т — £п (подробнее о ^-функции — в гл. 4).

Первому слагаемому в (2.1.22) соответствует первое приближение теории воз­ мущений, второму — второе и т. д.

Соотношение (2.1.21) свидетельствует, что в любом приближении вероят­ ность перехода отлична от нуля только при выполнении закона сохранения энергии, когда энергия поглощенного или испускаемого фотона равна разности энергетических уровней квантовой системы |<£т - <£п| в начальном и конечном состояниях.

Непосредственный переход между состояниями т и п возможен, если мат­ ричный элемент возмущения между этими состояниями Wmn не равен нулю. Тогда остальными членами в (2.1.22) можно пренебречь из-за их малости.

Некоторые из матричных элементов возмущения могут оказаться равными нулю — соответствующие переходы невозможны в дипольном приближении и называются запрещенными. Принадлежность перехода к разрешенным или запрещенным определяется «правилами отбора», которые диктуются главным образом симметрией волновых функций в начальном и конечном состояниях. Дипольный матричный элемент Dmn отличен от нуля только для уровней с различной четностью. Матричный элемент возмущения Wmn зависит также и от взаимной ориентации векторов D mn и Е.

Если Wmn = 0 и переход m —►п запрещен в первом приближении теории возмущений, он может осуществиться через промежуточное состояние щ , если не равны нулю матричные элементы возмущения Wmni и Wnin. В промежуточ­ ном состоянии п\ система может находиться лишь очень короткое время 6t, определяемое соотношением неопределенностей 6t6S~fr, при этом закон со­ хранения энергии не соблюдается. Однако для перехода в целом соблюдение закона сохранения энергии по-прежнему необходимо. Состояния п\ и переход в эти состояния называются виртуальными.

Вероятность перехода в третьем приближении теории возмущений (после­ довательно через два промежуточных состояния) оказывается меньше, чем во втором приближении.

В следующей главе уравнение Шредингера использовано для решения небольшого числа математически простых стационарных задач, дающих пред­ ставление об энергетических уровнях электронов в полупроводниковых кри­ сталлах и квантоворазмерных структурах. Для объяснения оптических свойств этих объектов привлекаются вероятности переходов и правила отбора, рассчи­ танные методами квантовой электродинамики.

2.2.Волновые и корпускулярные свойства оптического излучения

Вклассической волновой оптике, базирующейся на системе феноменологи­

смещаются за один период колебания

Вектор к = /сп = (27г/А ) п (к = 2ж/Х — волновое число, п — единичный вектор в направлении распространении волны) называется волновым. С его ис­ пользованием вектор электрического поля плоской монохроматической волны, распространяющейся, например, в направлении оси 2, можно представить в комплексной форме Е = £оехР (.7 (wi —kz)). Здесь Ео — амплитудное значение вектора Е, (u t —kz) — фаза волны.

Плоско- (или линейно) поляризованным называют излучение, у которого направление колебаний векторов Е и Н в любой точке пространства остаются неизменными во времени. В этом случае плоскостью поляризации называется плоскость, проходящая через вектор Н и направление распространения излу­ чения (некоторые авторы называют плоскостью поляризации плоскость коле­ баний вектора Е). У неполяризованного или естественного излучения векторы электрического и магнитного полей изменяют свое направление хаотически.

Любую реальную электромагнитную волну можно представить набором (су­ перпозицией) плоских монохроматических волн с разными частотами, амплиту­ дами и поляризацией. Для того, чтобы охарактеризовать распределение энергии реального излучения по частоте, используется функция спектральной плотно­ сти р(ш), удовлетворяющая соотношению

ОО

У p(u>)du> - р.

о

При распространении электромагнитного излучения в других средах вли­ яние свойств среды учитывается с помощью трех величин: ее относительной диэлектрической проницаемости среды ег, ее относительной магнитной прони­ цаемости рг и удельной электропроводности а на частоте волны.

В квантовой физике элементарную частицу (квант) электромагнитного из­ лучения называют фотоном. Фотон является нейтральной частицей, не име­ ющей электрического заряда. Масса покоя фотона равна нулю, а скорость в вакууме равна скорости света. Энергия <§ф0Т и импульс фотона Рф0Т связаны с частотой v и волновым вектором к эквивалентной плоской монохроматической волны соотношениями

£фот — his — h/jU,

Рф 0Т = h k = — n.

с

Спин фотона равен единице. Следовательно он относится к Бозе-частицам, описываемым статистикой Бозе-Эйнштейна. Известно, что Бозе-частицы стре­

равна

Спектральная зависимость токовой чувствительности идеального квантового фотоприемника также приведены на рис. 2.2.2 — кривая 2.

Идеальные тепловые фотоприемники, преобразующие в выходные ток или напряжение мощность падающего на них излучения, обладают не зависящей от длины волны чувствительностью.

2.3. Излучение черного тела

Фундаментальным понятием при рассмотрении источников оптического излу­ чения является понятие о черном теле. Черным телом называется тело, погло­ щающее падающее на него излучение полностью, независимо от длины волны, направления распространения, поляризации и прочих характеристик излуче­ ния.

Еще в середине XIX века немецкий физик Густав Кирхгоф, исходя из прин­ ципа термодинамического равновесия («в системе тел, имеющих одинаковую температуру, взаимное излучение не нарушает равновесия»), пришел к выво­ ду, что отношение излучательной способности (энергетической яркости) тела к его поглощательной способности не зависит от природы тела и, следователь­ но, одинаково для всех тел. Это отношение является универсальной функцией температуры Т и длины волны А и равно излучательной способности тела, поглощающего весь падающий на него поток излучения.

Возможность получения излучения, равновесного с телом, находящимся при некоторой температуре, а также теоретической оценки мощности этого излучения выделяет черное тело среди других тепловых источников. Очевид­ но, что температурное излучение любого тела при любых Т и А не может превышать излучения черного тела. Необходимо отметить, что излучательные свойства тела зависят не только от материала, из которого оно изготовлено, но

иот обработки поверхности тела. Например, поглощающие излучение металлы

схорошо отражающей (зеркальной) поверхностью практически не испускают тепловое излучение и являются как бы антиподом черного тела.

Моделью черного тела является полость с непрозрачной оболочкой и небольшим отверстием. Такая полость ведет себя как абсолютно черное те­ ло, так как проникающие в полость извне лучи полностью поглощаются в ней после одноили многократного попадания на внутренние стенки, не зависимо от материала стенок полости и их обработки.

Вспомним зрачок глаза, имеющий черный цвет. Внутренняя поверхность глазного яблока включает слой пигментного эпителия, поглощающего свет.

Если внутренние стенки непрозрачной полости поддерживаются при опре­ деленной температуре, то электромагнитное излучение в полости, создаваемое тепловым движением электрических зарядов в материале ее стенок, является

термодинамически равновесным в системе тело-поле. Через небольшое отвер­ стие часть равновесного теплового излучения выпускается наружу. Независи­ мость параметров излучения абсолютно черного тела от любых факторов, кро­ ме температуры полости, делают его эталонным температурным излучателем. Если в конструкции абсолютно черного тела полость погружена в расплавлен­ ный металл, она поддерживается при температуре точки затвердевания этого металла, обычно известной с точностью до долей градуса.

2.3.1. Плотность равновесного теплового излучения. Распределение мощности равновесного температурного излучения по спектру оказалось воз­ можным теоретически рассчитать в результате драматического преодоления «ультрафиолетовой катастрофы» в классической физике XIX века и создания

на основе гипотезы Планка об испускании и поглощении электромагнитного излучения квантами (фотонами) квантовой механики.

Плотность равновесного теплового излучения рассчитана исходя из пред­ ставления о стоячих электромагнитных волнах с различными частотами и, которые находятся в термодинамическом равновесии со стенками замкнутой полости. Такие электромагнитные волны эквивалентны системе квантовых ос­ цилляторов с различными собственными частотами. Разрешенные состояния квантового осциллятора с собственной частотой v характеризуются энергия­ ми, равными целому числу п = 1,2,3... квантов hv (энергией нулевых колеба­ ний hv/2 осцилляторы не обмениваются, и при этом рассмотрении ею можно пренебречь, см. раздел 3.2). В термодинамическом равновесии вероятность Рп нахождения осциллятора с собственной частотой v состоянии с энергией nhv пропорциональна фактору Больцмана

Здесь Т — абсолютная температура, к — постоянная Больцмана, А — ко­ эффициент пропорциональности, определяемый условиями нормировки (сумма вероятностей для всех состояний осциллятора равна единице):

У )ехр [—nhv/(kT)]

П

Фотоны как частицы со спином, равным единице момента импульса h /(27г), подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. В этом случае, как упоминалось в разделе 2.2, каждый разрешенный уровень энергии может быть занят любым количеством частиц. Тогда среднее число фотонов с энергией hv, соответству­ ющих осциллятору с собственной частотой v, равно

В последнем уравнении через х обозначена величина ехр[—/шД/гТ)]. Оче­ видно, что при любом значении hu/(kT) значение х < 1. Тогда сумма ряда Y^xn = (1 —х)-1 Продифференцировав это выражение, получим

И, наконец, среднее число фотонов с энергией hv, соответствующих осцилля­ тору с собственной частотой и, составляет

Остается вычислить плотность энергетических состояний — сколько стоя­ чих электромагнитных волн или эквивалентных осцилляторов с собственной частотой, близкой к значению v, раз­

поверхностью равных импульсов яв­ ляется сфера с радиусом р, а объем шарового слоя толщиной dp составляет 4irp2dp. Очевидно, что число ячеек с объемом h3 в шаровом слое 4np2dp/h3 Заменив импульс по формуле p = hu/c, получим для числа ячеек величину 4'Kv2dv/ci Постоянная Планка h сократилась. Это означает, что формулу для