книги / Управление колебаниями

§ 2] С И С Т Е М Ы С У П Р А В Л Е Н И Е М П О С К О Р О С Т И 201

линейной. Иа основании краевых условий (4.2.38) имеем

два уравнения для определения постоянных к = гр~1п 0 .

/с(Я), причем для определенности ограничимся двумя СЛу-

Зависимость М/с) для первого случая изображена на рис. 4.0. Она строго монотонна, и при изменении к от —1

уравнеппе (4.2.41) при любом % имеет единственный ко­ рень к, который легко найти при помощи рис. 4.9.

Во втором случае (4.2.42) зависимость Х Ш из (4.2.41) также строго монотонна (см. рис. 4.10), по при измене­

т. е. для существования решения задачи об оптнмальпом перемещении с гашением колебаний заданное перемеще­ ние должно быть не менее (начальной) амплитуды.

Определив по заданному X корень к уравнения (4.2.41), найдем затем 0 из (4.2.41) и оптимальную тра­ екторию (4.2.39). Приближенное оптимальное управление в форме синтеза получим из (4.2.35), исключая sin. -ф со­ гласно (4.2.19), полагая р < 0 и пользуясь обозначения­ ми для к, X

(4.2.43)

Построенные законы управления в форме синтеза (4.2.27), (4.2.43) являются приближенно оптимальными в том смысле, что они обеспечивают приведение системы в е-окрестность заданного конечного состояния (4.2.2)— (4.2.4) за время Т = е- 10, отличающееся от времени бы­ стродействия на величину порядка 1. Эти законы могут использоваться для управления также и в случаях, когда в не мало. Исследованию динамики систем при разрыв­ ных законах управления посвящены книги [82, 208].

Ниже, в главах 6 , 7 для линейных задач управления, подобных рассмотренным выше, а также и при более об­ щих ограничениях, будут построены некоторые точные оптимальные законы управления в виде программ.

Г Л А В А 5

УПРАВЛЯЕМЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС

Движения твердого тела относительно центра масс под действием малых управляющих моментов описыва­ ются уравнениями, которые приводятся к виду нелиней­ ных управляемых систем с вращающимися фазами. В §§ 1—3 данной главы на основе методики главы 3 решен ряд задач оптимального управления движением тела относительно центра масс. В §§ 1, 2 исследованы управляемые вращепия тела, когда моменты управляющих сил малы по сравнению с кинетической энергией движе­ ния. Рассмотрены случай тела, близкого к динамически симметричному (§ 1 ), и случай произвольного распреде­ ления масс в теле (§ 2 ) при различных ограничениях на управление. В § 3 исследуется вращение относительно центра масс спутника, движущегося по эллиптической орбите и подверженного действию управляющих и гра­ витационных моментов. § 4 посвящен асимптотическому анализу простых законов управления, близких к опти­ мальным и позволяющих погасить вращения тела относи­ тельно центра масс. В § 5 рассмотрена задача оптималь­ ной переориентации твердого тела. Полученный здесь за­ кон управления позволяет осуществить заданную ориен­ тацию тела в пространстве после гашения его вращений при помощи управлений §§ 1—4. Необходимо отметить, что управляемым движениям тела относительно центра масс посвящепа большая литература, где рассмотрены, в частности, и задачи, близкие по постановке к изложен­ ным в данной главе (папример, [25, 34, 40, 95, 96, 119, 120, 125, 132, 133, 135, 169, 180, 195, 196, 238]). При­ водимые ниже результаты связаны, в основном, с при­ менением подхода главы 3 (см. [15, 21, 23, 183— 1851).

204 УПРАВЛЯЕМЫЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 1ГЛ.5

§ 1. Управляемые движения динамически симметричного твердого тела

1. Постановка задач оптимального управления угловой скоростью тела. Рассмотрим систему динамических урав­ нений Эйлера, описывающих управляемое движение твер­ дого тела относительно центра масс. Величина управляю­ щего момента сил предполагается малой в том смысле, что изменение кинетической энергии вращения тела за один оборот много меньше ее текущего значения. Это предпо­ ложение эквивалентно тому, что кинетическая энергия много больше величины управляющего вектора. Указан­ ное обстоятельство для удобства применения развитой в главе 3 методики усреднения можно формализовать

&1.2.3, имеющих размерность момента сил на малый па­ раметр е и безразмерные управляющие функции i^i, 2.з —

— 1, подлежащие определению. Постоянные ebi, а, з харак­ теризуют эффективность системы управления по каждой из связанных осей. Ограничения, налагаемые на управ­ ления tti.3,3, находятся из ограничивающих условий на исходные управляющие моменты. Отметим, что система (5.1.1) может подвергаться воздействию малых возмущаю­ щих моментов, зависящих от скорости вращения и ори­ ентации твердого тела в пространстве. Одна из таких задач рассмотрена в § 3.

рядка е2, получим

§ 1] У П Р А В Л Е Н И Е Д И Н А М И Ч Е С К И С И М М Е Т Р И Ч Н Ы М Т Е Л О М 205

ные ©1,2 совершают гармонические колебания частоты

в качестве преобразования к переменным а, с, ф. При по­ мощи общей методики п. 1 § 1 главы 2 запишем систему (5.1.3) в стандартной форме (3.1.2)

■ а = eUiiii cos ф + Z2u2 sin ф) + l/2exac{2 — d) sin 2ф,

с= zl^uz — ik&Kd~1a2sin 2 ф,

Ф= (d — 1 )с + ea~4ku2 cos ф — Zi»j sin ф +

+кас (cos 2 ф — dcos2 ф)1 , a(0) = a °> 0, c(0) — c° Ф0, ф(0)=ф°. П(5.1.5)

Начальные значения a°, с°, ф° в (5.1.5) находятся при помощи формул замены (5.1.4).

Далее в § 1 исследуется ряд задач оптимального уп­ равления движением системы (5.1.5) при различных ог­ раничениях U на управляющий вектор и —(KI, U2, U3). В качестве основной постановки рассматривается задача оптимального по быстродействию изменения величин эк­ ваториальной п осевой скорости вращения, т. е.

а(Т) = а* > 0, с(Т) = с*(с*с° > 0), Т -+■min, и «= Z7. (5.1.6)

Здесь а*, с* — заданные постоянные, U — фиксирован­ ное замкнутое множество. Рассмотрены также другие по­ становки, в том числе и с фиксированным моментом Т'— е- 10.

2. Управление при ограниченной суммарной мощно­ сти. В этом случае множество U. может быть представле­

но в виде [73]

В частности, ограничения (5.1.7) охватывают случай поворотного двигателя в кардановом подвесе. Исследуем для системы (5.1.5), (5.1.7) задачу быстродействия (5.16). Из условия максимума функции Гамильтона (3.1.17) находим в первом приближении по е оптимальное управление (3.1.18), в котором сопряженная переменная, отвечающая фазе т|>, полагается равной пулю

ui = PiI# - 1 cos 'Ь иг = PhR~xsin \J), и3 = rZgl?- 1 ,

R = [p2 (l\ cos2 ij) + l\sin2 \|>) + r2Z2]1/2.

Здесь p, r — медленные переменные, сопряженные а, с. Подставим (5.1.8) в функцию Гамильтона и усредним ее по фазе согласно (3.1.32). Среднее по фазе от гироско­ пических возмущений (пропорциональных % в (5.1.5)) обращается в нуль. В результате получим уравнения дви­ жения для медленных переменных вида (3.1.31). Полага­ ем в них р = 0 , что соответствует необходимому условию оптимальности (см. (3.1.41)). Учитывая краевые условия и условия трансверсальности типа (3.1.31), (3.3.4), в пер­ вом приближении получим краевую задачу

Здесь <Д> принято равным единице за счет нормиров­ ки. Для усредненных переменных сохранены старые обо­

§ 1] У П Р А В Л Е Н И Е Д И Н А М И Ч Е С К И С И М М Е Т Р И Ч Н Ы М Т Е Л О М 207

значения. Средние по “ф в (5.1.9) можно представить в виде

2Я

(5.1.10

Здесь К vi Е — полные эллиптические интегралы пер­ вого и второго рода. Параметр к равен

так как ее правые части постоянны. Удовлетворение на­ чальных и краевых условий приводит к системе трех

а, с получим одно трансцендентное уравнение относи­ тельно параметра X (см.- (5.1.11)). Как показано в работе [231, это уравнение всегда имеет единственный корень, зависящий от параметров Uи отношения (а* — а0)(с* — с0)-1.

уравнения (5.1.14), целиком определяется величиной б2

Зависимость Л(^, б) удобно представить в виде семей­ ства кривых с параметром б. Разрешая (5.1.14) относи­ тельно у, получим (к не зависит от 4 )

Е (V fc) Аа + 62 д 0 < 7 с < ^ 1

Семейство кривых Л(ч, б), отвечающих различным зна­ чениям б2, приведено на рис. 5.1. Как следует из соотно­ шений '(5.1.15), функция "f(A, б) является нечетной функ­ цией Л. Таким же свойством нечетности, очевидно, обла­ дает функция Л(ч, б), а именно, Л(—у, б) = —Л(у, б). Поэтому для построения всего семейства достаточно при­ вести кривые, отвечающие положительным значениям Л, 4 . Отметим, что для любых значений f и б > 0 реше­ ние задачи существует и единственно.

Синтез оптимального управления и оптимальная тра­ ектория определяются в первом приближении следующим

построено.

Отметим, что -если одно из конечных значений пере­ менных а или с в (5.1.6) не задано, то оптимальное ре­ шение находится как частный случай построенного. Если

Если управление (5.1.16), требующее определения кор­ ня X трансцендентного уравнения, оказывается трудно реализуемым, то его можно заменить квазиоптимальным, представляющим собой последовательное применение за­ конов (5.1.18), (5.1.19). Общее потребное время при этом равно 0 в + 0с > 0. Аналогично рассматриваются задачи управления с фиксированным моментом окончания

Т= е- 10.

3.Управление при помощи трех ограниченных м о-. ментов. Рассмотрим задачу быстродействия (5.1.5), (5.1.6)

в предположении, что управления ограничены неравен­ ствами

Ы < 1 (i = l, 2,3), (5.1.20)

. соответствующими трем парам фиксированных двига­ телей.

Поставленная задача приводит к особым управлени­ ям, т. е. к такому положению, когда из принципа мак-