книги / Управление колебаниями

4. Управление моментом, ограниченным цилиндричеческой областью. Рассмотрим задачу быстродействия (5.1.5), (5.1.6) в случае, когда управляющие функции ле­ жат в цилиндре

поворотных двигателей, вращающихся вокруг оси сим­ метрии, и пары фиксированных двигателей, создающих момент по оси симметрии.

Поставленная задача, как и в п. 3, приводит к осо­ бым управлениям, а именно

щ = йца- 1 signp, и2= ©га- 1 sign р, zt3 = signr. (5.1.27)

Здесь, как и в (5.1.25), signp, sign г — кусочно посто­ янные функции т, имеющие конечное число точек разры­ вов и такие, что

Соотношения (5.1.27) —(5.1.30) определяют (неодно­ значно) приближенное решение задачи быстродействия.

5. Управление на задаипом интервале времени, опти­ мальное по расходу вперши. Пусть требуется к фиксиро­ ванному моменту Т = е_|0 привести систему (5.1.5) в со­ стояние (5.1.6) таким образом, чтобы расход энергии па

Дополнительные ограничения на управление и не на­ лагаются. Вводя медленную переменную, отвечающую функционалу J из (5.1.31), получим задачу оптимального управления стандартной системой с вращающейся фазой, к которой применима методика § 1 главы 3. Не останав­ ливаясь на деталях, приведем решенпе первого прибли­ жения. Из условия минимума по (J функционала Jo, см. (3.1.38), находим Р = 0. Сопряженные переменные в пер­ вом приближении оказываются постоянными, а фазовые неремеиные линейны по т

а = а°+ (а* — а°)т0 -1, с = с° + (с* — с^т©-1.

(5.1.32)

Оптимальные управляющие функции синтеза и мини­ мальное значение функционала имеют вид

Поэтому управления (5.1.33) оказываются тем меньше, чем больше © для фиксированных других параметров зада­ чи. Это позволяет за счет увеличения 0 использовать пост­ роенные законы управления в случаях, когда на пих нало­ жены дополнительные ограничения.

Отметим, что практическая реализация законов управ­ ления пи. 2—5 требует незначительных вычислительных средств.

§ 2. Оптимальное торможение вращений несимметричного твердого тела

1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу паискорейшего торможения вращений твердого тела. Движение опи­ сывается уравнениями (5.1.1), (5.1.7) для произвольных

щении свободного твердого тела сохраняются кинетичес­ кая энергия Е и величина кинетического момента L

жаются в эллиптических функциях [126]. Они периодич­ ны по t с периодом Т0, зависящим от Е, L.

Интегралы (5.2.1) при 1\ < / 2 < h удовлетворяют оче­ видным неравенствам: 2EI\< L2< 2Eh.

В качестве одного из интегралов удобно взять пара­ метр к2 = к2(.Е, L2), к — модуль эллиптических функций. Величина к характеризует движение конца вектора кине­ тического момента па сфере Ь2= const. Определение па­ раметра к2 как' функции Е и L неоднозначно; в .области

вид (5.2.2), в котором индексы 1 и 3 (оси 01 и 03) нужно поменять местами. Отметим, что при Е', L2 ->■ 0 величина к2 становится неопределенной.

Дифференцируя величины L2 (5.2.1) и к2 (5.2.2) в си­ лу управляемой системы (5.1.1), получим уравнения, опи­ сывающие изменение возмущенных интегралов L2 ' и к2

Здесь предполагается, что для функций ©j подстав­ лены их пзвестпые выражения в зависимости от медлен­ ных переменных L2 н к2, а также быстрой фазы ф. Урав­ нение для ф пе выписывается, так как оно не участвует в построении решения первого приближения.

Будем исследовать задачу оптимального по быстродей­ ствию управления системой (5.2.3), (5.1.7) с граничным условием

2. Построение краевой задачи первого приближения. Дадим краткий вывод краевой задачи первого приближе­ ния по методике главы 3 (подробный вывод дап в статье [23]). Приводим формулы для области L2 > 2Е12; в обла­ сти L2< 2 Е12 нужно поменять местами индексы 1 и 3. Из условия максимума (3.1.17) функции Гамильтона задачи быстродействия находим выражения для управлений

Здесь p,-r — переменные, сопряженные L2, к2 соответ­ ственно, a x — известная функция к2, см. (5.2.3). Пере­ менную g, сопряженную фазе ф, полагаем равной нулю.

Составим функцию Гампльтона первого приближения (здесь также принято q = 0 , так как <g> = s(J, a (J — О

и * У П Р А В Л Я Е М Ы Е В Р А Щ Е Н И Я Т В Е Р Д О Г О Т Е Л А [Г Л . 5

в окну необходимого условия оптимальности, вытекающе­ го из (3.3.15))

однозначно связывающие переменные я|) и ф. В результа­ те получаем явную схему усреднения

2Я

=Я (sn« (0. *))<*♦ =

редненную краевую задачу (3.1.31), сохраняя за усред­ ненными переменными прежние обозначения

Автономная гамильтонова система (5.2.8) имеет ин­ теграл Я* = 1 и ее порядок может быть понижен до двух. При произвольных значениях параметров Я,

ется.

Для решения краевой задачи (5.2.8) далее применяет­ ся численный метод. Правые части системы (5.2.8) под­ считываются по схеме (5.2.7) и выражаются в виде определенных (эллиптических) интегралов по <р, завися­

интегрирования системы (5.2.8).

3. Алгоритм численного построения синтеза. Сопря­ женные переменные р, г и функцию Н* в системе (5.2.8) можно умножить на любой положительный коэффициент; управление не изменится, а условие трансверсальности Н* Iе = 1 при этом следует опустить. В частности, мож­ но потребовать 1р(0)|=1. Расчеты показали, что задаче торможепия (0 < L*2< L02) отвечает р(@) = — 1 , что и принималось в дальнейшем.

Приведем алгоритм решения задачи синтеза и резуль­ таты вычислений. Построим численно в обратном време­ ни Ti = 0 — т однопараметрическое семейство траекторий, удовлетворяющих уравнениям (5.2.8) и начальным усло­ виям при Ti = О

мейства. Выделим траекторию семейства (5.2.9), проходя­ щую при некотором п через заданную точку (L02, к02). Эта траектория является искомой, а п = 0 — время быстродействия. Следует отметить, что величина L*2 при построении семейства может быть выбрана сколь угодно малой, но отличной от нуля. Эта трудность объясняется тем, что уравнение (5.2.8) для к2 при L 0 имеет неин-

тегрируемую особенность: метод усреднения эдесь не­ применим.

На рис. 5.2 приведено семейство фазовых кривых, полученных численным интегрированием системы (5 .2 .8 ), (5.2.9) для следующих значений параметров задачи

тонно убывает’при торможении. При раскрутке, т. е. при

изменении L от L* до L0 (здесь Ti будет прямым време­ нем) вектор кинетического момента приближается к оси 03. Это связано с тем, что оси 03 отвечает максимальное bi (см. (5.2.10)).

На рис. 5.3 приведены зависимости сопряженных переменных р, г от ть Кривые 1 и 2 на рис. 5.3, а соот­

L2<2EI2. Кривые с промежуточными значениями к*2 не приводятся: они заключены между соответствующими кривыми рис. 5.3, а. На рис. 5.3, б кривым X, 2 , 3 отве­

по быстродействию торможения вращений твердого тела с характеристиками (5.2.10). Вдоль кривых рис. 5.2 предполагается заданным ть

лученная кривая является приближенной оптимальной

находим р, г.

5) На основе измеренных величии со€ и найденных L2, к\ р, г при помощи соотношений (5.2.5) определяем управления щ в форме синтеза.

Аналогично изложенному могут быть решены задачи оптимального торможения вращений твердого тела при других ограничениях на управление, например, (5.1.20), (5.1.26), а также при других функционалах и краевых условиях. Задача торможения при ограничениях (5.1.20) рассмотрена в работе [1841.

§ 3. Управление вращением спутника, движущегося по эллиптической орбите

1 . Уравнения движения. Рассматривается движение спутника относительно центра масс под действием внеш­ них возмущающих моментов.

Уравнения движения составим в форме, предложенной

вработе [225]. Введем три декартовы системы координат

сначалом в центре инерции О спутника. Система х\х2хъ движется поступательно; ось х\ параллель-

тацию вектора L в неподвижном пространстве. Оси свя­ занной системы Z1Z2Z3 совместим с главными центральны-?: ми осями инерции спутника. Их ориентацию относительно системы УгУаУг определим углами Эйлера 0 , ф;, ф, а также